Zufällige Menge

Eine zufällige Menge ist eine Menge, deren Charakteristika (z. B. Größe, Gestalt, Lage) auch vom Zufall abhängen, z. B. die raum-zeitliche Entwicklung einer Epidemie, oder eines Ölteppiches auf dem Ozean. Zufällige Mengen sind auch grundlegend für die stochastische Geometrie.

Definition

Eine zufällige Menge ${\displaystyle X}$ ist eine mengenwertige Zufallsvariable, d. h. eine messbare Abbildung ${\displaystyle X}$ von einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}},P)}$ in einen messbaren Raum ${\displaystyle (K,{\mathcal {B}}(K))}$. Häufig ist ${\displaystyle K}$ die Menge aller kompakten Teilmengen eines lokalkompakten separablen Hausdorff-Raumes ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}(K)}$ die von ${\displaystyle K}$ erzeugte Sigma-Algebra. Dann spricht man von einer zufälligen kompakten Menge, siehe z. B.^[1]

Verteilung einer zufälligen kompakten Menge

Sei ${\displaystyle X}$ eine zufällige kompakte Menge. Die Verteilung von ${\displaystyle X}$ ist eindeutig festgelegt durch die Wahrscheinlichkeiten, mit denen ${\displaystyle X}$ beliebige ${\displaystyle A}$'s aus ${\displaystyle K}$ "trifft" (sog. hit-probabilities), d. h.

${\displaystyle P(X\cap A\neq \emptyset )=T(A),\quad A\in K}$

${\displaystyle T(A)}$ ist eine vollständig alternierende Kapazität.

Erwartungswert einer zufälligen kompakten Menge

Sei ${\displaystyle X}$ eine zufällige kompakte Menge. Ihr Erwartungswert ${\displaystyle E_{A}X}$ wird häufig Aumann-Erwartungswert genannt^[2]. Er ist definiert als die Menge aller Erwartungswerte von Zufallsgrößen ${\displaystyle Y}$, die fast sicher in ${\displaystyle X}$ liegen, d. h.

${\displaystyle E_{A}X=\{EY:Y\in X\quad f.s.\}}$.

Die ${\displaystyle Y}$ werden auch Selektoren von ${\displaystyle X}$ genannt. Für ein zufälliges Intervall ergibt sich z. B.

${\displaystyle E_{A}[a,b]=[Ea,Eb]}$.

Der Aumann-Erwartungswert ist linear bzgl. der Minkowski-Summe ${\displaystyle \oplus }$, d. h.

${\displaystyle E_{A}(X_{1}\oplus X_{2})=E_{A}X_{1}\oplus E_{A}X_{2}}$.

Literaturhinweise

• Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
• Molchanov, I. (2005) The Theory of Random Sets. Springer, New York.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.

Einzelnachweise

1. ↑ Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
2. ↑ Aumann.J.(1965). Integral of set valued functions. Journ.Math.Anal.Appl.12, 1-22.