Zeta-Verteilung

Die Zeta-Verteilung (auch Zipf-Verteilung nach George Kingsley Zipf) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist univariat und eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die den natürlichen Zahlen ${\displaystyle x=1,2,3,\dotsc }$ die Wahrscheinlichkeiten

${\displaystyle P(X=x)={\frac {x^{-s}}{\zeta (s)}}}$

zuordnet, wobei ${\displaystyle s>1}$ ein Parameter und ${\displaystyle \zeta (s)}$ die riemannsche Zetafunktion ist.

Ihr ${\displaystyle k}$-tes Moment existiert, falls ${\displaystyle s>k+1}$, und liegt in diesem Fall bei

${\displaystyle E(X^{k})={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$.

Die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren einer Zeta-verteilten Zufallsvariable sind wiederum unabhängige Zufallsvariablen. Dies ist bei keiner anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Fall.

Zur Motivation dieser Verteilung siehe Zipfsches Gesetz.

• Eric W. Weisstein: Zipf distribution. In: MathWorld (englisch).
• Größe von US-Firmen gehorcht der mathematischen Zipf-Verteilung auf wissenschaft.de