Zernike-Polynom

Zernike-Polynome bis zur 4. Ordnung und ein Beispiel 6. Ordnung

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome und spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\phi )}$

und die ungeraden durch

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\phi ),}$

wobei ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: ${\displaystyle n\geq m}$. ${\displaystyle \phi }$ ist der azimutale Winkel und ${\displaystyle \rho }$ ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ sind definiert gemäß

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k}}$,

wenn ${\displaystyle n-m}$ gerade ist und ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=0}$, wenn ${\displaystyle n-m}$ ungerade ist.

Häufig werden sie zu ${\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1}$ normiert.

Eigenschaften

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ und eines winkelabhängigen Teils ${\displaystyle G^{m}}$:

${\displaystyle Z_{n}^{\pm m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\cdot G^{m}(\phi )\!.}$

[Für Puristen sei darauf hingewiesen, dass in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf Zernike-Funktionen zu bewirken.]

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel ${\displaystyle \alpha =2\pi /m}$ ändert den Wert des Polynoms nicht:

${\displaystyle G^{m}(\phi +\alpha )=G^{m}(\phi )\!.}$

Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über ${\displaystyle \rho }$ vom Grad ${\displaystyle n}$, welches keine Potenz kleiner ${\displaystyle m}$ enthält. ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn ${\displaystyle m}$ gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)}$ dar.

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})}$

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho }$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho }$

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho }$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1}$

Allgemein ist ${\displaystyle R_{n}^{n}(\rho )=\rho ^{n}.}$

Anwendungen

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Literatur

Commons: Zernike-Polynom – Sammlung von Bildern

• Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Zernike Polynomial. In: MathWorld (englisch).