Zentrierung (Statistik)

Als Mittelwertzentrierung, oder kurz Zentrierung, wird in der Statistik eine Transformation mit Verschiebung der Werte einer Variable um den Wert des Mittelwertes dieser Variable verstanden. Man nennt eine Beobachtungsreihe zentriert, wenn ${\displaystyle {\overline {x}}=0}$. Gilt zudem für die empirische Standardabweichung ${\displaystyle s=1}$, spricht man von einer standardisierten Beobachtungsreihe. Um eine Beobachtungsreihe zu zentrieren, ist von jedem Stichprobenwert ${\displaystyle {\overline {x}}}$ zu subtrahieren.^[1] Typisches Beispiel in den Sozialwissenschaften ist die Verschiebung von Altersangaben von Personen um den Mittelwert der Altersangaben einer Grundgesamtheit. Vorteil ist, dass unterdurchschnittliche Werte dadurch negative Vorzeichen erhalten. Ferner ist bei Anwendung multivariater Verfahren die Interpretation einfacher, weil dann nicht an einem unrealistischen Nullpunkt geschätzt wird. Ein Spezialfall der Zentrierung ist die Studentisierung.

Anwendungsbeispiele

Die Berechnung der empirischen Varianz ${\displaystyle {\tilde {s}}^{2}:={\frac {1}{n}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}$ verlangt, dass zuerst aus der Beobachtungsreihe das arithmetische Mittel ${\displaystyle {\overline {x}}}$ bestimmt wird und dann nochmals auf die Beobachtungsreihe zurückgegriffen werden muss, um die Abweichungen ${\displaystyle \nu =\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)}$ der Merkmalswerte vom arithmetischen Mittel zu bilden. Diesen Vorgang bezeichnet man als Zentrieren der Beobachtungsreihe. Allerdings kann die empirische Varianz auch in nichtzentrierter Form mittels des Verschiebungssatzes dargestellt werden.^[2]

Analog dazu erhält man eine zentrierte Zufallsvariable, wenn man von einer Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ ihren Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ abzieht, d. h. ${\displaystyle (X-\operatorname {E} (X))}$ bildet. Eine zentrierte Zufallsvariable hat stets einen Erwartungswert von Null, da ${\displaystyle \operatorname {E} (X-\operatorname {E} (X))=\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X)=0}$.^[3] Der Ausdruck ${\displaystyle \operatorname {E} (X-\operatorname {E} (X))}$ wird auch erstes zentrales Moment genannt.

Siehe auch

• Parallelverschiebung

Weblinks

• Skalierung von Daten auf statistics4u.info

Literatur

• Ilona Leyer und Karsten Wesche: Multivariate Statistik in der Ökologie: Eine Einführung. Springer-Verlag, 2007. S. 42.

Einzelnachweise

1. ↑ Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 110.
2. ↑ Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 109.
3. ↑ Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 66.