Z2 (Gruppe)

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ( oder ) ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe , zur ersten Diedergruppe und zur orthogonalen Gruppe im Eindimensionalen.

Eigenschaften

Da die Gruppe abelsch ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen nahegelegt. Die Verknüpfungstafel dieser Gruppe lautet:

01
001
110

Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als XOR-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe der invertierbaren Elemente des endlichen Körpers isomorph zu ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:

12
112
221

Eine weitere Realisierung erhält man als Einheitengruppe des Ringes . Diese ist und man erhält die Verknüpfungstafel

1−1
11−1
−1−11

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

2 als Untergruppe

Darstellungen

Jede nichttriviale Darstellung der bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der .

Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine Spiegelung, die Darstellungen der entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorräumen beliebiger Dimension.

2 als Körper

Die Gruppe mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines Körpers. Die dazu nötige Multiplikation auf ist durch die Verknüpfungstafel

01
000
101

gegeben. Beachte, dass mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet. Die beiden Verknüpfungen und zusammen machen zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort field für Körper gerne mit oder bezeichnet.

Siehe auch

Weblinks