Yule-Walker-Gleichungen

Die Yule-Walker-Gleichungen (nach Gilbert Walker und George Udny Yule) werden in der Zeitreihenanalyse, die zur Statistik gehört, zum Schätzen der Parameter von AR(MA)-Prozessen verwendet. Sie stellen einen Zusammenhang her zwischen Autoregressionskoeffizienten und der Autokovarianzfolge des Prozesses.

Die Gleichungen

Sei ${\displaystyle (X_{t})_{t\in \mathbb {Z} }}$ ein stationärer autoregressiver Prozess der Ordnung ${\displaystyle p}$, also ${\displaystyle X_{t}=\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}X_{t-k}+\varepsilon _{t}}$, wobei ${\displaystyle (\varepsilon _{t})_{t\in \mathbb {Z} }}$ weißes Rauschen mit Varianz ${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}}$ und ${\displaystyle (r_{t})_{t\in \mathbb {Z} }}$ die Autokovarianzfolge ist. Dann gelten die Yule-Walker Gleichungen:

1. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}r_{t-k}=r_{t}}$ für ${\displaystyle t>0}$
2. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}r_{t-k}=r_{0}-\sigma _{\varepsilon }^{2}}$ für ${\displaystyle t=0}$

Anwendungen

Mit den obigen Gleichungen können dann folgende Schätzer für die Parameter des Prozesses hergeleitet werden: Sei ${\displaystyle {\hat {R}}_{p}=({\hat {r}}_{i,j})_{i,j=1,\dots ,p}}$ die (geschätzte) Kovarianzmatrix des Prozesses, ferner ${\displaystyle {\hat {r}}_{i}=({\hat {R}}_{p})_{1,i}}$ sowie ${\displaystyle {\hat {r}}_{p}=({\hat {r}}_{1},\dots ,{\hat {r}}_{p})^{T}}$. Dann ist

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=({\hat {\alpha }}_{1},{\hat {\alpha }}_{2},\dots ,{\hat {\alpha }}_{p})^{T}={\hat {R}}_{p}^{-1}{\hat {r}}_{p}}$

ein konsistenter Schätzer für ${\displaystyle \alpha }$, der aufgrund der fast sicheren positiven Definitheit der Korrelationsmatrix ${\displaystyle R_{p}=(r_{i,j})_{i,j=1,\dots ,p}}$ fast sicher existiert.

Literatur

• Gebhard Kirchgässner, Jürgen Wolters: Introduction to Modern Time Series Analysis. 1. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-73290-7.
• P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Yule-Walker-Gleichungen, S. 503. 
• Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series. Theory and Methods, Springer. 2. verb. Aufl. Springer, New York 2006, ISBN 978-0-387-97429-3.