Yule-Walker-Gleichungen
Die Yule-Walker-Gleichungen (nach Gilbert Walker und George Udny Yule) werden in der Zeitreihenanalyse, die zur Statistik gehört, zum Schätzen der Parameter von AR(MA)-Prozessen verwendet. Sie stellen einen Zusammenhang her zwischen Autoregressionskoeffizienten und der Autokovarianzfolge des Prozesses.
Die Gleichungen
Sei ein stationärer autoregressiver Prozess der Ordnung , also , wobei weißes Rauschen mit Varianz und die Autokovarianzfolge ist. Dann gelten die Yule-Walker Gleichungen:
- für
- für
Anwendungen
Mit den obigen Gleichungen können dann folgende Schätzer für die Parameter des Prozesses hergeleitet werden: Sei die (geschätzte) Kovarianzmatrix des Prozesses, ferner sowie . Dann ist
ein konsistenter Schätzer für , der aufgrund der fast sicheren positiven Definitheit der Korrelationsmatrix fast sicher existiert.
Literatur
- Gebhard Kirchgässner, Jürgen Wolters: Introduction to Modern Time Series Analysis. 1. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-73290-7.
- P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Yule-Walker-Gleichungen, S. 503.
- Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series. Theory and Methods, Springer. 2. verb. Aufl. Springer, New York 2006, ISBN 978-0-387-97429-3.