Woodall-Zahl

Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form:

${\displaystyle W_{n}=n\cdot 2^{n}-1}$

für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$. Die ersten Woodall-Zahlen sind:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 10239, 22527, 49151, 106495, 229375, 491519, 1048575, 2228223, 4718591, 9961471, 20971519, 44040191, … (Folge A003261 in OEIS)

Geschichte

Woodall-Zahlen wurden zuerst von Allan J. C. Cunningham und H. J. Woodall im Jahr 1917 beschrieben.^[1] Dabei wurden beide inspiriert von James Cullen, der eine ähnliche Zahlenfolge definierte: die Cullen-Zahlen.

Ähnliche Folgen

Die Cullen-Zahlen sind definiert durch:

${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1,n\in \mathbb {N} }$

Infolge gilt:

${\displaystyle C_{n}-W_{n}=2}$.

Aufgrund dieser Ähnlichkeit werden Woodall-Zahlen auch als Cullen-Zahlen 2. Ordnung bezeichnet.^[2]

Woodall-Primzahlen

Eine Woodall-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, wird als Woodall-Primzahl bezeichnet. Die ersten Exponenten ${\displaystyle n}$, für die Woodall-Zahlen solche Woodall-Primzahlen darstellen, sind:

${\displaystyle n}$ = 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602, … (Folge A002234 in OEIS)

${\displaystyle W_{n}}$ = 7, 23, 383, 32212254719, 2833419889721787128217599, … (Folge A050918 in OEIS)

Vor allem die größeren Woodall-Primzahlen wurden durch das BOINC-Projekt PrimeGrid gefunden.

Die bisher größte Woodall-Primzahl wurde am 22. März 2018 berechnet und lautet:

${\displaystyle W_{17016602}=17016602\cdot 2^{17016602}-1=8508301\cdot 2^{17016603}-1}$

Diese Zahl hat 5.122.515 Stellen und wurde vom Italiener Diego Bertolotti, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.^[3][4]

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Woodall-Zahlen bis ${\displaystyle n<14508061}$ gibt.^[5] Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Eigenschaften von Woodall-Zahlen

• Fast alle Woodall-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen (bewiesen von Christopher Hooley im Jahr 1976).^[6][7]
• Die Primzahl ${\displaystyle p}$ teilt die Woodall-Zahl ${\displaystyle W_{\frac {p+1}{2}}}$, wenn das Jacobi-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=+1}$ ist.^[6]
• Die Primzahl ${\displaystyle p}$ teilt die Woodall-Zahl ${\displaystyle W_{\frac {3p-1}{2}}}$, wenn das Jacobi-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=-1}$ ist.^[6]
• Es gilt:

${\displaystyle W_{4}=4\cdot 2^{4}-1=63}$ und ${\displaystyle W_{5}=5\cdot 2^{5}-1=159}$ sind beide durch drei teilbar.

Jede weitere sechste Woodall-Zahl ${\displaystyle W_{n}}$ ist ebenfalls durch ${\displaystyle 3}$ teilbar. Somit ist ${\displaystyle W_{n}}$ nur dann möglicherweise eine Woodall-Primzahl, wenn der Index ${\displaystyle n}$ nicht ein Vielfaches von 4 oder 5 (modulo 6) ist.

• Die einzigen beiden bekannten Primzahlen, die Woodall-Primzahlen und gleichzeitig Mersenne-Primzahlen darstellen, sind (Stand: Mai 2019):

${\displaystyle W_{2}=M_{3}=7}$ und ${\displaystyle W_{512}=M_{521}}$

Verallgemeinerte Woodall-Zahlen

Zahlen der Form ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}$ mit ${\displaystyle n+2>b}$ bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen.

Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Woodall-Primzahl.

Die Bedingung ${\displaystyle n+2>b}$ ist notwendig, denn ohne diese Bedingung wäre jede Primzahl ${\displaystyle p}$ eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl, weil ${\displaystyle p=1\cdot (p+1)^{1}-1}$ wäre.^[6]

Die kleinsten ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}$ prim ist, sind für aufsteigendes ${\displaystyle b}$ = 1, 2, …:

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, … (Folge A240235 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Woodall-Primzahlen für Basen von ${\displaystyle b}$ zwischen 1 und 30.^[8] Diese ${\displaystyle n}$ wurden zumindest bis 200000 untersucht. Wenn für ${\displaystyle n}$ die Bedingung ${\displaystyle n+2>b}$ nicht gilt, aber trotzdem die Zahl ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}$ prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Woodall-Primzahl ist ${\displaystyle 2740879\cdot 32^{2740879}-1=2740879\cdot 2^{13704395}-1}$. Sie hat 4.125.441 Stellen und wurde am 26. Oktober 2019 von Ryan Propper entdeckt.^[9][10]

Siehe auch

• Cullen-Zahl

Literatur

• J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

Weblinks

• Cullen prime
• Woodall prime

Einzelnachweise

1. ↑ A. J. C Cunningham, H. J. Woodall: Factorisation of ${\displaystyle Q=(2^{q}\mp q)}$ and ${\displaystyle (q\cdot {2^{q}}\mp 1)}$. In: Messenger of Mathematics. 1917, S. 1 von 151. 
2. ↑ Eric W. Weisstein: Woodall Number. Abgerufen am 25. Mai 2019 (englisch). 
3. ↑ PrimeGrid’s Woodall Prime Search, 17016602·2^17016602 - 1. (PDF) PrimeGrid, abgerufen am 26. April 2018. 
4. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Woodall Primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018. 
5. ↑ Weisstein, Eric W.: Woodall Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016. 
6. ↑ ^{a b c d} Chris K.Caldwell: Woodall Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016. 
7. ↑ Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward: Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. In: RI: American Mathematical Society. 2003, ISBN 0-8218-3387-1, S. 94. 
8. ↑ Liste der verallgemeinerten Woodall-Primzahlen mit Basis 3 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016. 
9. ↑ Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 2740879·32^2740879 - 1. Prime Pages, abgerufen am 15. Januar 2020. 
10. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Woodall. Prime Pages, abgerufen am 15. Januar 2020.