Wilson-Primzahl

Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen ${\displaystyle p}$, für die gilt, dass ${\displaystyle (p-1)!+1}$ durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.

Zur Notation siehe Fakultät, Teilbarkeit und Kongruenz

Der Satz von Wilson besagt, dass ${\displaystyle (p-1)!+1}$ genau dann durch ${\displaystyle p}$ teilbar ist, wenn ${\displaystyle p}$ eine Primzahl ist. Für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ gilt also:

${\displaystyle p\mid (p-1)!+1}$

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}$

oder

${\displaystyle (p-1)!+1\equiv 0{\pmod {p}}}$

Das ganzzahlige Ergebnis der Division

${\displaystyle {\frac {(p-1)!+1}{p}}}$

wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient ${\displaystyle W(p)}$ bezeichnet^[1] (Folge A007619 in OEIS).

Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl ${\displaystyle p}$, die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei ${\displaystyle n>2}$

• ${\displaystyle n}$ ist ${\displaystyle prim\Rightarrow (n-1)!\equiv -1\mod n}$

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} _{n}^{*}}$ hat ${\displaystyle ax\equiv 1(\mod n)}$ eine eindeutige Lösung ${\displaystyle a^{-1}\mod n}$

${\displaystyle a^{2}\equiv 1\Leftrightarrow (a-1)(a+1)=y\cdot n\Leftrightarrow (a\equiv 1\mod n}$ oder ${\displaystyle -1\mod n)}$

${\displaystyle (n-1)!\equiv (n-1)\equiv -1\mod n}$

• ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1\mod n}$ ${\displaystyle \Rightarrow n}$ ist ${\displaystyle {\text{prim}}}$

Annahme: ${\displaystyle n=a\cdot b,a,b>1}$

${\displaystyle a{\text{ teilt }}(n-1)!}$ mit ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1\mod n\Rightarrow a{\text{ teilt }}n-1}$

Widerspruch: ${\displaystyle a}$ kann nicht gleichzeitig ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle n-1}$ teilen

Die Zahl ${\displaystyle p=13}$ ist ein Teiler von ${\displaystyle (p-1)!+1}$:

${\displaystyle {\frac {(13-1)!+1}{13}}={\frac {479.001.600+1}{13}}=36.846.277}$

Also ist ${\displaystyle p=13}$ wegen des Satzes von Wilson eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 ${\displaystyle :}$ 13 = 2.834.329), ist sie sogar eine Wilson-Primzahl.

Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl ${\displaystyle p}$ genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:

${\displaystyle p^{2}\mid (p-1)!+1}$

Beziehungsweise:

${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p^{2}}}}$

oder

${\displaystyle {\frac {(p-1)!+1}{p}}=W(p)\equiv 0{\pmod {p}}}$

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563^[2] bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als ${\displaystyle 2\cdot 10^{13}}$.^[3] Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa ${\displaystyle \ln(\ln(y)/\ln(x))}$ zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$.^[4][5]

Die Verallgemeinerung des Satzes von Wilson besagt, dass eine natürliche Zahl ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ genau dann eine Primzahl ist, wenn für alle ${\displaystyle 1\leq n\leq p}$ gilt:

${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!\equiv (-1)^{n}{\pmod {p}}}$

Es ist ${\displaystyle p}$ also eine Primzahl, wenn ${\displaystyle {\frac {(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}{p}}}$ ganzzahlig ist.

Eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n ist eine Primzahl ${\displaystyle p}$, für welche gilt:

${\displaystyle p^{2}}$ ist Teiler von ${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle p\geq n}$

Es ist ${\displaystyle p}$ also eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n, wenn ${\displaystyle {\frac {(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}{p^{2}}}}$ ganzzahlig ist.

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!\equiv (-1)^{n}{\pmod {p^{2}}}}$

oder

${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$

Es wird vermutet, dass es für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ unendlich viele verallgemeinerte Wilson-Primzahlen der Ordnung ${\displaystyle n}$ gibt.

Sei ${\displaystyle p=17\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl und ${\displaystyle n=7}$. Die Quadratzahl ${\displaystyle p^{2}=17^{2}=289}$ ist ein Teiler von ${\displaystyle (n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}=6!\cdot (p-7)!+1}$:

${\displaystyle {\frac {6!\cdot (17-7)!+1}{17^{2}}}={\frac {720\cdot 3628800+1}{289}}={\frac {2612736001}{289}}=9040609}$

Also ist ${\displaystyle p=17}$ ein Teiler des entsprechenden verallgemeinerten Wilson-Quotienten und ist deswegen eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung ${\displaystyle n=7}$.

Der folgenden Tabelle kann man die verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung ${\displaystyle n}$ entnehmen für ${\displaystyle 1\leq n\leq 30}$:

Die kleinsten verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung ${\displaystyle n}$ lauten (bei aufsteigendem ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$):

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17 … (Folge A128666 in OEIS)

Schon die nächste verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung ${\displaystyle n=8}$ ist nicht bekannt, muss aber größer als ${\displaystyle 1{,}4\cdot 10^{7}}$ sein.

Eine Primzahl ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, welche die Kongruenz

${\displaystyle (p-1)!\equiv -1+Bp{\pmod {p^{2}}}}$ mit betragsmäßig kleinem ${\displaystyle |B|}$

erfüllt, nennt man Fast-Wilson-Primzahl (englisch Near-Wilson primes).

Ist ${\displaystyle B=0}$, so erhält man ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p^{2}}}}$ und erhält die Wilson-Primzahlen.

Der folgenden Tabelle kann man alle solche Fast-Wilson-Primzahlen entnehmen für ${\displaystyle |B|\leq 100}$ mit ${\displaystyle 10^{6}<p<4\cdot 10^{11}}$:^[3]

Eine Wilson-Zahl ist eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$, für welche gilt:

${\displaystyle W(n)\equiv 0{\pmod {n^{2}}}}$, mit ${\displaystyle W(n)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {ggT} (k,n)=1}}{k}+e}$

Dabei ist ${\displaystyle e=1}$ genau dann, wenn ${\displaystyle n}$ eine Primitivwurzel hat, sonst ist ${\displaystyle e=-1}$.

Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ ist ${\displaystyle W(n)}$ durch ${\displaystyle n}$ teilbar. Den Quotienten ${\displaystyle {\frac {W(n)}{n}}}$ nennt man verallgemeinerter Wilson-Quotient.^[6] Die ersten verallgemeinerte Wilson-Quotienten lauten:

2, 1, 1, 1, 5, 1, 103, 13, 249, 19, 329891, 32, 36846277, 1379, 59793, 126689, 1230752346353, 4727, 336967037143579, 436486, 2252263619, 56815333, 48869596859895986087, 1549256, 1654529071288638505 (Folge A157249 in OEIS)

Ist der verallgemeinerte Wilson-Quotient durch ${\displaystyle n}$ teilbar, erhält man eine Wilson-Zahl. Diese lauten:

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158 (Folge A157250 in OEIS)

Wenn eine Wilson-Zahl ${\displaystyle n}$ prim ist, dann ist ${\displaystyle n}$ eine Wilson-Primzahl. Es gibt 13 Wilson-Zahlen für ${\displaystyle n<5\cdot 10^{8}}$.

• N. G. W. H. Beeger: Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p−1)! ≡ −1 (mod p²). In: The Messenger of Mathematics, 43, 1913–1914, S. 72–84 (französisch) Textarchiv – Internet Archive
• Emma Lehmer: On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson. (PDF; 747 kB) In: Annals of Mathematics, 39, April 1938, S. 350–360 (englisch)
• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-34283-4 (aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes. Springer, New York 2004)

• Eric W. Weisstein: Wilson Prime. In: MathWorld (englisch).
• Chris K. Caldwell: Wilson prime. The Prime Glossary (englisch).
• Here is the latest update on … – E-Mail von Richard McIntosh an Paul Zimmermann vom 9. März 2004 (englisch)
• Emma Lehmer: On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson. Annals of Mathematics 39 (2), April 1938, S. 350–360, abgerufen am 3. Februar 2020. 
• Distributed search for Wilson primes. mersenneforum.org, abgerufen am 3. Februar 2020. 
• Erna H. Pearson: On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²). Mathematics of Computation 17, 6. April 1962, S. 194–195, abgerufen am 3. Februar 2020. 

1. ↑ Eric W. Weisstein: Wilson Quotient. In: MathWorld (englisch).
2. ↑ Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime. In: Journal of the London Mathematical Society, 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)
3. ↑ ^{a b} Edgar Costa, Robert Gerbicz, David Harvey: A search for Wilson primes. 27. Oktober 2012, S. 1–25, abgerufen am 1. Februar 2020. 
4. ↑ Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. Mathematics of Computation 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
5. ↑ Chris K. Caldwell: Wilson prime. The Prime Glossary (englisch).
6. ↑ Takashi Agoh, Karl Dilcher, Ladislav Skula: Wilson Quotients for composite moduli. Mathematics of Computation 67 (222), April 1998, S. 843–861, abgerufen am 2. Februar 2020.