Willmore-Energie

Die Willmore-Energie ist in der Differentialgeometrie eine Größe, die die Biegungsenergie von im Raum eingebetteten Flächen misst. Sie ist nach Thomas Willmore benannt.

Definition

Für eine glatte, eingebettete, kompakte, orientierte Fläche ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}$ mit mittlerer Krümmung ${\displaystyle H:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} }$ definiert man die Willmore-Energie

${\displaystyle W(\Sigma )=\int _{\Sigma }H^{2}dA}$.

Motivation

Minimalflächen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ sind per Definition Flächen, deren mittlere Krümmung verschwindet: ${\displaystyle H\equiv 0}$.

Aus dem Maximumprinzip folgt, dass es im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ keine kompakten Minimalflächen ohne Rand gibt. Stattdessen sucht man nach geschlossenen Flächen, welche die Willmore-Energie minimieren.

Variante

Gelegentlich wird die Willmore-Energie auch durch

${\displaystyle \int _{\Sigma }(H^{2}-K)dA}$

mit der Gauß-Krümmung ${\displaystyle K:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} }$ definiert.

Weil nach dem Satz von Gauß-Bonnet

${\displaystyle \int _{\Sigma }KdA=2\pi \chi (\Sigma )=4\pi (1-g)}$

gilt, unterscheiden sich die beiden Definitionen nur durch eine (von der Topologie der Fläche ${\displaystyle \Sigma }$ abhängende) Konstante.

Sphären

Eine runde Sphäre von beliebigem Radius ${\displaystyle r}$ hat Willmore-Energie ${\displaystyle W(S^{2}(r))=4\pi }$. Eine elementare Anwendung der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (zusammen mit dem Satz von Gauss-Bonnet) zeigt, dass für jede andere Sphäre die Willmore-Energie größer als ${\displaystyle 4\pi }$ ist.^[1]

Tori

Clifford-Tori haben Willmore-Energie ${\displaystyle W(T)=2\pi ^{2}}$.

Thomas Willmore vermutete 1965^[2], dass für jede Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle \geq 1}$ die Ungleichung

${\displaystyle W(\Sigma )\geq 2\pi ^{2}}$

gilt. Ein Beweis dieser Vermutung wurde im Februar 2012 von Fernando Codá Marques und André Neves angekündigt.^[3] Martin Schmidt hat schon 2002 in^[4] einen Beweis der Willmore-Vermutung dargestellt, dessen Vollständigkeit allerdings in der Fachwelt umstritten ist.

Immersionen

Die Willmore-Energie kann auch für Immersionen ${\displaystyle f:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ definiert werden. Li und Yau haben bewiesen, dass für jede nicht-eingebettete immersierte Fläche die Willmore-Energie mindestens ${\displaystyle 8\pi }$ ist. Insbesondere wird das Minimum der Willmore-Energie unter immersierten Sphären und Tori tatsächlich durch eingebettete Flächen realisiert.

Für immersierte projektive Ebenen ist die Willmore-Energie mindestens ${\displaystyle 16\pi }$, das Minimum wird durch die Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche realisiert.

Weblinks

• Yann Bernard: Autour des surfaces de Willmore

Einzelnachweise

1. ↑ Die Willmore-Vermutung nach Marques und Neves
2. ↑ T.J.Willmore: Note on embedded surfaces An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi, N. Ser., Sect. Ia 11B, 493–496 (1965)
3. ↑ Fernando Codá Marques, André Neves: Min-Max theory and the Willmore conjecture, arxiv:1202.6036
4. ↑ Martin U. Schmidt: A proof of the Willmore conjecture. In: arXiv. 2002. arxiv:math/0203224.