Weylsches Einbettungsproblem

Das Weylsche Einbettungsproblem ist ein klassisches Problem der Differentialgeometrie und wurde erstmals 1916 von Hermann Weyl formuliert. Es hat Generationen von Mathematikern beschäftigt und wurde 1953 von Louis Nirenberg mit Hilfe einer Monge-Ampèreschen Gleichung gelöst, jedoch unter sehr restriktiven Bedingungen. Das Weylsche Einbettungsproblem ist dem Minkowski-Problem sehr verwandt.

Formulierung

Gibt es zu jeder auf der Einheitssphäre gegebenen positiv definiten quadratischen Form mit positiver gaußscher Krümmung eine konkrete Realisierung durch eine Fläche (d.h. eine Einbettung) im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, also eine Fläche, die diese Form als erste Fundamentalform besitzt?

Etwas kürzer und abstrakter: Sei ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ eine positiv definite Metrik auf der Einheitssphäre ${\displaystyle S^{2}}$ mit überall positiver Gaußkrümmung. Kann dann die riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (S^{2},\,\mathrm {d} s^{2})}$ isometrisch in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ eingebettet werden?

Lösung

Bedeutende Antworten auf das Weylsche Einbettungsproblem gaben zunächst Hans Lewy (1938) und später Louis Nirenberg (1953) in einer allgemein als bahnbrechend angesehenen Arbeit. Die bislang letzte Antwort auf das Weylsche Einbettungsproblem gab Erhard Heinz 1962, sie lautet: „Ja, wenn die erste Fundamentalform dreimal differenzierbar ist.“ Es ist nicht bekannt, ob eine Einbettung auch mit schwächeren Anforderungen an die Regularität der ersten Fundamentalform möglich ist.

Literatur

• Erhard Heinz: On Weyl's embedding problem. In: Journal of Mathematics and Mechanics. 11, 3, 1962, ISSN 0095-9057, S. 421–454.
• Hans Lewy: On the existence of a closed convex surface realizing a given Riemannian metric. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. 24, 2, 1938, ISSN 0027-8424, S. 104–106.
• Louis Nirenberg: The Weyl and Minkowski problems in differential geometry in the large. In: Communications on Pure and Applied Mathematics. 6, 3, 1953, ISSN 0010-3640, S. 337–394, doi:10.1002/cpa.3160060303.
• Hermann Weyl: Über die Bestimmung einer geschlossenen konvexen Fläche durch ihr Linienelement. In: Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich. 61, 1916, ISSN 0042-5672, S. 148–178.