Weingartenabbildung

Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie.

Vorbereitung

Eine reguläre Fläche sei durch die Parameterdarstellung

${\displaystyle {\begin{aligned}X\colon \mathbb {R} ^{2}\supset A&\to \mathbb {R} ^{3}\\(u,v)&\mapsto X(u,v)\end{aligned}}}$

gegeben. Dabei sei ${\displaystyle X}$ mindestens zweimal stetig differenzierbar und in jedem Punkt ${\displaystyle (u,v)}$ habe die Ableitung ${\displaystyle DX_{(u,v)}}$, eine lineare Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, vollen Rang. Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, der Tangentialraum der Fläche im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}$. Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}$ angeheftet. Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren

${\displaystyle X_{1}(u,v)=X_{u}(u,v)={\tfrac {\partial X}{\partial u}}(u,v)=DX_{(u,v)}(e_{1})}$ und

${\displaystyle X_{2}(u,v)=X_{v}(u,v)={\tfrac {\partial X}{\partial v}}(u,v)=DX_{(u,v)}(e_{2})}$

aufgespannt. (Hierbei bezeichnen ${\displaystyle e_{1}}$ und ${\displaystyle e_{2}}$ die Einheitsvektoren der Standardbasis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.)

Die Einheitsnormale ${\displaystyle N(u,v)}$ im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}$ der Fläche kann mit Hilfe des Vektorprodukts berechnet werden:

${\displaystyle N(u,v)={\frac {X_{u}(u,v)\times X_{v}(u,v)}{|X_{u}(u,v)\times X_{v}(u,v)|}}}$

Somit ist ${\displaystyle N}$ eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ in den Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Den Bildvektor ${\displaystyle N(u,v)}$ denkt man sich angeheftet an den Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}$. Die Ableitung ${\displaystyle DN_{(u,v)}}$ im Punkt ${\displaystyle (u,v)}$ ist eine lineare Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Aus der Bedingung, dass ${\displaystyle N(u,v)}$ ein Einheitsvektor ist, folgt, dass für jedes Parameterpaar ${\displaystyle (u,v)}$ das Bild der Abbildung ${\displaystyle DN_{(u,v)}}$ im Tangentialraum der Fläche im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}$ liegt und somit im Bild der Abbildung ${\displaystyle DX_{(u,v)}}$. Da ${\displaystyle DX_{(u,v)}}$ injektiv ist, existiert die Umkehrabbildung ${\displaystyle (DX_{(u,v)})^{-1}}$ als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt ${\displaystyle X(u,v)}$.

Definition

Man kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich (klassische Sichtweise) oder auf dem Tangentialraum (moderne Sichtweise) definieren.

Im Parameterbereich

Die Abbildung ${\displaystyle DN_{(u,v)}}$ bildet den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ auf den Tangentialraum der Fläche im Punkt ${\displaystyle X(u,v)}$ ab. Die Abbildung ${\displaystyle (DX_{(u,v)})^{-1}}$ bildet diesen Tangentialraum wieder auf den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

${\displaystyle L_{(u,v)}=-(DX_{(u,v)})^{-1}\circ DN_{(u,v)}}$

von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ heißt Weingartenabbildung an der Stelle ${\displaystyle (u,v)}$.

Auf der Fläche

Die Abbildung ${\displaystyle (DX_{(u,v)})^{-1}}$ bildet einen Vektor des Tangentialraums der Fläche im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}$ in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ab. Die Abbildung ${\displaystyle DN_{(u,v)}}$ bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

${\displaystyle L_{X(u,v)}=-DN_{(u,v)}\circ (DX_{(u,v)})^{-1}}$

bildet den Tangentialraum im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}$ auf sich ab und heißt Weingartenabbildung am Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}$. Es gilt also

${\displaystyle L_{X(u,v)}X_{i}(u,v)=-N_{i}(u,v)}$ für ${\displaystyle i=1,2}$.

Koordinatendarstellung

Die beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf völlig verschiedenen Vektorräumen definiert. Wählt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis ${\displaystyle X_{u}(u,v)}$, ${\displaystyle X_{v}(u,v)}$, so stimmen die zugehörigen Abbildungsmatrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}h^{1}{_{1}}(u,v)&h^{1}{_{2}}(u,v)\\h^{2}{_{1}}(u,v)&h^{2}{_{2}}(u,v)\end{pmatrix}}}$

überein. Sie sind durch die Gleichungen

${\displaystyle L_{X(u,v)}(X_{u}(u,v))=-N_{u}(u,v)=h^{1}{_{1}}(u,v)X_{u}(u,v)+h^{2}{_{1}}(u,v)X_{v}(u,v)}$

${\displaystyle L_{X(u,v)}(X_{v}(u,v))=-N_{v}(u,v)=h^{1}{_{2}}(u,v)X_{u}(u,v)+h^{2}{_{2}}(u,v)X_{v}(u,v)}$

charakterisiert. In Einsteinscher Summenkonvention, mit ${\displaystyle X_{1}=X_{u}}$, ${\displaystyle X_{2}=X_{v}}$, ${\displaystyle N_{1}=N_{u}=DN_{(u,v)}(e_{1})}$, ${\displaystyle N_{2}=N_{v}=DN_{(u,v)}(e_{2})}$ und unter Weglassung des Arguments:

${\displaystyle L(X_{j})=-N_{j}=h^{i}{}_{j}X_{i}}$

Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform

Für jedes Parameterpaar ${\displaystyle (u,v)}$ ist die erste Fundamentalform ${\displaystyle g_{(u,v)}}$ ein Skalarprodukt im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ und die zweite Fundamentalform ${\displaystyle h_{(u,v)}}$ eine symmetrische Bilinearform. Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden: Für Vektoren ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in \mathbb {R} ^{2}}$ gilt

${\displaystyle h(w_{1},w_{2})=g(w_{1},Lw_{2})}$.

Für die zugehörigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention

${\displaystyle h_{ik}=g_{ij}h^{j}{_{k}}}$

und

${\displaystyle h^{i}{}_{k}=g^{ij}h_{jk}.}$

Eigenschaften

• Die Weingartenabbildung ${\displaystyle L}$ ist selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform ${\displaystyle g}$, das heißt, für alle ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in \mathbb {R} ^{2}}$ gilt
  ${\displaystyle g(w_{1},Lw_{2})=g(Lw_{1},w_{2})\,.}$
  In jedem Punkt der Fläche existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von ${\displaystyle L}$, die orthonormal bezüglich ${\displaystyle g}$ ist.
• Die Richtungen der Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen.
• Die Eigenwerte der Weingartenabbildung geben die Hauptkrümmungen der Fläche an.
• Für einen Vektor ${\displaystyle w\in T_{(u,v)}\mathbb {R} ^{2}}$ beschreibt ${\displaystyle Lw}$ die Änderung der Flächennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt.
• Die Weingartenabbildung ist die Ableitung der Gauß-Abbildung.

Beispiel

Dem Beispiel aus den Artikeln erste Fundamentalform und zweite Fundamentalform folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius ${\displaystyle r>0}$ betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch

${\displaystyle X(u,v)={\begin{pmatrix}r\sin u\cos v\\r\sin u\sin v\\r\cos u\end{pmatrix}}}$ parametrisiert.

Die Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform besteht aus den Komponenten ${\displaystyle g_{uu}=r^{2}}$, ${\displaystyle g_{uv}=g_{vu}=0}$, sowie ${\displaystyle g_{vv}=r^{2}\sin ^{2}u}$.

Die Matrixdarstellung der zweiten Fundamentalform besteht aus den Komponenten ${\displaystyle h_{uu}=-r}$, ${\displaystyle h_{uv}=h_{vu}=0}$, sowie ${\displaystyle h_{vv}=-r\sin ^{2}u}$.

Beide sind durch die Gleichung ${\displaystyle h_{ik}=g_{ij}h^{j}{_{k}}}$ miteinander verbunden. Diese liefert durch Ausschreiben der Einsteinschen Summenkonvention folgende vier Gleichungen:

${\displaystyle h_{uu}=g_{uu}h^{u}{_{u}}+g_{uv}h^{v}{_{u}}}$

${\displaystyle h_{uv}=g_{uu}h^{u}{_{v}}+g_{uv}h^{v}{_{v}}}$

${\displaystyle h_{vu}=g_{vu}h^{u}{_{u}}+g_{vv}h^{v}{_{u}}}$

${\displaystyle h_{vv}=g_{vu}h^{u}{_{v}}+g_{vv}h^{v}{_{v}}}$

Durch Einsetzen der Komponenten der Matrixdarstellungen erhält man die Komponenten der Weingartenabbildung:

${\displaystyle h^{u}{_{u}}=h^{v}{_{v}}=-{\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle h^{u}{_{v}}=h^{v}{_{u}}=0}$

Alternativ hätte auch die explizite Formel ${\displaystyle h^{i}{}_{k}=g^{ij}h_{jk}}$ genutzt werden können. Dazu hätte allerdings die Matrix der ersten Fundamentalform invertiert werden müssen, um die ${\displaystyle g^{ij}}$ zu erhalten.

Literatur

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4., überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.