Weil-Starrheit

In der Mathematik gibt der Weilsche Starrheitssatz eine berechenbare Bedingung für die lokale Starrheit (d. h. Nicht-Deformierbarkeit) von Darstellungen. Er ist von Bedeutung in verschiedenen Gebieten der Mathematik, meist im Zusammenhang mit Darstellungen diskreter Gruppen.

Tangentialraum der Darstellungsvarietät

Darstellungen einer Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ in eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ kann man als Punkte der Darstellungsvarietät auffassen. Deformationen einer Darstellung sind dann also Kurven in der Darstellungsvarietät und entsprechen somit Tangentialvektoren der Darstellungsvarietät.

Der Zariski-Tangentialraum der Darstellungsvarietät entspricht den 1-Kozykeln mit Werten in der adjungierten Darstellung:

${\displaystyle T_{\rho }\operatorname {Hom} (\Gamma ,G)=Z^{1}(\Gamma ,Ad\circ \rho )}$.

Dabei entspricht ein Tangentialvektor einer Kurve ${\displaystyle \rho _{t}}$ (mit ${\displaystyle \rho _{0}=\rho }$) in ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\Gamma ,G)}$ und der zugehörige 1-Kozykel ${\displaystyle z\in Z^{1}(\Gamma ,G)}$ ist gegeben durch

${\displaystyle z(\gamma )=\left.{\frac {d}{dt}}\right\vert _{t=0}\rho _{t}(\gamma )\rho _{0}^{-1}(\gamma )}$.

Die durch Konjugation ${\displaystyle \rho _{t}(\gamma )=g_{t}\rho (\gamma )g_{t}^{-1}}$ (mit ${\displaystyle g_{0}=e}$) gegebenen Deformationen entsprechen genau den 1-Korändern.

Insbesondere ist ${\displaystyle \rho \colon \Gamma \to G}$ lokal starr, wenn

${\displaystyle H^{1}(\Gamma ,Ad\circ \rho )=0}$

ist. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, sie gilt aber für halbeinfache Darstellungen ${\displaystyle \rho }$.

Weils Starrheitssatz

Sei ${\displaystyle G}$ eine zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor und ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ein irreduzibles kokompaktes Gitter. Wenn ${\displaystyle G}$ nicht lokal isomorph zu SL(2,R) ist, dann ist

${\displaystyle H^{1}(\Gamma ,Ad)=0}$.

Insbesondere ist die Inklusion ${\displaystyle \iota \colon \Gamma \to G}$ lokal starr.

Siehe auch

• Mostow-Starrheit

Literatur

• André Weil: Remarks on the cohomology of groups. Ann. of Math.(2) 80, 149–157 (1964). pdf
• M. S. Raghunathan: On the first cohomology of discrete subgroups of semisimple Lie groups. Amer. J. Math. 87, 103–139 (1965). pdf
• Armand Borel: Cohomologie et rigidité d'espaces compacts localement symétriques. Seminaire Bourbaki, 16e année: 1963/64, Fasc. 2, Exposé 265.
• N. Bergeron, T. Gelander: A note on local rigidity. Geom. Dedicata 107, 111–131 (2004). pdf
• André Weil: On discrete subgroups of Lie groups. I: Ann. of Math.(2) 72, 369–384 (1960). pdf II: Ann. of Math.(2) 75, 578–602 (1962). pdf
• M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 68. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972.
• Yozô Matsushima, Shingo Murakami: On vector bundle valued harmonic forms and automorphic forms on symmetric riemannian manifolds. Ann. of Math.(2) 78, 365–416 (1963). pdf

Weblinks

• Kapovich: Group cohomology and representation varieties
• Fisher: Local rigidity of Group Actions: past, present, future
• Besson: Calabi-Weil infinitesimal rigidity