Weil-Algebra

In der Mathematik ist die Weil-Algebra (ursprünglich von Henri Cartan eingeführt und nach André Weil benannt) ein Hilfsmittel bei der Berechnung charakteristischer Klassen.

Definition

Sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine Lie-Algebra. Die Weil-Algebra ist die graduierte Algebra

${\displaystyle W^{n}({\mathfrak {g}})=\bigoplus _{2p+q=n}S^{p}({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Lambda ^{q}({\mathfrak {g}}^{*})}$,

wobei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ der duale Vektorraum, ${\displaystyle S^{*}({\mathfrak {g}}^{*})}$ die Polynomalgebra und ${\displaystyle \Lambda ^{*}({\mathfrak {g}}^{*})}$ die Graßmann-Algebra ist.

Explizite Definition des Differentials

Sei ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$ eine Basis von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Seien ${\displaystyle c_{ij}^{k}}$ die Strukturkonstanten, also ${\displaystyle \left[e_{i},e_{j}\right]=c_{ij}^{k}e_{k}}$. Die Weil-Algebra ${\displaystyle W^{*}({\mathfrak {g}})}$ hat Erzeuger ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}}$ vom Grad 1 und ${\displaystyle \mu _{1},\ldots ,\mu _{m}}$ vom Grad 2. Dann ist das Differential definiert durch

${\displaystyle d(\theta _{i})=\mu _{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k}c_{jk}^{i}\theta _{j}\theta _{k}}$

${\displaystyle d(\mu _{i})=-\sum _{jk}c_{jk}^{i}\theta _{j}\mu _{k}}$.

Die Kohomologie von ${\displaystyle (W({\mathfrak {g}}),d)}$ ist trivial (außer in Grad 0).

Konstruktion charakteristischer Klassen

Ein Zusammenhang ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$ auf einem ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle \pi \colon P\to M}$ induziert einen Homomorphismus

${\displaystyle f_{\omega }\colon \Omega ^{1}({\mathfrak {g}})\to \Omega ^{1}(P,\mathbb {R} )}$,

der sich zu einem Homomorphismus differentieller graduierter Algebren

${\displaystyle f_{\omega }\colon W({\mathfrak {g}})\to \Omega ^{*}(P,\mathbb {R} )}$

fortsetzen lässt.^[1] Die ${\displaystyle G}$-invarianten Elemente von ${\displaystyle W^{2k}({\mathfrak {g}})}$ werden auf (das Urbild von) ${\displaystyle \Omega ^{2k}(M,\mathbb {R} )}$ abgebildet und definieren charakteristische Klassen in ${\displaystyle H_{dR}^{2k}(M;\mathbb {R} )}$. (Diese Konstruktion wird als Chern-Weil-Homomorphismus bezeichnet.)

Relative Weil-Algebra

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe und ${\displaystyle K\subset G}$ eine maximal kompakte Untergruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {k}}\subset {\mathfrak {g}}}$. Die relative Weil-Algebra ist definiert als

${\displaystyle W(G,K)=(S({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Lambda ({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {k}}))^{K}}$.

Sei ${\displaystyle BG}$ der klassifizierende Raum und ${\displaystyle EG\to BG}$ das universelle Bündel der Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$. Man hat kanonische Isomorphismen der Kohomologiegruppen

${\displaystyle H^{*}(W(G,K))=H^{*}(EG/K)=H^{*}(BG)=I(K)}$

mit dem Ring ${\displaystyle I(K)}$ der invarianten Polynome.

Die relative Weil-Algebra wird bei der Berechnung sekundärer charakteristischer Klassen von lokal symmetrischen Räumen verwendet.

Literatur

• W. Greub, S. Halperin, R. Vanstone, "Connections, curvature, and cohomology. Volume III: Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces." Pure and Applied Mathematics, Vol. 47-III. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1976 (Chapter VI).
• H. Cartan, "Cohomologie réelle d'un espace fibré principal differentiable", Sem. H. Cartan 1949/50, Exp. 19–20 (1950).
• J.L. Dupont, F.W. Kamber, "Cheeger-Chern-Simons classes of transversally symmetric foliations: dependence relations and eta-invariants." Math. Ann. 295 (1993), no. 3, 449–468, doi:10.1007/BF01444896.
• J.L. Dupont, F.W. Kamber, "On a generalization of Cheeger–Chern–Simons classes" Illinois J. Math. 34 (1990), no. 2, 221–255.
• H. Cartan, "Notions d’algébre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés ou opère un groupe de Lie", Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, (1950), pp. 15–27.
• F.W. Kamber, Ph. Tondeur, "Semi-simplicial Weil algebras and characteristic classes" Tôhoku Math. J. 30 (1978) pp. 373–422 (pdf).
• F.W. Kamber, Ph. Tondeur, "Foliated bundles and characteristic classes", Lecture Notes in Mathematics, 493, Springer (1975).

Weblinks

• Weil Algebra of a Lie Algebra (Encyclopedia of Mathematics)
• Weil Algebra (nLab)

Einzelnachweise

1. ↑ Theorem 5.18 in: J.I. Burgos Gil: "The regulators of Beilinson and Borel." CRM Monograph Series, 15. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002. ISBN 0-8218-2630-1