Weierstraßscher Produktsatz

Der weierstraßsche Produktsatz für ${\displaystyle \mathbb {C} }$ besagt, dass zu einer vorgegebenen Nullstellenverteilung in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit genau diesen Nullstellen existiert. Die Funktion kann als sogenanntes Weierstraß-Produkt explizit konstruiert werden. Der Satz wurde 1876 von Karl Weierstraß gefunden.

Motivation

Zu endlich vielen Nullstellen ${\displaystyle a_{1},\dots a_{n}\;\in \mathbb {C} }$ kann man sofort ein Polynom hinschreiben, welches das gestellte Problem löst, beispielsweise ${\displaystyle \left(1-{\frac {z}{a_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)}$. Im Falle (abzählbar) unendlich vieler Nullstellen wird das Produkt im Allgemeinen nicht mehr konvergieren. Ausgehend von der Identität ${\displaystyle 1-z=\exp(\log(1-z))=\exp \left(-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}\right),\quad z\in \mathbb {C} ,|z|<1,}$ führte Weierstraß deshalb "konvergenzerzeugende" Faktoren ein, indem er die Reihenentwicklung abbrach und Faktoren ${\displaystyle E_{n}(z):=(1-z)\exp \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {z^{k}}{k}}\right)}$ definierte. ${\displaystyle E_{n}}$ hat nur eine Nullstelle bei ${\displaystyle 1}$, kann aber im Gegensatz zu ${\displaystyle 1-z}$ auf jeder kompakten Teilmenge des Einheitskreises beliebig nahe an ${\displaystyle 1}$ liegen, sofern ${\displaystyle n}$ groß genug gewählt wird. Dadurch kann auch die Konvergenz eines unendlichen Produktes erreicht werden.

Weierstraß-Produkt

Es sei ${\displaystyle D}$ ein positiver Divisor im Bereich ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle a_{k}}$ eine so gewählte Folge, dass ${\displaystyle D=D(0)\cdot 0+\sum _{k}a_{k}}$. Das heißt, die Folge durchläuft mit Ausnahme des Nullpunktes alle Punkte des Trägers von ${\displaystyle D}$ mit der nötigen Multiplizität. Sie heißt die zum Divisor ${\displaystyle D}$ gehörende Folge. Ein Produkt ${\displaystyle z^{D(0)}\prod _{k\geq 1}f_{k}(z)}$ heißt Weierstrass-Produkt zum Divisor ${\displaystyle D}$, falls gilt:

• ${\displaystyle f_{k}}$ holomorph in ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle f_{k}}$ hat genau eine Nullstelle, und zwar in ${\displaystyle a_{k}}$ und von der Multiplizität ${\displaystyle 1}$
• Das Produkt ${\displaystyle \textstyle \prod _{k}f_{k}}$ konvergiert normal auf jeder kompakten Teilmenge von ${\displaystyle \Omega }$.

Produktsatz in ℂ

Zu jedem positiven Divisor ${\displaystyle D}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ existieren Weierstrass-Produkte der Form ${\displaystyle z^{D(0)}\prod _{k\geq 1}E_{k-1}\left({\frac {z}{a_{k}}}\right)}$. Dabei sei ${\displaystyle a_{k}}$ die zum Divisor ${\displaystyle D}$ gehörende Folge.

Folgerungen in ℂ

• Zu jedem Divisor gibt es eine meromorphe Funktion mit den dadurch vorgegebenen Null- und Polstellen. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
• Zu jeder meromorphen Funktion ${\displaystyle h}$ gibt es zwei holomorphe Funktionen ${\displaystyle f,g}$ ohne gemeinsame Nullstellen derart, dass ${\displaystyle h=f/g}$. Insbesondere ist der Körper der meromorphen Funktionen der Quotientenkörper des Integritätsrings der holomorphen Funktionen.
• Im Ring der holomorphen Funktionen besitzt jede nicht-leere Teilmenge einen größten gemeinsamen Teiler, obwohl der Ring nicht faktoriell ist.

Verallgemeinerung für beliebige Bereiche

Es sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ ein Bereich und ${\displaystyle D}$ ein positiver Divisor auf ${\displaystyle \Omega }$ mit Träger ${\displaystyle T}$ und es bezeichne ${\displaystyle T':={\overline {T}}\!\setminus \!T}$ die Menge aller Häufungspunkte von ${\displaystyle T}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dann existieren zum Divisor ${\displaystyle D}$ Weierstraß-Produkte in ${\displaystyle \mathbb {C} \!\setminus \!T'}$. Sie konvergieren im Allgemeinen also auf einem größeren Bereich als ${\displaystyle \Omega }$.

Verallgemeinerung für Steinsche Mannigfaltigkeiten

Eine erste Verallgemeinerung des Produktsatzes für andere komplexe Mannigfaltigkeiten gelang 1895 Pierre Cousin, der den Satz für Zylindergebiete im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ bewies. Aus diesem Grund wird die Frage, ob zu einem vorgegebenen Divisor eine passende meromorphe Funktion konstruiert werden kann, auch als Cousin-Problem bezeichnet.

Jean-Pierre Serre löste 1953 das Cousin-Problem endgültig und zeigte: In einer Steinschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ ist ein Divisor genau dann der Divisor einer meromorphen Funktion, wenn seine Chernsche Kohomologieklasse in ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ verschwindet. Insbesondere ist in einer Steinschen Mannigfaltigkeit mit ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$ jeder Divisor ein Hauptdivisor. Dies ist die unmittelbare Folgerung daraus, dass in Steinschen Mannigfaltigkeiten folgende Sequenz exakt ist, wobei ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ die Garbe der Divisoren bezeichnet:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}^{*}(X)\to {\mathcal {M}}^{*}(X)\to {\mathcal {D}}(X)\rightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\to 0}$

Literatur

• Hans Grauert, Reinhold Remmert: Theory of Stein Spaces. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-00373-8.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3.