Weierstraßsche ℘-Funktion

In der Mathematik bezeichnet die Weierstraßsche ℘-Funktion (sprich „… p-Funktion“, siehe Weierstraß-p) eine bestimmte elliptische Funktion in Abhängigkeit eines Gitters. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Karl Weierstraß. Mithilfe der Weierstraßschen ℘-Funktion und ihrer Ableitung lassen sich elliptische Kurven über den komplexen Zahlen parametrisieren.

Definition

Seien ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ zwei komplexe Zahlen, welche über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ linear unabhängig sind und sei ${\displaystyle \Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ das Gitter, das von ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$ erzeugt wird. Dann ist die ℘-Funktion zum Gitter ${\displaystyle \Lambda }$ wie folgt definiert:

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z,\Lambda ):={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

Die Reihe konvergiert lokal gleichmäßig absolut in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$. Häufig wird statt ${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})}$ auch nur ${\displaystyle \wp (z)}$ geschrieben.

Die Weierstraßsche ℘-Funktion ist gerade so konstruiert, dass sie einen Pol der Ordnung 2 an jeder Stelle ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ hat. Da die Summe ${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}}$ alleine nicht absolut konvergieren würde, ist es nötig, den Term ${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$ hinzuzufügen.^[1]

Motivation

Eine Kubik der Form ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}}$, wobei ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ komplexe Zahlen sind mit ${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$, lässt sich nicht rational parametrisieren.^[2] Dennoch würde man gerne eine Parametrisierung finden.

Für die Quadrik ${\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$, also den Einheitskreis, existiert bekanntlich eine (nichtrationale) Parametrisierung durch die Sinusfunktion und deren Ableitung, die Kosinusfunktion:

${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K}$, ${\displaystyle t\mapsto (\sin(t),\cos(t))}$.

Wegen der Periodizität des Sinus und des Kosinus ist hier ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ als Definitionsbereich gewählt, um eine injektive Abbildung zu erhalten.

Auf ganz analoge Weise erhält man auch eine Parametrisierung der Kubik ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ mit der doppeltperiodischen ℘-Funktion (siehe im Abschnitt „Zusammenhang mit elliptischen Kurven“). Diese Parametrisierung hat dann den Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$, was topologisch einem Torus entspricht.^[3]

Es gibt noch eine weitere Analogie zu den trigonometrischen Funktionen. Betrachtet man die Integralfunktion

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {(1-y^{2})}}}}$,

dann lässt sich diese durch die Substitution ${\displaystyle y=\sin(t)}$ und ${\displaystyle s=\arcsin(x)}$ vereinfachen. Dadurch ergibt sich:

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin(x)}$

Das bedeutet, ${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin(x)}$. Also erhält man den Sinus als Umkehrfunktion einer Integralfunktion.^[4]

Auch elliptische Funktionen sind Umkehrfunktionen von Integralfunktionen, den elliptischen Integralen. Insbesondere erhält man die ℘-Funktion auf folgende Weise:

Sei

${\displaystyle u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}}$.

Dann lässt sich ${\displaystyle u^{-1}}$ auf die komplexe Ebene fortsetzen und entspricht der ℘-Funktion.^[5]

Eigenschaften

• ℘ ist eine gerade Funktion. Das heißt, es gilt ${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$, wie man auf folgende Weise sieht:

${\displaystyle \wp (-z)={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z)}$

Die vorletzte Gleichheit folgt daraus, dass ${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$. Da die Summe absolut konvergiert, ändert diese Umordnung am Grenzwert nichts.

• ℘ ist meromorph und die Ableitung ist gegeben durch

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$.^[6]

• ${\displaystyle \wp }$ und ${\displaystyle \wp '}$ sind doppeltperiodisch mit den Perioden ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$. Das bedeutet, es gilt^[6]:

${\displaystyle \wp (z+\omega _{1})=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2})}$ und ${\displaystyle \wp '(z+\omega _{1})=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2})}$.

Daraus folgt, dass für alle ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ gilt: ${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$ und ${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$. Funktionen, die meromorph und doppeltperiodisch sind, nennt man auch elliptische Funktionen.

Laurent-Entwicklung

Sei ${\displaystyle r:=\min\{{|\omega }|:\omega \neq 0\}}$. Dann hat die ℘-Funktion für ${\displaystyle 0<|z|<r}$ folgende Laurent-Reihe:

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$,

wobei

${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \omega \in \Lambda }\omega ^{-n}}$ für ${\displaystyle n\geq 3}$ sogenannte Eisensteinreihen sind.^[6]

Differentialgleichung

Wir setzen ${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$ und ${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$. Dann erfüllt die ℘-Funktion folgende Differentialgleichung^[6]:

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$.

Dies lässt sich verifizieren, indem man den Pol an der Stelle ${\displaystyle z=0}$ durch eine Linearkombination von Potenzen von ${\displaystyle \wp }$ und ${\displaystyle \wp '}$ eliminiert. Dann erhält man eine ganze, elliptische Funktion, die nach dem Satz von Liouville konstant sein muss.

Invarianten und modulare Diskriminante

Die Koeffizienten ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$, die in der Differentialgleichung auftauchen, heißen die Invarianten. Man betrachtet ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ als Funktionen in ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$ und definiert die Diskriminante ${\displaystyle \Delta :=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}$.

Wie man an der Eisensteinreihe erkennen kann, sind ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ homogene Funktionen vom Grad −4 und −6. Das heißt, es gilt:

${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$, ${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$, ${\displaystyle \Delta (\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-12}\Delta (\omega _{1},\omega _{2})}$ für ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.^[7]

Wenn ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$ so gewählt sind, dass ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$, können ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$ und ${\displaystyle \Delta }$ als Funktionen in einer komplexen Variablen in der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$ aufgefasst werden.

Dazu setzt man ${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ und erhält:

${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$, ${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$ und ${\displaystyle \Delta (1,\tau )=\omega _{1}^{12}\Delta (\omega _{1},\omega _{2})}$.^[7]

Also werden ${\displaystyle g_{2}}$, ${\displaystyle g_{3}}$ und ${\displaystyle \Delta }$ dadurch nur skaliert. Man setzt nun:

${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$, ${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau )}$, ${\displaystyle \Delta (\tau ):=\Delta (1,\tau )}$

Damit erhält man sogenannte Modulformen. Auch die ℘-Funktion kann auf diese Weise als Modulform aufgefasst werden.

Zusammenhang mit elliptischen Kurven

Sei ein Gitter ${\displaystyle \Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$, wobei ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ komplexe Zahlen sind, sodass ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sind.

Betrachte nun die ebene kubische Kurve

${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}}$

bzw. die projektive Kurve

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$.

Für diese Kubiken, auch Weierstraßkubiken genannt, existieren keine Parametrisierungen durch rationale Funktionen, falls ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ ist.^[2] Trotzdem gibt es eine explizite Parametrisierung mittels der ℘-Funktion und ihrer Ableitung ${\displaystyle \wp '}$.

Damit erhält man die Abbildung

${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} \setminus \Lambda \to C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))}$.

Indem man das Gitter ${\displaystyle \Lambda }$ auf den Punkt ${\displaystyle \infty }$ abbildet, kann die Abbildung fortgesetzt werden zu

${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.

Aufgrund der Periodizität von ${\displaystyle \wp }$ und ${\displaystyle \wp '}$ ist diese Abbildung jedoch nicht injektiv. Wählt man stattdessen ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$, erhält man dann die Abbildung

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.^[8]

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ ist dabei sowohl eine abelsche Gruppe als auch ein topologischer Raum, versehen mit der Quotiententopologie.

Die Abbildung ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}}$ ist nun bijektiv und parametrisiert die Kurve ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.

Weiter lässt sich zeigen, dass jede glatte Weierstraßkubik auf diese Weise gegeben ist. Also dass es für jedes Paar ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$ ein Gitter ${\displaystyle \Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ gibt, sodass

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$ und ${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$.^[9]

Die Aussage, dass alle elliptischen Kurven über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ durch Modulformen über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ parametrisiert werden können, ist als Modularitätssatz bekannt. Dieser Satz ist von großer Bedeutung in der Zahlentheorie. Andrew Wiles konnte damit 1995 den Großen Fermatschen Satz beweisen.

Additionstheoreme

Seien ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$, sodass ${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$. Dann gilt^[10]:

${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w)}$.

Darüber hinaus gibt es noch die Verdopplungsformel^[10]:

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z)}$.

Diese Formeln haben auch eine geometrische Bedeutung, wenn man wie im vorherigen Abschnitt die elliptische Kurve ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ zusammen mit der Abbildung ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ betrachtet.

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ ist als Faktorgruppe selbst eine Gruppe. Diese Gruppenstruktur überträgt sich auch auf die Kurve ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ (siehe Gruppenoperationen auf elliptischen Kurven) und kann dort geometrisch interpretiert werden.

Damit ist ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}}$ dann insbesondere ein Gruppenisomorphismus^[11]. Nun lässt sich das Additionstheorem auch auf folgende Weise geometrisch formulieren:

Die Summe dreier paarweise verschiedener Punkte ${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ist genau dann Null, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden in ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$ liegen^[11].

Dies ist äquivalent dazu, dass gilt:

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0}$,

wobei ${\displaystyle \wp (u)=a}$, ${\displaystyle \wp (v)=b}$ und ${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$ gelte.^[12]

Siehe auch

• äquianharmonischer Fall

Einzelnachweise

1. ↑ Apostol, Tom M.: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Springer-Verlag, New York 1976, ISBN 0-387-90185-X, S. 9. 
2. ↑ ^{a b} Hulek, Klaus.: Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarb. u. erw. Aufl. 2012. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9, S. 8. 
3. ↑ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 259. 
4. ↑ Jeremy Gray: Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 71. 
5. ↑ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 294. 
6. ↑ ^{a b c d} Apostol, Tom M.: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Springer-Verlag, New York 1976, ISBN 0-387-90185-X, S. 11. 
7. ↑ ^{a b} Apostol, Tom M.: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Springer-Verlag, New York 1976, ISBN 0-387-90185-X, S. 14. 
8. ↑ Hulek, Klaus.: Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarb. u. erw. Aufl. 2012. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9, S. 12. 
9. ↑ Hulek, Klaus.: Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarb. u. erw. Aufl. 2012. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9, S. 111. 
10. ↑ ^{a b} Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 286. 
11. ↑ ^{a b} Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 287. 
12. ↑ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 288.