W*-dynamisches System

W*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer Von-Neumann-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der Von-Neumann-Algebra operiert, eine neue Von-Neumann-Algebra gewinnt.

Definition

Ein W*-dynamisches System ist ein Tripel ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ bestehend aus einer Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$, einer lokalkompakten Gruppe ${\displaystyle G}$ und einem Homomorphismus ${\displaystyle \alpha :G\rightarrow \mathrm {Aut} (A),s\mapsto \alpha _{s}}$ von ${\displaystyle G}$ in die Gruppe der *-Automorphismen von ${\displaystyle A}$, der punktweise stark stetig ist, das heißt, dass alle Abbildungen ${\displaystyle G\rightarrow H,s\mapsto \alpha _{s}(a)\xi ,\,a\in A,\xi \in H}$ normstetig sind.

Man kann die starke Operatortopologie durch die schwache oder ultraschwache Operatortopologie ersetzen und erhält dabei denselben Begriff.^[1]

Konstruktion des Kreuzproduktes

Zu einem W*-dynamischen System ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ konstruieren wir wie folgt eine Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G}$. Wir geben hier die in^[2] vorgestellte Konstruktion wieder. Als erstes beschreiben wir den Hilbertraum, auf dem die neue Von-Neumann-Algebra operieren soll.

${\displaystyle A}$ operiere auf dem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ und L²(G) sei der Hilbertraum der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrablen Funktionen. Das Hilbertraum-Tensorprodukt ${\displaystyle H\otimes L^{2}(G)}$ kann man mit dem Raum ${\displaystyle L^{2}(G,H)}$ der messbaren Funktionen ${\displaystyle \xi :G\rightarrow H}$ mit ${\displaystyle \textstyle \int _{G}\|\xi (s)\|^{2}\mathrm {d} s<\infty }$ identifizieren. Die Abbildung, die einem Elementartensor ${\displaystyle \xi _{0}\otimes h}$ die Funktion ${\displaystyle s\mapsto h(s)\xi _{0}}$ zuordnet, kann zu einem unitären Operator

${\displaystyle H\otimes L^{2}(G)\rightarrow L^{2}(G,H)}$

fortgesetzt werden.

Nun zu den Operatoren der zu definierenden Von-Neumann-Algebra. Da der Raum ${\displaystyle C_{c}(G,H)}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle G\rightarrow H}$ mit kompaktem Träger dicht in ${\displaystyle L^{2}(G,H)}$ liegt, genügt es, die Wirkung der Operatoren auf ${\displaystyle C_{c}(G,H)}$ anzugeben. Zu jedem ${\displaystyle x\in A}$ definieren wir den Operator ${\displaystyle \pi (x)}$ auf ${\displaystyle L^{2}(G,H)}$ durch

${\displaystyle (\pi (x)f)(s):=\alpha _{s^{-1}}(x)f(s),\quad f\in C_{c}(G,H),s\in G}$

und für jedes ${\displaystyle t\in G}$ den Operator ${\displaystyle \lambda (t)}$ auf ${\displaystyle L^{2}(G,H)}$ durch

${\displaystyle (\lambda (t)f)(s):=f(t^{-1}s),\quad f\in C_{c}(G,H),s\in G}$.

Dann ist ${\displaystyle \pi }$ ist eine Hilbertraum-Darstellung von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle \lambda }$ eine Gruppendarstellung von ${\displaystyle G}$ auf dem Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}(G,H)}$ und es gilt

${\displaystyle \lambda (t)\pi (x)\lambda (t)^{*}:=\pi (\alpha _{t}(x))}$ für alle ${\displaystyle x\in A,t\in G}$.

Daher ist die lineare Hülle der Operatoren ${\displaystyle \pi (x)\lambda (t)}$ eine bzgl. der Involution abgeschlossene Teilalgebra von ${\displaystyle L(L^{2}(G,H))}$, der beschränkten, linearen Operatoren auf ${\displaystyle L^{2}(G,H)}$, deren schwacher Abschluss eine Von-Neumann-Algebra ist. Diese heißt die Von-Neumann-Algebra des W*-dynamischen Systems ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ oder das Kreuzprodukt aus ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle G}$ (vermöge ${\displaystyle \alpha }$) und wird mit ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G}$ bezeichnet. Alternative Bezeichnungen sind ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }G}$, ${\displaystyle A\times _{\alpha }G}$ oder ${\displaystyle W^{*}(A,G,\alpha )}$.

Beachtet man die oben angegebene Isomorphie ${\displaystyle H\otimes L^{2}(G)\cong L^{2}(G,H)}$, so kann man zeigen, dass ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G}$ im Tensorprodukt ${\displaystyle A{\overline {\otimes }}L(L^{2}(G))}$ enthalten ist.

Dualität

Sei ${\displaystyle G}$ eine kommutative, lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es dazu die Dualgruppe ${\displaystyle {\hat {G}}}$ der stetigen Gruppenhomomorphismen ${\displaystyle G\rightarrow \{z\in \mathbb {C} ;\,|z|=1\}}$. Diese ist mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine kommutative, lokalkompakte Gruppe. Für einen solchen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \chi \in {\hat {G}}}$ definieren wir den unitären Operator ${\displaystyle v_{\chi }}$ auf ${\displaystyle L^{2}(G)}$ durch die Formel

${\displaystyle (v_{\chi }f)(s):={\overline {\chi (s)}}f(s),\quad f\in C_{c}(G),s\in G}$.

Dann ist ${\displaystyle 1_{H}\otimes v_{\chi }}$ ein unitärer Operator über ${\displaystyle H\otimes L^{2}(G)}$ und man kann zeigen, dass ${\displaystyle (1\otimes v_{\chi })\,A\ltimes _{\alpha }G\,(1\otimes v_{\chi })^{*}=A\ltimes _{\alpha }G}$ gilt, das heißt, dass durch

${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{\chi }(y):=(1\otimes v_{\chi })y(1\otimes v_{\chi })^{*}}$

ein Automorphismus auf ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G}$ definiert wird, der ${\displaystyle (A\ltimes _{\alpha }G,{\hat {G}},{\hat {\alpha }})}$ zu einem W*-dynamischen System macht. Man kann also das Kreuzprodukt ${\displaystyle (A\ltimes _{\alpha }G)\ltimes _{\hat {\alpha }}{\hat {G}}}$ bilden und zeigen, dass dieses isomorph zu ${\displaystyle A{\overline {\otimes }}L(L^{2}(G))}$ ist.^[3]

Anwendungen

Konstruktion von Faktoren

Es sei ${\displaystyle T}$ ein Borel-Raum, der Borel-isomorph zu [0,1] ist, und ${\displaystyle \mu }$ ein σ-endliches Maß auf ${\displaystyle T}$ ohne Atome, das heißt, es ist ${\displaystyle \mu (\{t\})=0}$ für alle ${\displaystyle t\in T}$. Wir betrachten injektive Gruppenhomomorphismen

${\displaystyle \alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (T,\mu )}$

einer diskreten Gruppe ${\displaystyle G}$ in die Gruppe der Borel-Isomorphismen auf ${\displaystyle (T,\mu )}$, so dass folgendes gilt:

• Aus ${\displaystyle \mu (N)=0}$ folgt für alle ${\displaystyle g\in G}$ auch ${\displaystyle \mu (\alpha '_{g}(N))=0}$.
• ${\displaystyle G}$ operiere frei auf ${\displaystyle (T,\mu )}$, das heißt ${\displaystyle \mu (\{t\in T;\,\alpha '_{g}(t)=t\})=0}$ für alle vom neutralen Element verschiedenen ${\displaystyle g\in G}$.
• ${\displaystyle G}$ operiere ergodisch auf ${\displaystyle (T,\mu )}$, das heißt ist ${\displaystyle N\subset T}$ mit ${\displaystyle \mu (\alpha '_{g}(N)\setminus N)=0}$ für ein vom neutralen Element verschiedenes ${\displaystyle g\in G}$, so ist ${\displaystyle \mu (N)=0}$ oder ${\displaystyle \mu (T\setminus N)=0}$.

Aus ${\displaystyle \alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (T,\mu )}$ erhält man einen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \alpha :G\rightarrow \mathrm {Aut} (L^{\infty }(T,\mu )),\quad (\alpha _{g}(f))(t):=f(\alpha '_{g^{-1}}(t))}$

in die Automorphismengruppe der abelschen Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle L^{\infty }(T,\mu )}$ und man erhält ein W*-dynamisches System ${\displaystyle (L^{\infty }(T,\mu ),G,\alpha )}$. Daher kann man das Kreuzprodukt ${\displaystyle L^{\infty }(T,\mu )\ltimes _{\alpha }G}$ bilden. Für dieses gilt^[4][5]:

• Ist ${\displaystyle \mu }$ nun ${\displaystyle G}$-invariant, das heißt ${\displaystyle \mu (\alpha '_{g}(N))=\mu (N)}$ für alle messbaren Teilmengen ${\displaystyle N\subset T}$, so ist ${\displaystyle L^{\infty }(T,\mu )\ltimes _{\alpha }G}$ ein Typ II Faktor, und zwar ein Typ II₁ Faktor, falls ${\displaystyle \mu (T)<\infty }$, und anderenfalls ein Typ II_∞ Faktor.

• Ist ${\displaystyle \mu }$ nicht ${\displaystyle G}$-invariant, wohl aber invariant bzgl. einer Untergruppe von ${\displaystyle G}$, die ebenfalls ergodisch auf ${\displaystyle (T,\mu )}$ operiert, so ist ${\displaystyle L^{\infty }(T,\mu )\ltimes _{\alpha }G}$ ein Typ III Faktor.

Dafür lassen sich folgende konkrete Beispiele angeben:

Konkrete Beispiele

(i) Sei ${\displaystyle T=\mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} ;\,|z|=1\}=\{e^{2\pi it};t\in [0,1]\}}$ die Kreislinie mit dem Haarmaß ${\displaystyle \mu }$. Es sei ${\displaystyle G=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ und

${\displaystyle \alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (\mathbb {T} ,\mu ),\quad \alpha '_{q+\mathbb {Z} }(e^{2\pi it}):=e^{2\pi i(t+q)}}$.

Dies erfüllt die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {T} ,\mu )\ltimes _{\alpha }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ein Typ II₁-Faktor ist.

(ii) Sei ${\displaystyle T=\mathbb {R} }$ mit dem Lebesguemaß ${\displaystyle \lambda }$.

${\displaystyle \alpha ':\mathbb {Q} \rightarrow \mathrm {Iso} (\mathbb {R} ,\lambda ),\quad \alpha '_{q}(t):=t+q}$.

Dies erfüllt die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} ,\lambda )\ltimes _{\alpha }\mathbb {Q} }$ ein Typ II_∞-Faktor ist.

(iii) Sei ${\displaystyle T=\mathbb {R} }$ mit dem Lebesguemaß ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle G}$ sei die multiplikative Matrizengruppe ${\displaystyle G=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}};\,a,b\in \mathbb {Q} \}}$. Für ${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}}$ sei ${\displaystyle \alpha '_{g}(t):=at+b}$. Dann erfüllt ${\displaystyle \alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (\mathbb {R} ,\lambda )}$ die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} ,\lambda )\ltimes _{\alpha }G}$ ein Typ III -Faktor ist.

Die modulare Gruppe

Für σ-endliche Von-Neumann-Algebren ${\displaystyle A}$ liefert die Tomita-Takesaki-Theorie zu jedem treuen, normalen Zustand ein W*-dynamisches System ${\displaystyle (A,\mathbb {R} ,\sigma )}$. Die Abhängigkeit vom Zustand wird durch einen sogenannten Connes-Kozykel beschrieben, woraus sich ergibt, dass die Kreuzprodukte der W*-dynamischen Systeme zu verschiedenen Zuständen isomorph sind. Man kann daher von dem Kreuzprodukt ${\displaystyle A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R} }$ mit der modularen Gruppe sprechen.

Die Dualität ${\displaystyle (A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R} )\ltimes _{\hat {\sigma }}\mathbb {R} \cong A\otimes L(L^{2}(\mathbb {R} ))}$ spielt eine wichtige Rolle im Satz von Takesaki über die Struktur der Typ III Von-Neumann-Algebren.

Siehe auch

• C*-dynamisches System

Einzelnachweise

1. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, 7.4.2
2. ↑ A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2
3. ↑ A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Theorem 4.11
4. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, 7.11.16
5. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.6.10