Vollständiges Maß

Ein vollständiges Maß sowie ein vollständiger Maßraum sind Begriffe aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt. Ein Maßraum ist vollständig, wenn er alle Teilmengen seiner Nullmengen enthält. Das zum Maßraum zugehörige Maß heißt dann vollständig.

Definition

Ein Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ heißt vollständig, wenn

${\displaystyle N\in {\mathcal {A}},\quad \mu (N)=0,\quad E\subset N\quad \Longrightarrow E\in {\mathcal {A}}}$.

Ist der Maßraum vollständig, so nennt man auch das Maß ${\displaystyle \mu }$ vollständig.

Vervollständigung von Maßräumen

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum und

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}:=\{A:A_{1}\subset A\subset A_{2}{\text{ wobei }}A_{1},A_{2}\in {\mathcal {A}}{\text{ und }}\mu (A_{2}\backslash A_{1})=0\}}$

und ein eindeutiges Maß ${\displaystyle {\tilde {\mu }}:{\tilde {\mathcal {A}}}\to [0,\infty ]}$, sodass

${\displaystyle {\tilde {\mu }}\vert _{\mathcal {A}}=\mu }$.

Das Tripel ${\displaystyle (\Omega ,{\tilde {\mathcal {A}}},{\tilde {\mu }})}$ ist ein vollständiger Maßraum. Er heißt die Vervollständigung von ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$.

Äquivalente Definitionen von ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}}$ sind

${\displaystyle \{A\cup N:A\in {\mathcal {A}},{\text{ und }}N\subset B\in {\mathcal {A}}{\text{ für ein }}B{\text{ sodass }}\mu (B)=0\}=\{A\triangle N:A\in {\mathcal {A}},{\text{ und }}N\subset B\in {\mathcal {A}}{\text{ für ein }}B{\text{ sodass }}\mu (B)=0\}}$.

Beispiele

Ist ein äußeres Maß ${\displaystyle \nu }$ gegeben und ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\nu }}$ die σ-Algebra der ${\displaystyle \nu }$-messbaren Mengen sowie ${\displaystyle \mu :=\nu |_{{\mathcal {A}}_{\nu }}}$ das zugehörige Maß, so ist der Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}}_{\nu },\mu )}$ vollständig. Dies folgt schon aus der Definition der ${\displaystyle \nu }$-Messbarkeit, da wenn ${\displaystyle B\subset A\in {\mathcal {A}}_{\nu }}$ ist mit ${\displaystyle \nu (A)=0}$, so folgt aus den Eigenschaften des äußeren Maßes ${\displaystyle \nu (B)=0}$ und daher ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}_{\nu }}$.

Ein bekanntes Beispiel für eine Vervollständigung ist die Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maßes zum Lebesgue-Maß. Diese Vervollständigung erklärt auch, warum die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen größer ist als die der Borel-messbaren Mengen.

Ein Beispiel für einen Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$, der nicht vollständig ist, ist durch ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{[0,1),\{1\},\emptyset ,\Omega \}}$ und ${\displaystyle \mu =\delta _{1}}$ mit dem Dirac-Maß in ${\displaystyle 1}$ gegeben. Für ${\displaystyle A=[0,1)}$ gilt ${\displaystyle \mu (A)=0}$ und für jede echte Teilmenge ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle B\notin {\mathcal {A}}}$. Zugleich ist dies ein Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum, der nicht vollständig ist.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.
• Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.