Vollständige algebraische Varietät

Eine vollständige algebraische Varietät ist in der algebraischen Geometrie das Analogon zu einer kompakten Mannigfaltigkeit in der Differentialgeometrie. Eine algebraische Varietät ist also vollständig, wenn sie gewisse „kompakte“ Eigenschaften hat.

Sei ${\displaystyle X}$ eine algebraische Varietät, sodass für alle Varietäten ${\displaystyle Y}$ die Projektion ${\displaystyle \pi _{Y}\colon X\times Y\to Y}$ bezüglich der Zariski-Topologie eine abgeschlossene Abbildung ist, das heißt für eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge ${\displaystyle A\times B\subseteq X\times Y}$ ist auch ${\displaystyle \pi _{Y}(A\times B)\subseteq Y}$ abgeschlossen. Dann heißt ${\displaystyle X}$ vollständig.^[1][2]

Das wichtigste Beispiel vollständiger Varietäten sind projektive Varietäten.^[3][4] Affine Varietäten sind hingegen nur dann vollständig, wenn sie endlich sind.^[5][6] Mit größerem Aufwand lassen sich auch Beispiele von nicht projektiven vollständigen Varietäten konstruieren. Beispiele sind etwa singuläre nicht-projektive vollständige Flächen^[7][8] oder glatte vollständige nicht-projektive dreidimensionale Varietäten.^[9][10][11]

Die Eigenschaft der Vollständigkeit bleibt unter gewissen Konstruktionen erhalten. So gilt etwa:

• Abgeschlossene Untervarietäten vollständiger Varietäten sind vollständig.
• Vollständige Untervarietäten von Varietäten sind abgeschlossen.
• Produkte vollständiger Varietäten sind vollständig.
• Bilder von vollständigen Varietäten unter Morphismen sind abgeschlossen und vollständig.^[12][13]

Die regulären Funktionen zusammenhängender vollständiger Varietäten sind gerade die konstanten Funktionen.^[14]

Vollständige quasiprojektive Varietäten, vollständige Kurven und glatte vollständige Flächen sind projektive Varietäten.^[15][16][17]

Auf Masayoshi Nagata geht das folgende Einbettungsresultat zurück:

Jede Varietät kann als offene Teilmenge dicht in eine vollständige Varietät eingebettet werden.^[18][19]

Für die Theorie algebraischer Gruppen ist der folgende Fixpunktsatz relevant:

Operiert eine zusammenhängende auflösbare algebraische Gruppe auf einer vollständigen nichtleeren Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, so existiert ein Fixpunkt.^[20][21]

Mit der folgenden Charakterisierung der Kompaktheit eines Hausdorffraums wird der Zusammenhang zur Vollständigkeit einer algebraischen Varietät deutlich:

Ein Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ ist genau dann kompakt, wenn für alle topologischen Räume ${\displaystyle Y}$ die Projektion ${\displaystyle \pi _{Y}\colon X\times Y\to Y}$ bezüglich der Produkttopologie auf ${\displaystyle X\times Y}$ eine abgeschlossene Abbildung ist.^[22]

Die den vollständigen Varietäten entsprechenden Morphismen sind die eigentlichen Morphismen.^[23] Daher werden vollständige Varietäten zum Teil auch als eigentliche Varietäten bezeichnet.^[24] So ist jeder Morphismus, der auf einer vollständigen Varietät definiert ist, ein eigentlicher Morphismus und eine Varietät ist gerade dann vollständig, wenn der konstante Morphismus von der Varietät auf einen Punkt ein eigentlicher Morphismus ist.^[25]

• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 978-1-4684-9445-7, 6. Complete Varieties.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer, New York 1977, ISBN 978-1-4419-2807-8, II.4 Separated and Proper Morphisms.
• Karl-Heinz Fieseler, Ludger Kaup: Algebraische Geometrie. Heldermann Verlag, Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3, 5. Projektiv algebraische Varietäten.

1. ↑ Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 5.14 Definition
2. ↑ Humphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 6.1
3. ↑ Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 5.25 Korollar
4. ↑ Humphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 6.2 Theorem
5. ↑ Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 5.19 Korollar
6. ↑ Humphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 6.1 Proposition, (e)
7. ↑ Masayoshi Nagata: On the imbeddings of abstract surfaces in projective varieties. Mem. College Sci. Univ. Kyoto Ser. A Math. 30 (1957), no. 3, 231--235.
8. ↑ Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Ex. II.7.13, Ex. III.5.9
9. ↑ Heisuke Hironaka: On the theory of birational blowing-up. Harvard 1960.
10. ↑ Masayoshi Nagata: Existence theorems for nonprojective complete algebraic varieties. Illinois J. Math. 2 (1958) 490–498.
11. ↑ Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Appendix B, Example 3.4.1
12. ↑ Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 5.17 Lemma
13. ↑ Humphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 6.1 Proposition
14. ↑ Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 5.19 Korollar, 1)
15. ↑ Humphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 6.1 Proposition (f)
16. ↑ Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Ex. III.5.8
17. ↑ Oscar Zariski: Introduction to the Problem of Minimal Models in the Theory of Algebraic Surfaces. American Journal of Mathematics Vol. 80, No. 1 (Jan., 1958), 146-184
18. ↑ Masayoshi Nagata: Imbedding of an abstract variety in a complete variety. Journal of Mathematics of Kyoto University (2) 1962, 1-10.
19. ↑ Masayoshi Nagata: A generalization of the imbedding problem of an abstract variety in a complete variety. Journal of Mathematics of Kyoto University (3) 1963, 89-102.
20. ↑ Humphreys: Linear Algebraic Groups. 1975, 21.2 Fixed Point Theorem
21. ↑ Armand Borel: Groupes Lineaires Algebriques. Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 64, No. 1 (Jul., 1956), 20-82
22. ↑ Nicolas Bourbaki: General Topology I. 10.2, Corollary 1 zu Theorem 1
23. ↑ Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 13 Einleitung
24. ↑ Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, S. 105 Definition
25. ↑ Fieseler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, 13.4 Bemerkung