Magnetisches Vektorpotential

Das magnetische Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$, oft auch nur als Vektorpotential bezeichnet, ist in der klassischen Elektrodynamik ein Vektorfeld dessen Rotation die magnetische Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})}$ ergibt

${\displaystyle \nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})={\vec {B}}({\vec {r}})}$.

Historisch wurde es als mathematisches Hilfsmittel entwickelt, um die magnetische Flussdichte leichter zu beschreiben. Es lässt sich u. a. auch dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten Maxwell-Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen.

Obwohl es zunächst nur als mathematisches Hilfsmittel eingeführt wurde, kommt ihm in der Quantenmechanik physikalische Realität zu, wie das Aharonov-Bohm-Experiment zeigt.

Das magnetische Vektorpotential hat die SI-Einheit ${\displaystyle [A]=\mathrm {T\cdot m} =\mathrm {\frac {V\,s}{m}} }$.

Definition

Das magnetische Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}},t)}$ ist ein Vektorfeld, das zusammen mit dem elektrischen Potential ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)}$ durch die Gleichungen

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)\qquad {\vec {E}}=-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)-{\frac {\partial {\vec {A}}({\vec {r}},t)}{\partial t}}}$

definiert ist. ${\displaystyle {\vec {B}}}$ steht für die magnetische Flussdichte, ${\displaystyle {\vec {E}}}$ für das elektrische Feld. In der Magnetostatik ist das magnetische Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})}$ nicht zeitabhängig. Es ist deshalb vollständig durch die erste Gleichung unabhängig vom elektrischen Potential definiert.

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})}$

Das magnetische Vektorpotential ist eine Anwendung des rein mathematischen Vektorpotentials.

Berechnung

Magnetostatik

In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung (mit der Vakuumpermeabilität ${\displaystyle \mu _{0}}$):

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}({\vec {r}})=-\mu _{0}{\vec {j}}}$.

Diese Differentialgleichung kann mit einer Faltung (siehe Greensche Funktion) gelöst werden, um das magnetische Vektorpotential zu erhalten:

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,}$

Diese Beziehung gilt nur, wenn die Stromdichte ${\displaystyle {\vec {j}}}$ im Unendlichen verschwindet und dabei mindestens so schnell wie ${\displaystyle 1/r}$ gegen null geht.

Elektrodynamik

In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential

${\displaystyle \Box {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}({\vec {r}})-\nabla ^{2}{\vec {A}}({\vec {r}})=\mu _{0}{\vec {j}}}$,

wobei ${\displaystyle \Box }$ der D’Alembert-Operator ist.

Die inhomogenen Lösungen dieser Gleichung sind das retardierte bzw. avancierte Vektorpotential

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}',t')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'}$, mit ${\displaystyle t'=t\mp {\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}$.

Eigenschaften

Weil die Divergenz einer Rotation immer Null ist, gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$

Die Definition sorgt so dafür, dass Induktionsgesetz und das Gaußsches Gesetz für Magnetfelder, also zwei der Maxwell-Gleichungen, automatisch erfüllt sind.

Das magnetische Vektorpotential ist als Vektorfeld außerdem nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes ${\displaystyle \alpha }$ darstellbar und es würde gelten:

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})=\nabla \times \nabla \alpha \equiv 0\,\,.}$

Skalares Potential und Vektorpotential werden in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik zum Viererpotential

${\displaystyle A^{\mu }=\left(\Phi /c,{\vec {A}}\right)}$

zusammengefasst.

Eichungen

• Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion ${\displaystyle \chi ({\vec {r}},t)}$ gilt also

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}({\vec {r}},t)'&={\vec {A}}({\vec {r}},t)+\nabla \chi ({\vec {r}},t)\\\Rightarrow \;\;{\vec {B}}({\vec {r}},t)'&=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)'=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\vec {B}}({\vec {r}},t)\,.\end{aligned}}}$

Verschieden geeichte Vektorpotentiale führen also auf dasselbe magnetische Feld. Dies wird als Eichinvarianz bezeichnet.

• In der Magnetostatik kann das Vektorpotential über die Coulomb-Eichung quellfrei gemacht werden, das bedeutet

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}({\vec {r}})=0}$.

• In der Elektrodynamik, d. h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die folgende Lorenz-Eichung, die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}({\vec {r}},t)+{\frac {1}{\ c^{2}}}\partial _{t}\Phi ({\vec {r}},t)=0\,.}$ Dabei ist ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)}$ das skalare Potential (s. u.) und ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit.

Elektrisches Vektorpotential

Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z. B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {F}}}$, es hat die Einheit einer Linienladungsdichte ${\displaystyle {\frac {C}{m}}}$.

Aufgrund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {D}}=0}$       bzw.

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {E}}=0}$       sowie

${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} {\vec {F}}=0}$.

Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen ${\displaystyle {\vec {D}}(r)}$ und ${\displaystyle {\vec {F}}(r)}$ zu erhalten, subtrahiert man die Gleichungen ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {D}}=0}$ und ${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} {\vec {F}}=0}$ voneinander und erhält:

${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {D}}-\operatorname {rot} {\vec {F}})=0}$

Das Wirbelfeld ${\displaystyle {\vec {F}}}$ nennt man elektrisches Vektorpotential. Es beschreibt nur zeitlich veränderliche elektrische Felder.

Beziehungen zwischen Vektor- und Skalarpotential

Gemäß dem helmholtzschen Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})}$ als Superposition zweier Komponenten ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}$ und ${\displaystyle {\vec {G}}({\vec {r}})}$ aufgefasst werden, deren erste der Gradient eines Skalarpotentials ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}$ ist, die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials ${\displaystyle {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}$:

${\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=\nabla \Phi ({\vec {r}})+\nabla \times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}$

Ist ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})\,}$ ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}\,}$ dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials ${\displaystyle \Phi \ }$ entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise

${\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-\nabla \Phi ({\vec {r}})+\nabla \times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).}$

Literatur

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag, 2002. ISBN 3-540-42018-5.