Verteilungsfreiheit

Die Verteilungsfreiheit ist ein Konzept der mathematischen Statistik, welches formalisiert, dass aus gewissen Mengensystemen oder mittels gewisser messbarer Abbildungen keine Informationen extrahiert werden können, sie sind also uninformativ. Somit ist die Verteilungsfreiheit das Gegenstück zur Suffizienz, die formalisiert, dass alle relevanten Daten extrahiert werden können. Wie auch bei der Suffizienz unterscheidet man in verteilungsfreie σ-Algebren und verteilungsfreie Statistiken.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell mit Verteilungsklasse .

Verteilungsfreie σ-Algebra

Ist eine σ-Algebra, so heißt eine verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich , wenn

gilt.

Bezeichnet man mit die Einschränkung des Definitionsbereiches des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die σ-Algebra , so gilt für eine Verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich also

.

Die Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich also nicht anhand ihrer Werte auf unterscheiden.

Verteilungsfreie Statistik

Eine Statistik

heißt genau dann eine verteilungsfreie Statistik, wenn die von erzeugte σ-Algebra eine verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich ist. Äquivalent dazu ist, dass die von der Statistik erzeugten Bildmaße von alle identisch sind.

Wichtige Aussagen

Die drei Sätze von Basu stellen einen Zusammenhang her zwischen den Begriffen der Verteilungsfreiheit, der Suffizienz und der Vollständigkeit. Verkürzt lauten sie:

  1. Eine suffiziente beschränkt vollständige Statistik und eine verteilungsfreie Statistik sind für alle stochastisch unabhängig.
  2. Sind für alle voneinander unabhängige σ-Algebren und ist suffizient, so ist (unter gewissen Zusatzannahmen) verteilungsfrei.
  3. Seien die σ-Algebren stochastisch unabhängig für alle und sei verteilungsfrei. Ist dann , so ist suffizient.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung einer verteilungsfreien Statistik ist eine Pivotstatistik. Diese finden bei der Konstruktion von Bereichsschätzern und somit bei der Bestimmung von Konfidenzbereichen Anwendung.

Literatur

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.