Vergleichszeichen

< >
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen+
Minuszeichen,
Malzeichen, ×
Geteiltzeichen:, ÷, /
Plusminuszeichen±,
Vergleichszeichen<, , =, , >
Wurzelzeichen
Prozentzeichen%
Analysis
SummenzeichenΣ
ProduktzeichenΠ
Differenzzeichen, Nabla,
Prime
Partielles Differential
Integralzeichen
Verkettungszeichen
Unendlichzeichen
Geometrie
Winkelzeichen, , ,
Senkrecht, Parallel,
Dreieck, Viereck,
Durchmesserzeichen
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt,
Differenz, Komplement,
Elementzeichen
Teilmenge, Obermenge, , ,
Leere Menge
Logik
Folgepfeil, ,
Allquantor
Existenzquantor
Konjunktion, Disjunktion,
Negationszeichen¬

Vergleichszeichen sind die in der mathematischen Notation üblichen Zeichen für die Darstellung der Größenverhältnisse zweier Zahlen oder Terme. Die wichtigsten Vergleichszeichen sind das Gleichheitszeichen (=) sowie das Größer-als-Zeichen (>) und das Kleiner-als-Zeichen (<). Vergleichszeichen können vielfältig kombiniert werden, etwa mit einer Tilde für die Äquivalenz. Durchgestrichene Varianten stehen für die Negation des ursprünglichen Verhältnisses. Viele der Kombinationen fallen in den meisten Anwendungen mit der Bedeutung anderer Zeichen zusammen.

Typografie und Aussehen

Winkelklammern, Vergleichszeichen und einfache Guillemets (halbe Spitzzeichen) in den Schriftarten Cambria, DejaVu Serif, Andron Mega Corpus, Andika und Everson Mono

Das Kleiner-als-Zeichen und das Größer-als-Zeichen bestehen aus einem in der Mitte abgeknickten Strich mit geraden Schenkeln, wobei der Knickwinkel regelmäßig spitz (also kleiner als ein rechter Winkel) ist. Die Endpunkte liegen senkrecht übereinander, sodass die Schenkel gleich lang sind; dies wird auch meistens in der Kursivschrift beibehalten. Die Höhe und Höhenlage der Zeichen entsprechen regelmäßig denen des Pluszeichens. Sie sind damit in den meisten Schriftart deutlich größer als Guillemets (Spitzzeichen) und andererseits deutlich kleiner als Winkelklammern. Letztere unterscheiden sich auch durch einen deutlich offeneren Winkel an der Knickstelle, zumeist deutlich größer als ein rechter Winkel.

Geschichte

Vergleichszeichen in einem Druck von 1631[1]
Kleiner-als- und Größer-als-Zeichen mit Serifen in einem Druck von 1802[2]

Die Zeichen > und < wurden von dem englischen Mathematiker Thomas Harriot 1631 in seinem Werk Artis Analyticae Praxis eingeführt. Das Zeichen ≥ wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Pierre Bouguer im Jahr 1734 verwendet.[3]

Verwendung

Mathematik

In der Mathematik werden Vergleichszeichen (vom Gleichheitszeichen abgesehen) genutzt, um Ungleichungen zu bilden. In der elementaren Mathematik bezeichnen sie die Vergleiche von Zahlen, darüber hinaus werden sie als Symbole für allgemeine Ordnungsrelationen benutzt.

Das Kleiner-als-Zeichen (<) kennzeichnet eine zweistellige Relation, deren semantische Belegung von der verwendeten Algebra abhängt. Implizit wird angenommen, dass die Relation zu „wahr“ ausgewertet wird.

Im täglichen Sprachgebrauch der natürlichen Zahlen bezeichnet man damit die Relation eines echt kleineren (nicht gleich großen!) Wertes gegenüber einem echt größeren Wert. In Präfixnotation bedeutet das: < (a, b) wird zu „wahr“ ausgewertet, also a ist echt kleiner als b.

Die gebräuchlichere Form ist die Infixnotation a < b, wenn a echt kleiner ist als b.

Beispiel

Der Wert der natürlichen Zahl 3 ist echt kleiner (hat eine geringere Ordnung) als der Wert der natürlichen Zahl 4. Die Ordnung gibt der Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen vor.

Man schreibt:

Ebenso gilt für reelle Zahlen:

Merksätze und Eselsbrücken

Auf dem Bild ist das Eigenschaftswort „kleiner“ zu lesen, in schwarzer, serifenloser Schrift, wobei der erste Buchstabe, das „k“, durch einen senkrechten, dunkelblauen Strich und ein daran unmittelbar anschließendes oranges Kleiner-als-Zeichen gebildet wird. Dies ergibt zwar kein harmonisches Schriftbild, soll aber die Merkhilfe für das Kleiner-als-Zeichen veranschaulichen.
Eselsbrücke für Kleiner-als-Zeichen
Auf dem Bild ist das um 36° nach unten gekippte Eigenschaftswort „Größer“ zu lesen, in schwarzer, serifenloser Schrift, wobei der erste Buchstabe, das große „G“, wie folgt gebildet wird: an einen abgewandelten, dunkelblauen Halbkreis, der einem um 36° im Uhrzeigersinn gekippten großen „C“ ähnelt, schließt an dessen unterem Ende unmittelbar ein oranges Größer-als-Zeichen an, das als einziges der Zeichen (beziehungsweise Buchstaben) nicht gekippt, sondern wie üblich horizontal ausgerichtet ist. Dies ergibt zwar kein harmonisches Schriftbild, soll aber die Merkhilfe für das Größer-als-Zeichen veranschaulichen.
Eselsbrücke für Größer-als-Zeichen

Zur Vermeidung von Verwechslungen zwischen den Größer-als-Zeichen und dem Kleiner-als-Zeichen wird teils – gerade für Schulkinder – der Vergleich mit einem Krokodil als hilfreich angesehen, das stets nach dem größeren „Bissen“ schnappe: „Das Krokodil, das stets das Meiste fressen will“. In der Zeitschrift Kopf und Zahl (Zeitschrift der ZTR zur Behandlung von Rechenschwäche) wird dieser Merksatz kritisiert:

„Einer solchen ‚Erklärung‘ stehe ich skeptisch gegenüber, da sich diese Eselsbrücke nicht aus der mathematischen Logik speist, sondern sich ausschließlich dem Wunsch nach einem kindgemäßen Bild verdankt. Was ist eigentlich, wenn das Reptil nur einen kleinen Hunger hat? (…) Ich bevorzuge stattdessen eine Erklärung, die auf die Entstehung des Symbols Bezug nimmt: ‚Auf derjenigen Seite, auf der das Zeichen größer ist, steht auch die größere Zahl.‘ Auf diese Weise bekommt man auch einen eleganten Übergang zum ‚ist gleich‘ hin: dieses Zeichen ist auf beiden Seiten gleich weit geöffnet.“

Zeitschrift Kopf und Zahl, 8. Ausgabe, 2007[4]

Alternativ kann das Kleiner-als-Zeichen durch einen senkrechten Strich zu einem k (oder K) und das Größer-als-Zeichen durch einen Halbkreis zu einem G stilisiert werden.

Auszeichnungssprachen

In manchen Auszeichnungssprachen wie HTML oder XML werden Kleiner-als- und Größer-als-Zeichen zur spracheigenen Kennzeichnung des Beginns und Endes aller (Haupt-)Elemente (Tags) verwendet. Um derartige Auszeichnungen in HTML dennoch darstellen zu können, können ersatzweise die (auch englisch abgekürzt) benannten Elemente &lt; und &gt; verwendet werden – so beispielsweise für das Absatz-Anfangs- und -Endezeichen <p> und </p> (vergleiche auch Absatzzeichen und siehe allgemein unter Maskierungszeichen).

Linguistik

In der Linguistik wird das Größer-als-Zeichen dafür verwendet, dass sich die rechts davon stehende grammatikalische oder phonetische Form aus der links davon stehenden Form herleiten lässt. Umgekehrt bedeutet das Kleiner-als-Zeichen, dass die links davon stehende Form eine Ableitung aus der rechts davon stehenden Form ist oder sein kann. Hier sind beide Zeichen also quasi als Pfeilspitze aufzufassen.

Ein Beispiel:griechisches Alphabet“ – altgriechisch ἑλληνικός ἀλφάβητος > neugriechisch ελληνικό αλφάβητο oder in umgekehrter Richtung ελληνικό αλφάβητο < ἑλληνικός ἀλφάβητος.

Musik

Das gebräuchlichste Zeichen für einen Akzent in der Notation von Musik ist das keilförmige Zeichen über oder unter der Note. Das Zeichen symbolisiert das rasche Verklingen eines Tones vom lauten in den leisen dynamischen Bereich. Eine noch etwas schärfere Betonung (Akzentuierung) bezeichnet der „Dachakzent“: .

Darstellung in Computersystemen

Tastatureingabe

Auf deutschen Standard-Tastaturen werden das Kleiner-als-Zeichen und das Größer-als-Zeichen mit der Taste rechts neben der linken Umschalttaste eingegeben.

Auf deutschen Standard-Tastaturen mit der Belegung T2 gemäß DIN 2137:2012-06 wird das Kleiner-Gleich-Zeichen mit der Tastenkombination AltGr+a eingegeben, das Größer-Gleich-Zeichen mit der Tastenkombination AltGr+s.

In macOS wird das Kleiner-Gleich-Zeichen mit der Tastenkombination Alt+< eingegeben, das Größer-Gleich-Zeichen mit der Tastenkombination Alt++>.

Liste der Vergleichszeichen

Mathematische Vergleichszeichen
ZeichenUnicodeBedeutungZeichenUnicodeBedeutung
=U+003DU+2260gleich/ungleichU+2248U+2249fast gleich/nicht fast gleich
<>U+003CU+003Ekleiner/größer alsU+227AU+227Bvorangehend/nachfolgend
U+2264U+2265kleiner/größer als oder gleichU+227CU+227Dvorangehend/nachfolgend oder gleich
U+226EU+226Fnicht kleiner/größer alsU+2280U+2281nicht vorangehend/nachfolgend
U+2270U+2271weder kleiner/größer als noch gleichU+22E0U+22E1weder vorangehend/nachfolgend noch gleich
U+2272U+2273kleiner/größer als oder äquivalentU+227EU+227Fvorangehend/nachfolgend oder äquivalent
U+22DCU+22DDgleich oder kleiner/größer alsU+22DEU+22DFgleich oder vorangehend/nachfolgend
U+22E6U+22E7kleiner/größer als, aber nicht äquivalentU+22E8U+22E9vorangehend/nachfolgend, aber nicht äquivalent
U+2274U+2275weder kleiner/größer als noch äquivalentU+22B0U+22B1vorangehend/nachfolgend in Relation
U+2266U+2267kleiner/größer als über gleich zuU+2268U+2269kleiner/größer als, aber nicht gleich
U+226AU+226Bviel kleiner/größer alsU+22D8U+22D9sehr viel kleiner/größer als
U+2276U+2277kleiner/größer oder größer/kleiner alsU+2278U+2279weder kleiner/größer noch größer/kleiner als
U+22DAU+22DBkleiner/größer als, gleich oder größer/kleiner alsU+22D6U+22D7kleiner/größer als mit Punkt

Zum ASCII-Satz gehören das Kleiner-als-Zeichen (Code 0x3C), das Gleichheitszeichen (Code 0x3D), und das Größer-als-Zeichen (Code 0x3E).

Typografische Varianten

Je nach Tradition des Formelsatzes werden für das Kleiner-gleich-Zeichen und das Größer-gleich-Zeichen geringfügig abweichende Varianten verwendet:

ZeichenUnicodeLaTeX[5]HTML
U+2264U+2265\leq\geq
U+2266U+2267\leqq\geqq
U+2A7DU+2A7E\leqslant\geqslant

In DIN 1302 „Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe“ werden für das Kleiner-gleich- und Größer-gleich-Zeichen die Varianten der ersten Zeile festgelegt. Auch sind es diese Zeichen, die mit der deutschen Standardtastatur (Belegung E1) gemäß DIN 2137-01:2018-12 und der Belegung T2 gemäß der Vorgängernorm DIN 2137-01:2012-06 eingegeben werden können.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Thomas Harriot: Artis analyticae praxis, London 1631, Seite 10 (Detail)
  2. Johann Friedrich Ludwig Häseler: Anfangsgründe der Arithmetik. Meyersche Buchhandlung, Lemgo 1802, Teil 1, S. 89.
  3. Clifford A. Pickover: A Passion for Mathematics: Numbers, Puzzles, Madness, Religion, and the Quest for Reality. John Wiley & Sons, 2005, ISBN 978-0-471-69098-6, S. 22. (wordpress.com (Memento des Originals vom 4. März 2016 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/arcaneknowledgeofthedeep.files.wordpress.com (PDF); abgerufen am 9. Oktober 2015)
  4. Kopf und Zahl. (PDF; 621 KB) In: JOURNAL des Vereins für Lerntherapie und Dyskalkulie e. V. in Zusammenarbeit mit den Mathematischen Instituten zur Behandlung der Rechenschwäche (ZTR), 8. Ausgabe, 2007. Verein für Lern- und Dyskalkulietherapie, 6. November 2007, S. 8, abgerufen am 1. September 2018.
  5. Scott Pakin: The Comprehensive LaTeX Symbol List. (PDF, 21,2 MB) 5. Mai 2021, S. 61, archiviert vom Original am 18. Juli 2021; abgerufen am 19. Juli 2021 (englisch, der Originallink führt zu einem Spiegelserver des CTAN; zum Archivlink vergleiche Datei:Comprehensive LaTeX Symbol List.pdf).

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deutschsprachiger Merkspruch für Kleiner-als-Zeichen: der Anfangsbuchstabek“ des Adjektivskleiner“ wird hier zusammengesetzt aus einem senkrechten Strich „|“ und einem Kleiner-als-Zeichen „<“
Größer-als-Zeichen(Merkspruch).svg
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deutschsprachiger Merkspruch für Größer-als-Zeichen: der AnfangsbuchstabeG“ des um 36° im Uhrzeigersinn gekippten AdjektivsGrößer“ wird hier zusammengesetzt aus einem C-förmigen Halbkreis und einem Größer-als-Zeichen „>“, das an das untere Ende des Halbkreises unmittelbar anschließt und nicht gekippt, sondern wie üblich horizontal ausgerichtet ist
Artis analyticae praxis 1631 – Comparationis signa in sequentibus usurpanda.png
Less-than and greater-than signs in: Thomas Harriot: Artis analyticae praxis, London 1631. Scan from page 10.
Vergleichszeichen in Häseler - Anfangsgründe der Arithmetik - 1802 - Teil 1 S.89.png
Unicode characters U+003C less-than sign and U+003E greater-than sign in a German print from 1802. Source: Johann Friedrich Häseler, Anfangsgründe der Arithmetik. Meyersche Buchhandlung, Lemgo 1802, Teil 1, S.89
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