Verallgemeinerter Laplace-Operator

Verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind mathematische Objekte, welche in der Differentialgeometrie insbesondere in der Globalen Analysis untersucht werden. Die hier behandelten Operatoren sind Verallgemeinerungen des aus der reellen Analysis bekannten Laplace-Operators. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf riemannsche Mannigfaltigkeit definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den Atiyah-Singer-Indexsatz und den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

Definition

Sei eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, ein hermitesches Vektorbündel und ein geometrischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol

für und gilt. Die Norm wird durch die riemannsche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

Beispiele

Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition eine -dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit und ein Vektorbündel.

Laplace-Beltrami-Operator

Definition

Der Laplace-Beltrami-Operator ist definiert durch

für zweimal stetig differenzierbare Funktionen . Dabei bezeichnet den Gradienten der Funktion , ein Vektorfeld auf . Die Divergenz eines Vektorfeldes auf an der Stelle ist definiert als die Spur der linearen Abbildung , , wobei der Levi-Civita-Zusammenhang auf ist. Hat man als Definitionsbereich keine echte Mannigfaltigkeit, sondern eine offene Teilmenge des , so ist der Zusammenhang die gewöhnliche Richtungsableitung und die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz eines Vektorfeldes. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

Lokale Koordinaten

Es seien lokale Koordinaten auf und die zugehörigen Basisfelder des Tangentialbündels. Mit für seien die Komponenten der riemannschen Metrik bezüglich dieser Basis bezeichnet.

Die Darstellung des Gradienten in lokalen Koordinaten lautet dann

.

Hierbei ist die inverse Matrix der Matrix .

Die Darstellung der Divergenz eines Vektorfelds ist

,

wobei die Determinante der Matrix ist.[1]

Setzt man diese Gleichungen zusammen, so erhält man die lokale Darstellung

des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik . Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

Hodge-Laplace-Operator

Sei der Raum der Differentialformen über und die äußere Ableitung. Die adjungierte äußere Ableitung wird mit bezeichnet. Dann heißt der Operator

Hodge-Laplace- oder Laplace-de-Rham-Operator und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator.[2] Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen Hodge-Theorie und dem damit eng verbundenen De-Rham-Komplex Anwendung findet.

Dirac-Laplace-Operator

Ein Dirac-Operator

ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt, ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird Dirac-Laplace-Operator genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

Bochner-Laplace-Operator

Definition

Der Bochner-Laplace-Operator wird mit dem metrischen Zusammenhang auf dem Vektorbündel definiert. Sei außerdem der Levi-Civita-Zusammenhang und der durch und induzierte Zusammenhang auf dem Bündel

dann ist der Bochner-Laplace-Operator durch

definiert. Die Abbildung ist dabei die Tensorverjüngung bezüglich der riemannschen Metrik.[3]

Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist

Dabei ist der adjungierte Operator bezüglich der riemannschen Metrik .

Lokale Darstellung

Wählt man als Zusammenhang den Levi-Civita-Zusammenhang so erhält man in lokalen Koordinaten mit dem orthonormalen Rahmen die Darstellung[3]

Eigenschaften

  • Ein verallgemeinerter Laplace-Operator ist ein geometrischer Differentialoperator der Ordnung zwei.
  • Da ein verallgemeinerter Laplace-Operator, wie in der Definition gefordert, das Hauptsymbol hat, ist er ein elliptischer Differentialoperator.
  • Jeder Differentialoperator zweiter Ordnung mit positiv definitem Hauptsymbol ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator bezüglich einer geeigneten riemannschen Metrik auf der Mannigfaltigkeit und einer geeigneten hermiteschen Metrik auf dem Vektorbündel.
  • Sind glatte Schnitte, so gilt
.
  • Der Operator ist nichtnegativ und wesentlich selbstadjungiert bezüglich . Die Definition des auf Mannigfaltigkeiten kann in dem Artikel über Dichtebündel nachgelesen werden.
  • Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator bestimmt eindeutig einen Zusammenhang auf dem Vektorbündel und einen Schnitt , so dass gilt, wobei der Bochner-Laplace-Operator ist. Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator stimmt also mit dem Bochner-Laplace-Operator bis auf eine Störung der Ordnung Null überein.

Quellen

  • Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry (= Pure and Applied Mathematics 115). Academic Press, Orlando FL u. a. 1984, ISBN 0-12-170640-0.
  • Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3.
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der Mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch Mathematische Physik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06565-6.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage, Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, Kapitel 17 Verallgemeinerte Vektoroperationen ISBN 3-8274-1356-7
  2. H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0691085425, S. 123
  3. a b Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 63–64.