Verallgemeinerter Laplace-Operator

Verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind mathematische Objekte, welche in der Differentialgeometrie insbesondere in der Globalen Analysis untersucht werden. Die hier behandelten Operatoren sind Verallgemeinerungen des aus der reellen Analysis bekannten Laplace-Operators. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf riemannsche Mannigfaltigkeit definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den Atiyah-Singer-Indexsatz und den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

Sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ ein hermitesches Vektorbündel und ${\displaystyle H\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,E)}$ ein geometrischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol

${\displaystyle \sigma _{H}^{2}(x,\xi )=\|\xi \|^{2}}$

für ${\displaystyle x\in M}$ und ${\displaystyle \xi \in T_{x}^{*}M}$ gilt. Die Norm wird durch die riemannsche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition ${\displaystyle (M,g)}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ ein Vektorbündel.

Der Laplace-Beltrami-Operator ist definiert durch

${\displaystyle \Delta f:=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f).}$

für zweimal stetig differenzierbare Funktionen ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {grad} f}$ den Gradienten der Funktion ${\displaystyle f}$, ein Vektorfeld auf ${\displaystyle M}$. Die Divergenz eines Vektorfeldes ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle M}$ an der Stelle ${\displaystyle p\in M}$ ist definiert als die Spur der linearen Abbildung ${\displaystyle \nabla X\colon T_{p}M\to T_{p}M}$, ${\displaystyle \xi \mapsto \nabla _{\xi }X}$, wobei ${\displaystyle \nabla }$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf ${\displaystyle M}$ ist. Hat man als Definitionsbereich eine offene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, betrachtet als Mannigfaltigkeit über sich, so ist der Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$ die gewöhnliche Richtungsableitung und ${\displaystyle \operatorname {div} }$ die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz eines Vektorfeldes. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

Es seien ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ lokale Koordinaten auf ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}},\dots ,{\tfrac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ die zugehörigen Basisfelder des Tangentialbündels. Mit ${\displaystyle g_{ij}}$ für ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ seien die Komponenten der riemannschen Metrik ${\displaystyle g}$ bezüglich dieser Basis bezeichnet.

Die Darstellung des Gradienten ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ in lokalen Koordinaten lautet dann

${\displaystyle \operatorname {grad} f=\sum _{i,j}\left(g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle (g^{ij})}$ die inverse Matrix der Matrix ${\displaystyle (g_{ij})}$.

Die Darstellung der Divergenz eines Vektorfelds ${\displaystyle \textstyle X=\sum \limits _{i}X^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ ist

${\displaystyle \operatorname {div} X={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det g}}X^{i}\right)}$,

wobei ${\displaystyle \det g}$ die Determinante der Matrix ${\displaystyle (g_{ij})}$ ist.^[1]

Setzt man diese Gleichungen zusammen, so erhält man die lokale Darstellung

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det g}}\,g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)}$

des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik ${\displaystyle g}$. Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

Sei ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {A}}(M):=\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {A}}^{i}(M)}$ der Raum der Differentialformen über ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} :{\mathcal {A}}^{i}(M)\to {\mathcal {A}}^{i+1}(M)}$ die äußere Ableitung. Die adjungierte äußere Ableitung wird mit ${\displaystyle \delta }$ bezeichnet. Dann heißt der Operator

${\displaystyle \Delta :=\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2}}$

Hodge-Laplace- oder Laplace-de-Rham-Operator und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator.^[2] Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen Hodge-Theorie und dem damit eng verbundenen De-Rham-Komplex Anwendung findet.

Ein Dirac-Operator

${\displaystyle D:\Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,E)}$

ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt, ${\displaystyle D^{2}:\Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,E)}$ ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird Dirac-Laplace-Operator genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

Der Bochner-Laplace-Operator wird mit dem metrischen Zusammenhang ${\displaystyle \nabla ^{E}\colon \Gamma (M,E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)}$ auf dem Vektorbündel ${\displaystyle E}$ definiert. Sei außerdem ${\displaystyle \nabla ^{T^{*}M}\colon \Gamma (M,T^{*}M)\to \Gamma (T^{*}M\otimes T^{*}M)}$ der Levi-Civita-Zusammenhang und ${\displaystyle \nabla ^{T^{*}M\otimes E}}$ der durch ${\displaystyle \nabla ^{E}}$ und ${\displaystyle \nabla ^{T^{*}M}}$ induzierte Zusammenhang auf dem Bündel ${\displaystyle T^{*}M\otimes E}$

dann ist der Bochner-Laplace-Operator durch

${\displaystyle \Delta ^{E}\cdot :=-\operatorname {Tr} _{g}\left(\nabla ^{T^{*}M\otimes E}\nabla ^{E}\cdot \right)\,.}$

definiert. Die Abbildung ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{g}}$ ist dabei die Tensorverjüngung bezüglich der riemannschen Metrik.^[3]

Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist

${\displaystyle \Delta ^{E}:=-(\nabla ^{E})^{*}\nabla ^{E}.}$

Dabei ist ${\displaystyle (\nabla ^{E})^{*}}$ der adjungierte Operator bezüglich der riemannschen Metrik ${\displaystyle g}$.

Wählt man als Zusammenhang den Levi-Civita-Zusammenhang so erhält man in lokalen Koordinaten mit dem orthonormalen Rahmen ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ die Darstellung^[3]

${\displaystyle \Delta ^{E}=-\sum _{i=1}^{n}\left(\nabla _{e_{i}}^{E}\nabla _{e_{i}}^{E}-\nabla _{\nabla _{e_{i}}e_{i}}^{E}\right)\,.}$

• Ein verallgemeinerter Laplace-Operator ist ein geometrischer Differentialoperator der Ordnung zwei.
• Da ein verallgemeinerter Laplace-Operator, wie in der Definition gefordert, das Hauptsymbol ${\displaystyle |\xi |^{2}}$ hat, ist er ein elliptischer Differentialoperator.
• Jeder Differentialoperator zweiter Ordnung mit positiv definitem Hauptsymbol ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator bezüglich einer geeigneten riemannschen Metrik auf der Mannigfaltigkeit und einer geeigneten hermiteschen Metrik auf dem Vektorbündel.
• Sind ${\displaystyle \phi ,\psi \in \Gamma ^{\infty }(M,E)}$ glatte Schnitte, so gilt

${\displaystyle g(\Delta ^{E}\phi ,\psi )=g(\nabla ^{E}\phi ,\nabla ^{E}\psi )}$.

• Der Operator ${\displaystyle \Delta ^{E}}$ ist nichtnegativ und wesentlich selbstadjungiert bezüglich ${\displaystyle L^{2}(X,E)}$. Die Definition des ${\displaystyle L^{2}}$ auf Mannigfaltigkeiten kann in dem Artikel über Dichtebündel nachgelesen werden.
• Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator ${\displaystyle H}$ bestimmt eindeutig einen Zusammenhang ${\displaystyle \nabla ^{E}}$ auf dem Vektorbündel ${\displaystyle E}$ und einen Schnitt ${\displaystyle B\in \Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {End} (E))}$, so dass ${\displaystyle H=\Delta ^{E}-B}$ gilt, wobei ${\displaystyle \Delta ^{E}}$ der Bochner-Laplace-Operator ist. Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator stimmt also mit dem Bochner-Laplace-Operator bis auf eine Störung der Ordnung Null überein.

• Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry (= Pure and Applied Mathematics 115). Academic Press, Orlando FL u. a. 1984, ISBN 0-12-170640-0.
• Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3.
• Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der Mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch Mathematische Physik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06565-6.

• Vektorieller Laplace-Operator

1. ↑ Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage, Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, Kapitel 17 Verallgemeinerte Vektoroperationen ISBN 3-8274-1356-7
2. ↑ H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0691085425, S. 123
3. ↑ ^{a b} Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 63–64.