Laplace-Operator

Der Laplace-Operator ist ein mathematischer Operator, der zuerst von Pierre-Simon Laplace eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis. Er wird meist durch das Zeichen ${\displaystyle \Delta }$, den Großbuchstaben Delta des griechischen Alphabets, notiert.

Der Laplace-Operator kommt in vielen Differentialgleichungen vor, die das Verhalten physikalischer Felder beschreiben. Beispiele sind die Poisson-Gleichung der Elektrostatik, die Navier-Stokes-Gleichungen für Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen und die Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung.

Definition

Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal differenzierbaren Skalarfeld ${\displaystyle f}$ die Divergenz seines Gradienten zu,

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,f\right),}$

oder mit dem Nabla-Operator notiert

${\displaystyle \Delta f=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f.}$

Das formale „Skalarprodukt“ des Nabla-Operators mit sich selbst ergibt also den Laplace-Operator. Vor allem im englischsprachigen Raum ist für den Laplace-Operator oft die Schreibweise ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ zu finden.

Da der Divergenz-Operator ${\displaystyle \operatorname {div} }$ und der Gradient-Operator ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, ist auch der Laplace-Operator unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der Koordinatentransformation.

Im ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum ergibt sich in kartesischen Koordinaten

${\displaystyle \Delta f=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}^{2}}.}$

In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator somit auf die zweite Ableitung:

${\displaystyle \Delta f=f''}$

Der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als Spur ihrer Hesse-Matrix dargestellt werden:

${\displaystyle \Delta f=\mathrm {Spur} (H(f))}$

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder angewendet werden. Mit dem dyadischen Produkt „${\displaystyle \otimes }$“ wird mit dem Nabla-Operator ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}:=(\nabla \cdot \nabla ){\vec {v}}=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})=\operatorname {div(grad} ({\vec {v}})^{\top })}$

definiert. Das Superskript ${\displaystyle {}^{\top }}$ steht für Transponierung. In der Literatur findet sich auch ein Divergenz-Operator, der sein Argument gemäß ${\displaystyle \operatorname {\widetilde {div}} T=\operatorname {div} (T^{\top })}$ transponiert. Mit diesem Operator schreibt sich analog zum Skalarfeld:

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\operatorname {{\widetilde {div}}(grad} \,{\vec {v}})}$

Speziell in drei Dimensionen gilt mit dem Rotationsoperator ${\displaystyle \operatorname {rot} }$

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}=(\nabla \cdot \nabla ){\vec {v}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})=\operatorname {grad(div} ({\vec {v}}))-\operatorname {rot(rot} ({\vec {v}})),}$

was mit der Graßmann-Identität begründet werden kann. Letztere Formel definiert den sogenannten vektoriellen Laplace-Operator.^[1]

Darstellung

In zwei Dimensionen

Für eine Funktion ${\displaystyle f}$ in kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ ergibt die Anwendung des Laplace-Operators

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.}$

In Polarkoordinaten ${\displaystyle (r,\varphi )}$ ergibt sich

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}$

oder

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.}$

In drei Dimensionen

Für eine Funktion ${\displaystyle f}$ mit drei Variablen ergibt sich in kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

In Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$ ergibt sich

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho \,{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

und in Kugelkoordinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.}$

Die Ableitungen der Produkte in dieser Darstellung können noch entwickelt werden, wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in drei äquivalenten Formen geschrieben werden:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}{\Big (}rf(r){\Big )}}$

Entsprechend gilt für den zweiten Term:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\cot \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}}$

Diese Darstellungen des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten gelten nur für den skalaren Laplace-Operator. Für den Laplace-Operator, der auf vektorwertige Funktionen wirkt, müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden, siehe weiter unten den Abschnitt „Anwendung auf Vektorfelder“.

In krummlinigen Orthogonalkoordinaten

In beliebigen krummlinigen Orthogonalkoordinaten, zum Beispiel in sphärischen Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten oder elliptischen Koordinaten gilt dagegen für den Laplace-Operator die allgemeinere Beziehung

${\displaystyle \Delta f={\rm {div\,\,grad\,\,}}f={\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}\,\,{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\left({\frac {a_{2}a_{3}\,\partial f}{a_{1}\,\partial u_{1}}}\right)+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}\,\,{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\left({\frac {a_{1}a_{3}\,\partial f}{a_{2}\,\partial u_{2}}}\right)+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}\,\,{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\left({\frac {a_{1}a_{2}\,\partial f}{a_{3}\,\partial u_{3}}}\right)}$

mit den durch

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i=1}^{3}\,a_{i}\,{\hat {e}}_{i}(u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{i}}$

${\displaystyle {\rm {grad\,\,}}f=\sum _{i=1}^{3}\,{\frac {\partial f}{a_{i}\,\partial u_{i}}}\,{\hat {e}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{k}=\delta _{i,k}={\begin{cases}1&{\text{für }}i=k\\0&{\text{für }}i\neq k\end{cases}}}$

impliziert definierten Größen ${\displaystyle a_{i},u_{i},{\hat {e}}_{i}}$. Dabei haben nicht die ${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$, sondern die Größen ${\displaystyle \mathrm {d} l_{i}:=a_{i}\cdot \mathrm {d} u_{i}}$ die physikalische Dimension einer „Länge“, wobei zu beachten ist, dass die ${\displaystyle a_{i}}$ nicht konstant sind, sondern von ${\displaystyle u_{1}}$, ${\displaystyle u_{2}}$ und ${\displaystyle u_{3}}$ abhängen können.

Für noch allgemeinere Koordinaten gilt die Laplace-Beltrami-Beziehung.

Anwendung auf Vektorfelder

In einem kartesischen Koordinatensystem mit ${\displaystyle x}$-, ${\displaystyle y}$- und ${\displaystyle z}$-Koordinaten und Basisvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{x,y,z}}$ gilt:

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {v}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\vec {v}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\vec {v}}=\Delta v_{x}{\hat {e}}_{x}+\Delta v_{y}{\hat {e}}_{y}+\Delta v_{z}{\hat {e}}_{z}}$

Bei Verwendung von Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten ist die Differentiation der Basisvektoren zu beachten. Es ergibt sich in Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\left(\Delta v_{\rho }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\rho }-{\frac {2}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\rho }+\left(\Delta v_{\varphi }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\varphi }+{\frac {2}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial v_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\varphi }+\Delta v_{z}{\hat {e}}_{z}}$

und in Kugelkoordinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {v}}=&\left(\Delta v_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}v_{r}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}-{\frac {2}{r^{2}\tan \theta }}v_{\theta }\right){\hat {e}}_{r}\\&+\left(\Delta v_{\theta }+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\theta }\right){\hat {e}}_{\theta }\\&+\left(\Delta v_{\varphi }+{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\varphi }+{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\varphi }\,.\end{aligned}}}$

Die zu den Laplace-Ableitungen der Vektorkomponenten hinzu kommenden Terme resultieren aus den Ableitungen der Basisvektoren.^[2]

Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist ein linearer Operator, das heißt: Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ zweimal differenzierbare Funktionen und ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ Konstanten, so gilt

${\displaystyle \Delta (a\cdot f+b\cdot g)=a\cdot (\Delta f)+b\cdot (\Delta g).}$

Wie für andere lineare Differentialoperatoren auch, gilt für den Laplace-Operator eine verallgemeinerte Produktregel. Diese lautet

${\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta g+2\langle \nabla f,\nabla g\rangle +g\Delta f,}$

wobei ${\displaystyle f,g\colon U\to \mathbb {R} }$ zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen mit ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ sind und ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das euklidische Standardskalarprodukt ist.^[3]

Der Laplace-Operator ist drehsymmetrisch, das heißt: Ist ${\displaystyle f}$ eine zweimal differenzierbare Funktion und ${\displaystyle R}$ eine Drehung, so gilt

${\displaystyle \left(\Delta f\right)\circ R=\Delta \left(f\circ R\right),}$

wobei „${\displaystyle \circ }$“ für die Verkettung von Abbildungen steht.

Das Hauptsymbol des Laplace-Operators ist ${\displaystyle -\|\xi \|^{2}}$. Er ist also ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass er ein Fredholm-Operator ist und mittels des Satzes von Atkinson folgt, dass er modulo eines kompakten Operators rechts- und linksinvertierbar ist.

Der Laplace-Operator

${\displaystyle -\Delta \colon {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

auf dem Schwartz-Raum ist wesentlich selbstadjungiert. Er hat daher einen Abschluss

${\displaystyle -\Delta \colon H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

zu einem selbstadjungierten Operator auf dem Sobolev-Raum ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$.^[4] Dieser Operator ist zudem nichtnegativ, sein Spektrum befindet sich also auf der nichtnegativen reellen Achse, das heißt:

${\displaystyle \sigma (-\Delta )\subset \mathbb {R} _{0}^{+}}$

Die Eigenwertgleichung

${\displaystyle -\Delta f=\lambda f}$

des Laplace-Operators wird Helmholtz-Gleichung genannt. Ist ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ein beschränktes Gebiet und ${\displaystyle H_{0}^{2}(\Omega )}$ der Sobolev-Raum mit den Randwerten ${\displaystyle f=0}$ in ${\displaystyle \partial \Omega }$, dann bilden die Eigenfunktionen des Laplace-Operators ${\displaystyle -\Delta \colon H_{0}^{2}(\Omega )\rightarrow L^{2}(\Omega )}$ ein vollständiges Orthonormalsystem von ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ und sein Spektrum besteht aus einem rein diskreten, reellen Punktspektrum, das nur in ${\displaystyle \infty }$ einen Häufungspunkt haben kann. Dies folgt aus dem Spektralsatz für selbstadjungierte elliptische Differentialoperatoren.^[5]

Anschaulich gibt ${\displaystyle \Delta f(p)}$ für eine Funktion ${\displaystyle f}$ an einem Punkt ${\displaystyle p}$ an, wie sich der Mittelwert von ${\displaystyle f}$ über konzentrische Kugelschalen um ${\displaystyle p}$ mit wachsendem Kugelradius gegenüber ${\displaystyle f(p)}$ verändert.

Poisson- und Laplace-Gleichung

Definition

Der Laplace-Operator tritt in einer Reihe wichtiger Differentialgleichungen auf. Die homogene Differentialgleichung

${\displaystyle \Delta \varphi =0}$

wird Laplace-Gleichung genannt und zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen. Die entsprechende inhomogene Gleichung

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

heißt Poisson-Gleichung.

Fundamentallösung

Die Fundamentallösung ${\displaystyle G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })}$ des Laplace-Operators erfüllt die Poisson-Gleichung

${\displaystyle \Delta \,G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=\delta ({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\,\prime })}$

mit der Delta-Distribution ${\displaystyle \delta }$ auf der rechten Seite. Diese Funktion ist von der Anzahl der Raumdimensionen abhängig.

Im Dreidimensionalen lautet sie:

${\displaystyle G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=-{\frac {1}{4\pi \|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\,\prime }\|}}+F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })}$ mit ${\displaystyle \Delta \,F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=0}$

Diese Fundamentallösung wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Im Zweidimensionalen lautet sie:

${\displaystyle G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })={\frac {\ln(\|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\,\prime }\|)}{2\pi }}+F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })}$ mit ${\displaystyle \Delta \,F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=0}$

Verallgemeinerungen

D’Alembert-Operator

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den D’Alembert-Operator:

${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta }$

Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators ${\displaystyle \Delta }$ auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

Verallgemeinerter Laplace-Operator

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und riemannsche beziehungsweise pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator wird als verallgemeinerter Laplace-Operator bezeichnet.

Diskreter Laplace-Operator

Auf eine diskrete Eingangsfunktion g_n bzw. g_nm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter ${\displaystyle \quad {\vec {D}}_{x}^{2}\;={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}}$

2D-Filter: ${\displaystyle \quad \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}$

Für zwei Dimensionen gibt es noch alternative Varianten, die zusätzlich auch diagonale Kanten berücksichtigen, beispielsweise:

2D-Filter: ${\displaystyle \quad \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}}$

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten. Dabei entspricht der Laplace-Operator einer gewichteten Summe über den Wert an benachbarten Punkten. Die Kantendetektion in der Bildverarbeitung (siehe Laplace-Filter) ist ein mögliches Anwendungsgebiet diskreter Laplace-Operatoren. Dort taucht eine Kante als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auch bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen oder in der Graphentheorie werden diskrete Laplace-Operatoren genutzt.

Siehe auch

• Biharmonische Gleichung
• Fraktionaler Laplace-Operator

Anwendungen

• Airysche Spannungsfunktion
• Navier-Cauchy-Gleichungen
• Potentialströmung

Literatur

• Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
• Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, 1999, 4. Auflage, ISBN 3-8171-2004-4.
• Russell Merris: Laplacian matrices of graphs: a survey. In: Linear Algebra and its Applications. 197–198, 143–176 (1994). ISSN 0024-3795

Weblinks

• Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten. Auf: matheplanet.com.

Einzelnachweise

1. ↑ Eric W. Weisstein: Vector Laplacian. In: MathWorld (englisch).
2. ↑ M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6, S. 378. 
3. ↑ Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-47231-6, S. 61.
4. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 349.
5. ↑ Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2, S. 334–335.