Vaughans Identität

Vaughans Identität ist eine Formel aus der analytischen Zahlentheorie für die Mangoldt-Funktion ${\displaystyle \Lambda (n)}$. Die Identität wurde 1977 von Robert Charles Vaughan veröffentlicht.^[1]

Es existieren leicht verschiedene Formen der Identität, die aber allesamt gleichwertig sind. 1982 erschien eine Verallgemeinerung von Roger Heath-Brown.^[2]

Einführung

In vielen Problemstellungen der Zahlentheorie muss man Summen der Form

${\displaystyle \sum \limits _{n}\Lambda (n)f(n)}$

abschätzen, wobei ${\displaystyle \Lambda (n)}$ die Mangoldt-Funktion ist und ${\displaystyle f(n)}$ oft eine zahlentheoretische Funktion. Es gibt hierfür drei klassische Methoden^[2]

1. Winogradows Methode.^[3]
2. Null-Dichte-Methoden für Dirichletsche L-Funktionen ${\displaystyle L(s,\chi )}$ (englisch zero density methods).^[4]
3. Vaughans Identität.

Winogradows Methode: Winogradow studierte trigonometrische Summen

${\displaystyle \sum \limits _{p\leq n,\;p{\text{ prime}}}e(\alpha p),\quad {\text{wobei }}e(x):=\exp(2\pi ix)}$

und fand dabei eine Methode diese abzuschätzen. Er bewies damit seinen Satz von Winogradow. Seine Methode lässt sich auch auf summatorische Funktionen mit der Mangoldt-Funktion übertragen, jedoch ist sie nicht-trivial und schwieriger als die anderen beiden Methoden.

Null-Dichte-Methoden: Die zweite Methode behandelt Schranken für die Null-Dichte, dies sind obere Schranken für die Funktion ${\displaystyle N(\sigma ,T,\chi )}$, welche die Anzahl der Nullstellen ${\displaystyle s=\beta +i\gamma }$ der Funktion ${\displaystyle L(s,\chi )}$ in der Region ${\displaystyle \sigma \leq \beta \leq 1,|\gamma |\leq T}$ zählt. Solche Schranken wiederum können aus den Ungleichungen des großen Siebs hergeleitet werden.

Vaughans Identität

Seien ${\displaystyle U,V\geq 1}$ zwei positive Schranken und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, dann lässt sich die Mangoldt-Funktion in vier Funktionen aufteilen^[5][6]

${\displaystyle \Lambda (n)=\lambda _{1}(n)+\lambda _{2}(n)+\lambda _{3}(n)+\lambda _{4}(n)}$

wobei

${\displaystyle \lambda _{1}(n)=\Lambda (n)1_{\{n\leq U\}}(n)}$

und

${\displaystyle \lambda _{2}(n)=-\sum \limits _{\stackrel {mdr=n}{m\leq U,d\leq V}}\Lambda (m)\mu (d),\quad \lambda _{3}(n)=\sum \limits _{\stackrel {hd=n}{d\leq V}}\mu (d)\log(h),\quad \lambda _{4}(n)=-\sum \limits _{\stackrel {mk=n}{m>U,k>1}}\Lambda (m)\sum \limits _{\stackrel {d\mid k}{d\leq V}}\mu (d).}$

${\displaystyle \mu (d)}$ bezeichnet die Möbius-Funktion, welche für natürliche Zahlen definiert ist.

Erläuterungen

Man unterscheidet zwei Fälle, für den ersten Fall ${\displaystyle n\leq U}$ ist nur ${\displaystyle \lambda _{1}}$ relevant

${\displaystyle 1_{\{n\leq U\}}(n)\Lambda (n)=\lambda _{1}(n).}$

Man kann zeigen, dass in diesem Fall ${\displaystyle \lambda _{2}(n)+\lambda _{3}(n)=0}$ und offensichtlich auch ${\displaystyle \lambda _{4}(n)=0}$.

Im zweiten Fall ${\displaystyle n>U}$ sind hingegen nur die drei Summen relevant

${\displaystyle 1_{\{n>U\}}(n)\Lambda (n)=\lambda _{2}(n)+\lambda _{3}(n)+\lambda _{4}(n).}$

Herleitung

Wir führen folgende Hilfsfunktionen ein^[7]

${\displaystyle F(s):=\sum \limits _{n\leq U}\Lambda (n)n^{-s},\quad G(s):=\sum \limits _{d\leq V}\mu (n)n^{-s}.}$

Die Dirichletreihe mit der Mangoldt-Funktion lässt sich mit der logarithmischen Ableitung des Euler-Produkts als Zeta-Funktion schreiben

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}.}$

Die rechte Seite formt man nun mit Hilfe von ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ etwas um (durch ausmultiplizieren sieht man, dass beide Seiten äquivalent sind)

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}&=F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-\zeta '(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1-\zeta (s)G(s))\\&=D_{1}(s)-D_{2}(s)-D_{3}(s)+D_{4}(s).\end{aligned}}}$

Jedes der ${\displaystyle D_{j}(s)}$ kann als Dirichlet-Reihe dargestellt werden und somit

${\displaystyle \Lambda (n)n^{-s}=\left(\lambda _{1}(n)+\lambda _{2}(n)+\lambda _{3}(n)+\lambda _{4}(n)\right)n^{-s},}$

wobei ${\displaystyle \lambda _{j}(n)}$ der Koeffizient von ${\displaystyle n^{-s}}$ in ${\displaystyle D_{j}(n)}$ ist.

Als nächstes schreiben wir die Mangoldt-Funktion um

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{r\mid n}\mu \left(r\right)\log \left({\frac {n}{r}}\right)=\sum _{hd=n}\mu \left(h\right)\log(d),}$

wobei sich die rechte Seite daraus erklärt, dass wir über alle Kombinationen der Form ${\displaystyle hd=n}$ summieren (da ${\displaystyle h,d\in \mathbb {N} }$ summiert man über alle Teiler) und ${\displaystyle {\tfrac {n}{h}}=d}$. Teilen wir diese Summe in ${\displaystyle h\leq V}$ und ${\displaystyle h>V}$ auf, so ist ersteres ${\displaystyle \lambda _{3}(n)}$. Die Summe mit ${\displaystyle h>V}$ schreiben wir um, indem wir den Logarithmus als summatorische Mangoldt-Funktion darstellen, und dann bringen wir sie durch ein kombinatorisches Argument auf die Menge ${\displaystyle h\leq V}$ mit einem Vorzeichenwechsel

${\displaystyle \sum _{\stackrel {hd=n}{h>V}}\mu \left(h\right)\log(d)=\sum \limits _{\stackrel {hd=n}{h>V}}\mu (h)\sum \limits _{r\mid d}\Lambda (r)=-\sum \limits _{m\mid n}\Lambda (m)\sum \limits _{\stackrel {d\mid {\tfrac {n}{m}}}{d\leq V}}\mu (d).}$

Die rechte Seite lässt sich dann nochmals umschreiben und in ${\displaystyle m\geq U}$ und ${\displaystyle m<U}$ aufteilen, dann erhält man ${\displaystyle \lambda _{2}}$ und ${\displaystyle \lambda _{4}}$.

Heath-Browns Identität

Definiere für ${\displaystyle V\geq 1}$ die Hilfsfunktion

${\displaystyle M(s)=\sum \limits _{n\leq V}\mu (n)n^{-s}.}$

Für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ gilt^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}\zeta '(s)=\left(\sum \limits _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}{\binom {k}{j}}\zeta (s)^{j-1}M(s)^{j}+{\frac {1}{\zeta (s)}}(1-\zeta (s)M(s))^{k}\right)\zeta '(s).}$

Einzelnachweise

1. ↑ Robert C. Vaughan: Sommes trigonométriques sur les nombres premiers. In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A. Band 285, Nr. 16, 1977, S. 981–983 (französisch). 
2. ↑ ^{a b} D. R. Heath-Brown: Prime Numbers in Short Intervals and a Generalized Vaughan Identity. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 34, Nr. 6, 1982, S. 1365–1377, doi:10.4153/CJM-1982-095-9. 
3. ↑ Iwan Matwejewitsch Winogradow: The Method Of Trigonometric Sums In The Theory Of Numbers. 1954, Kap. 9 (archive.org). 
4. ↑ Hugh L. Montgomery: Topics in multiplicative number theory. Hrsg.: Springer. Berlin 1971 (Kapitel 15 und 16). 
5. ↑ Alisa Sedunova: Points on algebraic curves over function fields, primes in arithmetic progressions : beyond Bombieri-Pila and Bombieri-Vinogradov theorems. Hrsg.: Universität Paris-Saclay. 2017, S. 56 (archives-ouvertes.fr – Doktorarbeit). 
6. ↑ Glyn Harman: Prime-Detecting Sieves. In: London Mathematical Society Monographs. Band 1, S. 25. 
7. ↑ Robert C. Vaughan: The Bombieri-Vinogradov Theorem. S. 19 (Lectures Notes). 
8. ↑ D. R. Heath-Brown: Prime Numbers in Short Intervals and a Generalized Vaughan Identity. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 34, Nr. 6, 1982, S. 1367, doi:10.4153/CJM-1982-095-9.