Ungleichung von Ljapunow

Die Ungleichung von Ljapunow ist eine elementare stochastische Ungleichung, welche auf den russischen Mathematiker Alexander Michailowitsch Ljapunow zurückgeht. Sie stellt eine Isotonieeigenschaft der absoluten Momente reeller Zufallsvariablen dar und lässt sich unter Anwendung der jensenschen Ungleichung für Erwartungswerte ableiten.

Formulierung der Ungleichung

In Anschluss an die Darstellung von A. N. Širjaev bzw. Marek Fisz lässt sich die ljapunowsche Ungleichung zusammengefasst angeben wie folgt:^[1][2]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$ und eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$   .

Dann gilt für je zwei reelle Zahlen   ${\displaystyle s}$   und   ${\displaystyle t}$   mit   ${\displaystyle 0<s\leq t}$   stets die Ungleichung

${\displaystyle {\operatorname {E} {{\bigl (}|X|^{s}{\bigr )}}}^{\frac {1}{s}}\;\leq \;{\operatorname {E} {{\bigl (}|X|^{t}{\bigr )}}}^{\frac {1}{t}}}$  .

Insbesondere hat man stets die Ungleichungskette

${\displaystyle \operatorname {E} {{\bigl (}|X|{\bigr )}}\;\leq \;{\operatorname {E} {{\bigl (}|X|^{2}{\bigr )}}}^{\frac {1}{2}}\;\leq \;{\operatorname {E} {{\bigl (}|X|^{3}{\bigr )}}}^{\frac {1}{3}}\;\leq \;\cdots \;\leq \;{\operatorname {E} {{\bigl (}|X|^{n}{\bigr )}}}^{\frac {1}{n}}\;(n\in \mathbb {N} )}$  .

Andere Darstellung

Für die ljapunowsche Ungleichung gibt es auch die folgende allgemeinere Darstellung:^[3]

Für eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ eines Wahrscheinlichkeitsraums ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$  .

und für nichtnegative reelle Zahlen   ${\displaystyle a\;,\;b\;,\;c}$   mit   ${\displaystyle a\geq b\geq c}$   gilt stets die Ungleichung

${\displaystyle {\operatorname {E} {{\bigl (}|X|^{b}{\bigr )}}}^{(a-c)}\;\leq \;{\operatorname {E} {{\bigl (}|X|^{c}{\bigr )}}}^{(a-b)}\;\cdot \;{\operatorname {E} {{\bigl (}|X|^{a}{\bigr )}}}^{(b-c)}}$  .

Zu dieser Darstellung existieren auch noch andere äquivalente Versionen.^[4][5]

Literatur

• Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 40). 8. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976. 
• A. M. Liapounoff: Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilité. In: Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de Saint Pétersbourg. Band 12, Nr. 5, 1901. 
• Harald Cramér: Mathematical Methods of Statistics (= Princeton Mathematical Series). 11. Auflage. Princeton University Press, Princeton 1966. 
• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin / New York 2002, ISBN 3-11-017236-4 (MR1902050). 
• M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90210-4 (MR0651017). 
• A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9 (MR0967761). 
• A. M. Liapounoff: Sur une proposition de la théorie des probabilités. In: Bulletin de l’Académie Impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg. Band 13, 1900, S. 359. 
• R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York (u. a.) 1979, ISBN 0-471-03262-X (MR0534143). 
• J. V. Uspensky: Introduction to Mathematical Probability. MacGraw-Hill Book Company, New York / London 1937. 

Einzelnachweise

1. ↑ A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 204
2. ↑ Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 100–101
3. ↑ J. V. Uspensky: Introduction to Mathematical Probability. 1937, S. 265
4. ↑ M. Loève: Probability Theory I. 1977, S. 174
5. ↑ Harald Cramér: Mathematical Methods of Statistics. 1966, S. 255