Ungleichung von Beppo Levi

Die Ungleichung von Beppo Levi ist ein Resultat der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Ungleichung geht auf den italienischen Mathematiker Beppo Levi (1875–1961) zurück und ist eng mit dem berühmten Projektionssatz verknüpft.^[1]

Formulierung

Gegeben sei ein Prä-Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, versehen mit der aus dem zugrundeliegenden Skalarprodukt herrührenden Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$. Weiter seien ein Untervektorraum ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {H}}}$ und drei Vektoren ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}$ sowie ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in {\mathcal {M}}}$ gegeben. Ist nun

${\displaystyle d=\inf _{y\in {\mathcal {M}}}\|x-y\|}$

der Abstand von ${\displaystyle x}$ zu ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, so gilt:

${\displaystyle \|y_{1}-y_{2}\|\leq {\sqrt {{\|x-y_{1}\|}^{2}-d^{2}}}+{\sqrt {{\|x-y_{2}\|}^{2}-d^{2}}}}$.

Anmerkungen

• Der Beweis der Ungleichung beruht auf ähnlichen Schlüssen wie die des Beweises der Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung.
• Die Ungleichung gilt insbesondere für jeden Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Sie liefert im Beweis des Projektionssatzes das entscheidende Argument, wonach für einen Unterhilbertraum der zugehörige Projektionsoperator stets existiert.^[2]
• Im Falle ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {H}}}$ ist ${\displaystyle d=0}$ und man erhält die Dreiecksungleichung.

Literatur

• Mark Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4 (MR1038909). 

Einzelnachweise

1. ↑ Mark Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1990, S. 107 ff.
2. ↑ Neumark, op. cit., S. 108–109.