Unendlich-Kategorie

In der Mathematik ist der Begriff der Unendlich-Kategorie, ${\displaystyle \infty }$-Kategorie oder Quasikategorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Kategorie.

Während man in einer Kategorie Morphismen zwischen Objekten und in einer 2-Kategorie zusätzlich 2-Morphismen zwischen Morphismen hat, gibt es in einer Unendlich-Kategorie ${\displaystyle k}$-Morphismen zwischen ${\displaystyle k-1}$-Morphismen für alle ${\displaystyle k=1,2,\dotsc }$

Definition

Eine Unendlich-Kategorie ist eine simpliziale Menge ${\displaystyle S_{*}}$, die die schwache Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

Für ${\displaystyle 0<i<n}$ kann jede simpliziale Abbildung ${\displaystyle \sigma _{0}\colon \Lambda _{i}^{n}\to S_{*}}$ zu einer simplizialen Abbildung ${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to S_{*}}$ fortgesetzt werden.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ den ${\displaystyle n}$-dimensionalen Standardsimplex und ${\displaystyle \Lambda _{i}^{n}}$ das durch Weglassen von ${\displaystyle \partial _{i}\Delta ^{n}}$ aus ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}}$ entstehende „Horn“.

Beispiele

• Kan-Komplexe sind Unendlich-Kategorien, bei denen die gewünschte Fortsetzung auch für ${\displaystyle i=0}$ und ${\displaystyle i=n}$ stets existiert.^[1]
• Der Nerv einer kleinen Kategorie ist eine Unendlich-Kategorie, in der die gewünschte Fortsetzung stets eindeutig ist.^[2] Umgekehrt ist eine Unendlich-Kategorien mit eindeutigen Fortsetzungen isomorph zum Nerven einer kleinen Kategorie.^[3]
• Das Produkt und Koprodukt (als simpliziale Mengen) von Unendlich-Kategorien ist eine Unendlich-Kategorie.

Objekte, Morphismen und Funktoren

Ein Objekt einer Unendlich-Kategorie ist ein 0-Simplex ${\displaystyle x\in S_{0}}$. Ein Morphismus einer Unendlich-Kategorie ist ein 1-Simplex ${\displaystyle f\in S_{1}}$. Seine Ränder ${\displaystyle X=d_{1}f}$ und ${\displaystyle Y=d_{0}f}$ heißen Quelle und Ziel des Morphismus. Man sagt dann, ${\displaystyle f}$ ist ein Morphismus von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$. Für jedes Objekt ${\displaystyle X}$ wird die degenerierte Kante ${\displaystyle s_{0}(X)}$ als Identitätsmorphismus ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ von ${\displaystyle X}$ bezeichnet.

Eine Homotopie zwischen zwei Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ist ein 2-Simplex ${\displaystyle \sigma }$ mit ${\displaystyle d_{0}\sigma =\mathrm {id} _{Y}}$, ${\displaystyle d_{1}\sigma =f}$ und ${\displaystyle d_{2}\sigma =g}$.

Ein Morphismus ${\displaystyle h\colon X\to Z}$ heißt Komposition zweier Morphismen ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ und ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$, wenn es einen 2-Simplex ${\displaystyle \sigma }$ mit ${\displaystyle d_{0}\sigma =g,d_{1}\sigma =h,d_{2}\sigma =f}$ gibt. Die schwache Kan-Eigenschaft garantiert, dass eine Komposition von ${\displaystyle g}$ nach ${\displaystyle f}$ stets existiert, sie ist aber nur bis auf Homotopie eindeutig bestimmt.

Die Homotopie-Kategorie ${\displaystyle h{\mathcal {C}}}$ einer Unendlich-Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ hat als Objekte die Objekte von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und als Morphismen die Homotopieklassen von Morphismen in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Die Homotopieklasse von ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ ist der Identitätsmorphismus von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle h{\mathcal {C}}}$ und die wohldefinierte Komposition von Homotopieklassen definiert die Komposition von Morphismen.

Ein Isomorphismus in der Unendlich-Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist ein Morphismus, dessen Homotopieklasse ein Isomorphismus in ${\displaystyle h{\mathcal {C}}}$ ist.

Ein Funktor von Unendlich-Kategorien ist eine simpliziale Abbildung ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$. Auf der Menge der Funktoren ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ist wieder die Struktur einer Unendlich-Kategorie erklärt. Sie wird mit ${\displaystyle \mathrm {Fun} ({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})}$ bezeichnet.

Weblinks

• Jacob Lurie: Kerodon

Einzelnachweise

1. ↑ Kerodon Tag 002H
2. ↑ Kerodon Tag 002N
3. ↑ Kerodon Tag 0031