Typ-II-Von-Neumann-Algebra

Typ-II-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den zweiten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich weiter in endliche, sogenannte Typ-II1-Algebren und unendliche, sogenannte Typ-II-Algebren unterteilen, wobei letztere im σ-endlichen Fall aus ersteren konstruiert werden können.

Definitionen

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element , das heißt, es gilt . Eine solche Projektion heißt abelsch, falls eine abelsche Von-Neumann-Algebra ist, sie heißt endlich, falls aus und stets folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ II, falls sie außer 0 keine abelschen Projektionen enthält, aber jede von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum von eine von 0 verschiedene endliche Projektion umfasst. Sie heißt vom Typ II1, falls das Einselement als Projektion endlich ist, sie heißt vom Typ II, falls keine von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum endlich ist.[1]

Beispiele

  • Es sei eine diskrete Gruppe. Jedes Element operiert als Linksoperator und als Rechtsoperator auf dem Hilbertraum in dem man und definiert. Es seien und die von bzw. erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind und endlich und gegenseitige Kommutanten.
Ist eine ICC-Gruppe, das heißt, nur das neutrale Element liegt in einer endlichen Konjugationsklasse, so handelt es sich um Typ-II1-Algebren, sogar um sogenannte Faktoren, das heißt, das Zentrum der Algebren besteht nur aus den Vielfachen des Einselementes.[2]
  • Ist eine Typ-II1-Algebra, so ist das Tensorprodukt eine Typ-II-Algebra.
  • Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ-II-Von-Neumann-Algebren führt.

Struktur

Zu jeder Typ-II-Von-Neumann-Algebra gibt es eine Projektion aus dem Zentrum von , so dass

  • ist eine Typ-II1-Algebra.
  • ist eine Typ-II-Algebra.[3]

Zu jeder σ-endlichen Typ-II-Algebra gibt es eine Typ-II1-Algebra mit .[4]

Tensorprodukte von Typ-II-Algebren sind wieder Typ-II-Algebren. Sind die Algebren vom Typ II1 oder Typ II, so ist das Tensorprodukt nur dann vom Typ II1, wenn beide Faktoren es sind, anderenfalls vom Typ II.[5]

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definitionen 6.3.1 und 6.5.1
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.7.2 – 6.7.5
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.5.2
  4. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.7.10
  5. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Tabelle 11.1