Postliminale C*-Algebra

Postliminale C*-Algebren bilden eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C*-Algebren. Alternative Bezeichnungen, die weiter unten motiviert werden, sind GCR-Algebra oder Typ-I-C*-Algebra. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der Klasse der liminalen C*-Algebren.

Definition

Eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt postliminal, wenn für jedes echte, abgeschlossene, zweiseitige Ideal ${\displaystyle I\subset A}$ die Quotientenalgebra ${\displaystyle A/I}$ ein von ${\displaystyle \{0\}}$ verschiedenes liminales Ideal enthält.

Damit ist der Begriff der postliminalen C*-Algebra auf den der liminalen C*-Algebra zurückgeführt und stellt offenbar eine Verallgemeinerung dar. Das wird auch durch die erste der folgenden Charakterisierungen deutlich.

Charakterisierungen

Bilder irreduzibler Darstellungen

Ist ${\displaystyle \pi }$ eine irreduzible Darstellung der C*-Algebra ${\displaystyle A}$ auf dem Hilbertraum ${\displaystyle H}$, so enthält ${\displaystyle A/{\mbox{ker}}(\pi )}$ nach Definition ein von ${\displaystyle \{0\}}$ verschiedenes liminales Ideal. Man kann zeigen, dass durch ${\displaystyle {\tilde {\pi }}(a+{\mbox{ker}}(\pi )):=\pi (a)}$ eine irreduzible Darstellung ${\displaystyle {\tilde {\pi }}}$ dieses Ideals definiert wird. Da ${\displaystyle I}$ liminal ist, fällt das Bild ${\displaystyle {\tilde {\pi }}(I)}$ mit der Algebra ${\displaystyle K(H)}$ der kompakten Operatoren zusammen und daraus folgt ${\displaystyle \pi (A)\supset K(H)}$. Das Bild einer jeden irreduziblen Darstellung umfasst also die kompakten Operatoren und davon gilt sogar die Umkehrung:

• Eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ ist genau dann postliminal, wenn ${\displaystyle \pi (A)\supset K(H)}$ für jede irreduzible Darstellung ${\displaystyle \pi :A\rightarrow L(H)}$ von ${\displaystyle A}$.

Für liminale C*-Algebren hat man eine fast gleich lautende Charakterisierung, die Inklusion ist lediglich durch eine Gleichheit ersetzt (siehe Artikel liminale C*-Algebra). Da man liminale C*-Algebren wegen dieser Beziehung zu den kompakten Operatoren auch CCR-Algebren nennt (CCR=completely continuous representations), heißen postliminale C*-Algebren aus demselben Grunde auch GCR-Algebren (GCR = generalized completely continuous representations).

Kompositionsreihen

Eine Kompositionsreihe einer C*-Algebra ${\displaystyle A}$ ist eine Familie ${\displaystyle (I_{\beta })_{0\leq \beta \leq \alpha }}$ von abgeschlossenen, zweiseitigen Idealen ${\displaystyle I_{\beta }\subset A}$, wobei

1. ${\displaystyle \alpha }$ ist eine Ordinalzahl (${\displaystyle \beta }$ durchläuft also alle Ordinalzahlen bis ${\displaystyle \alpha }$ einschließlich.)
2. ${\displaystyle I_{0}\,=\,\{0\}}$ und ${\displaystyle I_{\alpha }\,=\,A}$.
3. Für ${\displaystyle 0\leq \beta \leq \gamma \leq \alpha }$ gilt ${\displaystyle I_{\beta }\subset I_{\gamma }}$
4. Ist ${\displaystyle \gamma \in [0,\alpha ]}$ eine Limeszahl, so ist ${\displaystyle I_{\gamma }}$ der Abschluss von ${\displaystyle \bigcup _{0\leq \beta <\gamma }I_{\beta }}$.

Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Charakterisierung beweisen:

• Eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ ist genau dann postliminal, wenn es eine Kompositionsreihe ${\displaystyle (I_{\beta })_{0\leq \beta \leq \alpha }}$ von ${\displaystyle A}$ gibt, so dass alle Quotienten ${\displaystyle I_{\beta +1}/I_{\beta }}$ liminal sind.

Im Falle separabler C*-Algebren kann man hier den Begriff der Ordinalzahl umgehen, denn wenn die Ideale der Kompositionsreihe alle verschieden sind (was keine weitere Einschränkung darstellt), so ist ${\displaystyle \alpha }$ maximal ${\displaystyle \omega =\mathbb {N} }$ und man kann die Kompositionsreihe mit natürlichen Zahlen indizieren.

Typ I

Eine Darstellung ${\displaystyle \pi :A\rightarrow L(H)}$ einer C*-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt vom Typ I, falls die vom Bild ${\displaystyle \pi (A)}$ erzeugte Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist, das heißt wenn der Bikommutant ${\displaystyle \pi (A)''\subset L(H)}$ eine Typ I Von-Neumann-Algebra ist.

• Eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ ist genau dann postliminal, wenn jede Darstellung vom Typ I ist.

Daher nennt man postliminale C*-Algebren auch Typ-I-C*-Algebren. Diese Bezeichnung kann aber zur Verwirrung Anlass geben, denn eine Typ I Von-Neumann-Algebra, die ja auch eine C*-Algebra ist, ist im Allgemeinen keine Typ-I-C*-Algebra, wie das Beispiel ${\displaystyle A=L(H)}$ mit unendlich-dimensionalem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ zeigt.

Spektrum

Ist ${\displaystyle [\pi ]}$ eine Äquivalenzklasse irreduzibler Darstellungen von ${\displaystyle A}$, also ein Element des Spektrums ${\displaystyle {\hat {A}}}$, so hängt das Ideal ${\displaystyle {\mbox{ker}}(\pi )}$ nur von der Äquivalenzklasse ${\displaystyle [\pi ]}$ und nicht von der konkreten Darstellung ${\displaystyle \pi }$ ab. Da die Kerne irreduzibler Darstellungen definitionsgemäß die primitiven Ideale sind, ist die Kernbildung, ${\displaystyle [\pi ]\mapsto \ker(\pi )}$, eine Abbildung ${\displaystyle {\hat {A}}\to {\mbox{Prim}}(A)}$ vom Spektrum in den Raum der primitiven Ideale. Diese ist nach Konstruktion surjektiv, im Allgemeinen aber nicht injektiv.

• Ist ${\displaystyle A}$ eine postliminale C*-Algebra, so ist die Kernabbildung ${\displaystyle {\hat {A}}\to {\mbox{Prim}}(A)}$ injektiv. Ist ${\displaystyle A}$ separabel, so gilt hiervon die Umkehrung.

Es ist offen, ob die genannte Umkehrung auch im Falle nicht-separabler C*-Algebren gilt.

Beispiele

• Liminale C*-Algebren sind postliminal.

• Es sei ${\displaystyle T}$ die vom Shiftoperator ${\displaystyle s\in L(\ell ^{2})}$ erzeugte C*-Algebra, die sogenannte Toeplitz-Algebra (nach Otto Toeplitz). Da ${\displaystyle 1-s^{n}s^{*n}}$ die Orthogonalprojektion auf den von den Basisvektoren ${\displaystyle e_{1},\ldots e_{n}\in \ell ^{2}}$ erzeugten Unterraum und damit ein kompakter Operator ist, kann man zeigen, dass ${\displaystyle K(H)\subset T}$. Weiter gilt, dass ${\displaystyle T/K(H)\cong C(S^{1})}$, wobei ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$ die Kreislinie ist, denn ${\displaystyle T/K(H)}$ wird von der Restklasse ${\displaystyle s+K(H)}$ erzeugt, und diese hat die Kreislinie als Spektrum. Man hat sogar eine exakte Sequenz

.

Jedenfalls ist durch ${\displaystyle I_{0}:=\{0\},I_{1}:=K(H),I_{2}:=T}$ eine Kompositionsreihe von ${\displaystyle T}$ gegeben, und die Quotienten ${\displaystyle T/K(H)\cong C(S^{1})}$ und ${\displaystyle K(H)/\{0\}\cong K(H)}$ sind liminal. Daher ist T postliminal, aber nicht liminal, denn ${\displaystyle {\mbox{id}}_{T}:T\rightarrow L(\ell ^{2})}$ ist eine irreduzible Darstellung, die den nicht-kompakten Operator ${\displaystyle s}$ im Bild enthält.

• ${\displaystyle L(\ell ^{2})}$ ist ein Beispiel für eine C*-Algebra, die nicht postliminal ist. Die Calkin-Algebra ist ein weiteres Beispiel einer nicht-postliminalen C*-Algebra.

Eigenschaften

• Eine Unter-C*-Algebra einer postliminalen C*-Algebra ist wieder postliminal.
• Ist ${\displaystyle I\subset A}$ ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der postliminalen C*-Algebra ${\displaystyle A}$, so ist auch ${\displaystyle A/I}$ postliminal.
• Ist ${\displaystyle I\subset A}$ ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der C*-Algebra ${\displaystyle A}$ und sind ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle A/I}$ postliminal, so ist auch ${\displaystyle A}$ postliminal.
• Postliminale C*-Algebren sind nuklear.
• Ist ${\displaystyle A}$ postliminal, so besitzt ${\displaystyle A}$ eine Kompositionsreihe ${\displaystyle (I_{\beta })_{0\leq \beta \leq \alpha }}$, so dass alle Quotienten ${\displaystyle I_{\beta +1}/I_{\beta }}$ C*-Algebren mit stetiger Spur sind. Das verschärft die oben mittels Kompositionsreihen gegebene Charakterisierung.
• Eine postliminale C*-Algebra ${\displaystyle A}$ ist genau dann liminal, wenn jeder Punkt in ${\displaystyle {\hat {A}}\cong {\mbox{Prim}}(A)}$ abgeschlossen bzgl. der Zariski-Topologie ist, das heißt wenn das Spektrum ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ein T₁-Raum ist.

Quellen

• W. Arveson: Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag (1976), ISBN 0-387-90176-0.
• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969