Postliminale C*-Algebra

Postliminale C*-Algebren bilden eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C*-Algebren. Alternative Bezeichnungen, die weiter unten motiviert werden, sind GCR-Algebra oder Typ-I-C*-Algebra. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der Klasse der liminalen C*-Algebren.

Definition

Eine C*-Algebra heißt postliminal, wenn für jedes echte, abgeschlossene, zweiseitige Ideal die Quotientenalgebra ein von verschiedenes liminales Ideal enthält.

Damit ist der Begriff der postliminalen C*-Algebra auf den der liminalen C*-Algebra zurückgeführt und stellt offenbar eine Verallgemeinerung dar. Das wird auch durch die erste der folgenden Charakterisierungen deutlich.

Charakterisierungen

Bilder irreduzibler Darstellungen

Ist eine irreduzible Darstellung der C*-Algebra auf dem Hilbertraum , so enthält nach Definition ein von verschiedenes liminales Ideal. Man kann zeigen, dass durch eine irreduzible Darstellung dieses Ideals definiert wird. Da liminal ist, fällt das Bild mit der Algebra der kompakten Operatoren zusammen und daraus folgt . Das Bild einer jeden irreduziblen Darstellung umfasst also die kompakten Operatoren und davon gilt sogar die Umkehrung:

  • Eine C*-Algebra ist genau dann postliminal, wenn für jede irreduzible Darstellung von .

Für liminale C*-Algebren hat man eine fast gleich lautende Charakterisierung, die Inklusion ist lediglich durch eine Gleichheit ersetzt (siehe Artikel liminale C*-Algebra). Da man liminale C*-Algebren wegen dieser Beziehung zu den kompakten Operatoren auch CCR-Algebren nennt (CCR=completely continuous representations), heißen postliminale C*-Algebren aus demselben Grunde auch GCR-Algebren (GCR = generalized completely continuous representations).

Kompositionsreihen

Eine Kompositionsreihe einer C*-Algebra ist eine Familie von abgeschlossenen, zweiseitigen Idealen , wobei

  1. ist eine Ordinalzahl ( durchläuft also alle Ordinalzahlen bis einschließlich.)
  2. und .
  3. Für gilt
  4. Ist eine Limeszahl, so ist der Abschluss von .

Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Charakterisierung beweisen:

  • Eine C*-Algebra ist genau dann postliminal, wenn es eine Kompositionsreihe von gibt, so dass alle Quotienten liminal sind.

Im Falle separabler C*-Algebren kann man hier den Begriff der Ordinalzahl umgehen, denn wenn die Ideale der Kompositionsreihe alle verschieden sind (was keine weitere Einschränkung darstellt), so ist maximal und man kann die Kompositionsreihe mit natürlichen Zahlen indizieren.

Typ I

Eine Darstellung einer C*-Algebra heißt vom Typ I, falls die vom Bild erzeugte Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist, das heißt wenn der Bikommutant eine Typ I Von-Neumann-Algebra ist.

  • Eine C*-Algebra ist genau dann postliminal, wenn jede Darstellung vom Typ I ist.

Daher nennt man postliminale C*-Algebren auch Typ-I-C*-Algebren. Diese Bezeichnung kann aber zur Verwirrung Anlass geben, denn eine Typ I Von-Neumann-Algebra, die ja auch eine C*-Algebra ist, ist im Allgemeinen keine Typ-I-C*-Algebra, wie das Beispiel mit unendlich-dimensionalem Hilbertraum zeigt.

Spektrum

Ist eine Äquivalenzklasse irreduzibler Darstellungen von , also ein Element des Spektrums , so hängt das Ideal nur von der Äquivalenzklasse und nicht von der konkreten Darstellung ab. Da die Kerne irreduzibler Darstellungen definitionsgemäß die primitiven Ideale sind, ist die Kernbildung, , eine Abbildung vom Spektrum in den Raum der primitiven Ideale. Diese ist nach Konstruktion surjektiv, im Allgemeinen aber nicht injektiv.

  • Ist eine postliminale C*-Algebra, so ist die Kernabbildung injektiv. Ist separabel, so gilt hiervon die Umkehrung.

Es ist offen, ob die genannte Umkehrung auch im Falle nicht-separabler C*-Algebren gilt.

Beispiele

  • Liminale C*-Algebren sind postliminal.
  • Es sei die vom Shiftoperator erzeugte C*-Algebra, die sogenannte Toeplitz-Algebra (nach Otto Toeplitz). Da die Orthogonalprojektion auf den von den Basisvektoren erzeugten Unterraum und damit ein kompakter Operator ist, kann man zeigen, dass . Weiter gilt, dass , wobei die Kreislinie ist, denn wird von der Restklasse erzeugt, und diese hat die Kreislinie als Spektrum. Man hat sogar eine exakte Sequenz

.

Jedenfalls ist durch eine Kompositionsreihe von gegeben, und die Quotienten und sind liminal. Daher ist T postliminal, aber nicht liminal, denn ist eine irreduzible Darstellung, die den nicht-kompakten Operator im Bild enthält.
  • ist ein Beispiel für eine C*-Algebra, die nicht postliminal ist. Die Calkin-Algebra ist ein weiteres Beispiel einer nicht-postliminalen C*-Algebra.

Eigenschaften

  • Eine Unter-C*-Algebra einer postliminalen C*-Algebra ist wieder postliminal.
  • Ist ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der postliminalen C*-Algebra , so ist auch postliminal.
  • Ist ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der C*-Algebra und sind und postliminal, so ist auch postliminal.
  • Postliminale C*-Algebren sind nuklear.
  • Ist postliminal, so besitzt eine Kompositionsreihe , so dass alle Quotienten C*-Algebren mit stetiger Spur sind. Das verschärft die oben mittels Kompositionsreihen gegebene Charakterisierung.
  • Eine postliminale C*-Algebra ist genau dann liminal, wenn jeder Punkt in abgeschlossen bzgl. der Zariski-Topologie ist, das heißt wenn das Spektrum ein T1-Raum ist.

Quellen

  • W. Arveson: Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag (1976), ISBN 0-387-90176-0.
  • J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969