Tschebyschow-Polynome erster Art T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} U n ( x ) {\displaystyle U_{n}(x)} orthogonaler Polynome , die bedeutende Anwendungen in der Polynominterpolation , in der Filtertechnik und in anderen Gebieten der Mathematik haben. Sie sind benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow , dessen Name in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev, Chebyshev oder Chebychev transkribiert wird.
Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung
( 1 − x 2 ) y ″ − x y ′ + n 2 y = 0 , {\displaystyle \left(1-x^{2}\right)\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0,} und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von
( 1 − x 2 ) y ″ − 3 x y ′ + n ( n + 2 ) y = 0. {\displaystyle \left(1-x^{2}\right)\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0.} Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung .
Tschebyschow-Polynome erster Art Definition Die Funktionen
y g ( x ) = 1 + ∑ p = 1 ∞ ∏ k = 0 p − 1 ( ( 2 k ) 2 − n 2 ) ( 2 p ) ! x 2 p = 1 + ∑ p = 1 ∞ ( − 1 ) p ∏ k = 0 p − 1 ( n 2 − ( 2 k ) 2 ) ( 2 p ) ! x 2 p = 1 − n 2 2 ! x 2 + n 2 ( n 2 − 4 ) 4 ! x 4 − n 2 ( n 2 − 4 ) ( n 2 − 16 ) 6 ! x 6 ± ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}y_{g}(x)&=1+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}=1+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k\right)^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}\\&=1-{n^{2} \over 2!}\,x^{2}+{n^{2}\,\left(n^{2}-4\right) \over 4!}\,x^{4}-{n^{2}\,(n^{2}-4)\,\left(n^{2}-16\right) \over 6!}\,x^{6}\pm \cdots \end{aligned}}} und
y u ( x ) = x + ∑ p = 1 ∞ ∏ k = 0 p − 1 ( ( 2 k + 1 ) 2 − n 2 ) ( 2 p + 1 ) ! x 2 p + 1 = x + ∑ p = 1 ∞ ( − 1 ) p ∏ k = 0 p − 1 ( n 2 − ( 2 k + 1 ) 2 ) ( 2 p + 1 ) ! x 2 p + 1 = x − n 2 − 1 3 ! x 3 + ( n 2 − 1 ) ( n 2 − 9 ) 5 ! x 5 ∓ ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}y_{u}(x)&=x+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k+1\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p+1)!}}x^{2p+1}=x+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k+1\right)^{2}\right)}{\left(2p+1\right)!}}x^{2p+1}\\&=x-{n^{2}-1 \over 3!}\,x^{3}+{\left(n^{2}-1\right)\,\left(n^{2}-9\right) \over 5!}\,x^{5}\mp \cdots \end{aligned}}} bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.
Tschebyschow-Polynome erster Art der Ordnung 0 bis 5. Für ganzzahlige n {\displaystyle n} Reihen nach endlich vielen Gliedern ab, y g ( x ) {\displaystyle y_{g}(x)} y u ( x ) {\displaystyle y_{u}(x)} n {\displaystyle n} T n ( 1 ) = 1 {\displaystyle T_{n}(1)=1} T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)}
T 0 ( x ) = 1 T 1 ( x ) = x T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x T 4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 T 5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x T 6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1 T 7 ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x T 8 ( x ) = 128 x 8 − 256 x 6 + 160 x 4 − 32 x 2 + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\end{aligned}}} Eigenschaften Rekursionsformeln der Tschebyschow-Polynome:
T n + 1 ( x ) = 2 x T n ( x ) − T n − 1 ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x)} und
T m n ( x ) = T m ( T n ( x ) ) . {\displaystyle T_{mn}(x)=T_{m}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )}.} Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen bzw. der Hyperbelfunktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als
T n ( x ) = { cos ( n arccos x ) für x ∈ [ − 1 , 1 ] cosh ( n arcosh ( x ) ) für x > 1 ( − 1 ) n cosh ( n arcosh ( − x ) ) für x < − 1 {\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \left(n\,\arccos x\right)&{\text{für}}\quad x\in [-1,1]\\\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (x)\right)&{\text{für}}\quad x>1\\(-1)^{n}\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (-x)\right)&{\text{für}}\quad x<-1\end{cases}}} oder
T n ( cos θ ) = cos ( n θ ) {\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )} und auch
T n ( x ) = ( x + x 2 − 1 ) n + ( x − x 2 − 1 ) n 2 {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {{\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\bigr )}^{n}}{2}}} [1] Die n {\displaystyle n} T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)}
cos ( 2 j + 1 2 n π ) f u ¨ r j = 0 , … , n − 1. {\displaystyle \cos \left({\tfrac {2j+1}{2n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=0,\ldots ,n-1.} Daraus ergibt sich die faktorisierte Darstellung der Tschebyschow-Polynome
T n ( x ) = 2 n − 1 ( x − cos ( 1 2 n π ) ) ( x − cos ( 3 2 n π ) ) … ( x − cos ( 2 n − 1 2 n π ) ) . {\displaystyle T_{n}(x)=2^{n-1}\left(x-\cos \left({\frac {1}{2n}}\pi \right)\right)\left(x-\cos \left({\frac {3}{2n}}\pi \right)\right)\ldots \left(x-\cos \left({\frac {2n-1}{2n}}\pi \right)\right).} Die n − 1 {\displaystyle n-1} T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)}
cos ( j n π ) f u ¨ r j = 1 , … , n − 1 {\displaystyle \cos \left({\tfrac {j}{n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=1,\ldots ,n-1} und haben abwechselnd die Werte 1 und −1.
Tschebyschow-Polynome T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
⟨ f , g ⟩ = ∫ − 1 1 f ( x ) ⋅ g ( x ) ⋅ 1 1 − x 2 d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x} Man kann sich diese daher auch über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (mit Normierung) herleiten.
Anwendungen In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyscheff-Filtern verwendet. Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden. Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme .
Tschebyschow-Polynome zweiter Art Tschebyschow-Polynome zweiter Art der Ordnung 0 bis 5. Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art U n ( x ) {\displaystyle U_{n}(x)}
U 0 ( x ) = 1 U 1 ( x ) = 2 x U n + 1 ( x ) = 2 x U n ( x ) − U n − 1 ( x ) , {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x),\end{aligned}}} bemerkenswerterweise mit derselben Rekursionsbeziehung wie die T n {\displaystyle T_{n}}
U − 1 ( x ) = 0 {\displaystyle U_{-1}(x)=0} auch für n = 0 {\displaystyle n=0}
Die erzeugende Funktion für U n {\displaystyle U_{n}}
∑ n = 0 ∞ U n ( x ) t n = 1 1 − 2 t x + t 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}} Die ersten acht Polynome dieser Art sind:
U 0 ( x ) = 1 U 1 ( x ) = 2 x U 2 ( x ) = 4 x 2 − 1 U 3 ( x ) = 8 x 3 − 4 x U 4 ( x ) = 16 x 4 − 12 x 2 + 1 U 5 ( x ) = 32 x 5 − 32 x 3 + 6 x U 6 ( x ) = 64 x 6 − 80 x 4 + 24 x 2 − 1 U 7 ( x ) = 128 x 7 − 192 x 5 + 80 x 3 − 8 x {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\end{aligned}}} Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome zweiter Art zunächst nur für θ ∈ R ∖ π Z {\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} }
U n ( cos θ ) = sin ( ( n + 1 ) θ ) sin θ , {\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }},} wegen der stetigen Hebbarkeit an diesen Stellen aber für alle θ ∈ R {\displaystyle \theta \in \mathbb {R} } Dirichlet-Kern D n ( x ) {\displaystyle D_{n}(x)}
D n ( x ) = sin ( ( 2 n + 1 ) x 2 ) sin x 2 = U 2 n ( cos x 2 ) . {\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).} Nimmt man Hyperbelfunktionen mit hinzu, dann ist für x ∈ R ∖ { − 1 , 1 } {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{-1,1\}}
U n ( x ) = { sin ( ( n + 1 ) arccos x ) / 1 − x 2 für | x | < 1 sinh ( ( n + 1 ) arcosh x ) / x 2 − 1 für | x | > 1 {\displaystyle U_{n}(x)={\begin{cases}\sin \left((n+1)\,\arccos x\right)/{\sqrt {1-x^{2}}}&{\text{für}}\quad |x|<1\\\sinh \left((n+1)\,\operatorname {arcosh} \,x\right)/{\sqrt {x^{2}-1}}&{\text{für}}\quad |x|>1\end{cases}}} Tschebyschow-Polynome U n ( x ) {\displaystyle U_{n}(x)} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
⟨ f , g ⟩ = ∫ − 1 1 f ( x ) ⋅ g ( x ) ⋅ 1 − x 2 d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x} Historie Erstmals veröffentlichte Tschebyschow seine Untersuchungen zu den Tschebyschow-Polynomen 1859 und 1881[2]
Sur les questions de minima qui se rattachent a la représentation approximative des fonctions. Oeuvres Band I, 1859, S. 273–378.Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable. Oeuvres Band II, 1881, S. 335–356.Clenshaw-Algorithmus → Hauptartikel : Clenshaw-Algorithmus
In der numerischen Mathematik werden Linearkombinationen von Tschebyschow-Polynomen mit dem Clenshaw-Algorithmus ausgewertet.
Literatur Il'ja N, Bronstein, Konstantin A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik ISBN 3-8171-2005-2 . Weblinks Einzelnachweise ↑ Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle. http://vorlage_digitalisat.test/1%3D%7B%7B%7B1%7D%7D%7D~GB%3D~IA%3Dleonssurlappro00lavauoft~MDZ%3D%0A~SZ%3D~doppelseitig%3D~LT%3D%27%27Le%C3%A7ons%20sur%20l%27approximation%20des%20fonctions%20d%27une%20variable%20r%C3%A9elle.%27%27~PUR%3D ↑ Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2 , S. 225. ).svg)
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