Zykloide

Ein Fixpunkt auf einem rollenden Kreis zeichnet eine Zykloide

Eine Zykloide (v. lat. cyclus bzw. altgriechisch κύκλος kýklos = Kreis und ειδής -eidés = ähnlich), auch zyklische Kurve, Rad(lauf)- oder Rollkurve, ist die Bahn, die ein Punkt auf dem Umfang eines Kreises beschreibt, wenn dieser Kreis auf einer Leitkurve, zum Beispiel einer Geraden, abrollt. Eine Trochoide entsteht, wenn auch die Leitkurve ein Kreis ist (Rastkreis), wobei der betrachtete Punkt dabei außerhalb oder innerhalb des abrollenden Kreises (Gangkreis) liegt. Die Verwendung von Zykloiden und Trochoiden beim Zeichnen von Ornamenten fand durch das Spielzeug Spirograph weite Verbreitung.

Geschichtliches

Wer zuerst die Zykloide entdeckt bzw. näher untersucht hat, ist uns trotz ihrer einfachen Entstehungsweise – Betrachtung eines markierten Punktes auf einem bewegten Wagenrad – nicht überliefert. Nichts also hindert uns, anzunehmen, daß die Alten die Cykloide gekannt haben.[1] Der anscheinend so einfache Verlauf der Linie lässt sich aber nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruktiv darstellen.

Die erste Veröffentlichung zu Zykloiden erfolgte 1570 durch Gerolamo Cardano, der dabei unter anderem die cardanischen Kreise beschreibt.[2] Galileo Galilei unternahm 1598 weitere geometrische Untersuchungen von Zykloiden.

Das 17. Jahrhundert, das als „Goldenes Zeitalter der Analysis“ gilt, war auch für die Untersuchung der Zykloide relevant. So beschäftigten sich die besten Mathematiker und Naturwissenschaftler mit dieser besonders ästhetischen Kurve.

Die erste Flächen- und Längenberechnung an einer Zykloide gelang 1629 dem Italiener Bonaventura Cavalieri. Weitere Forschungsanstöße lieferte im gleichen Jahr der Franzose Marin Mersenne.

Weitere Fortschritte durch Quadraturen schafften 1634 Gilles Personne de Roberval und 1635 René Descartes und Pierre de Fermat. Roberval gelang 1638 eine Tangentenkonstruktion, 1641 gelang dies auch Evangelista Torricelli. Torricelli entwickelte bis 1643 eine Quadratur in Beziehung zur Schraubenlinie. Der Engländer Christopher Wren zeigte 1658, dass die Länge einer Zykloide gleich dem Vierfachen des Durchmessers des generierenden Kreises ist.

Auf ein Preisausschreiben Newtons aus dem Jahr 1658 hin schaffte Blaise Pascal die Rektifikation, die Quadratur, die Schwerpunktbestimmung und die Kubaturen. Eine Quadratur über eine unendliche Reihe erfolgte 1664 durch Isaac Newton. Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelte 1673 die Quadratur über die Quadratrix. Der Niederländer Christiaan Huygens schaffte 1673 die Evolutenbestimmung und Tautochronie.

Durch Leibniz wurde 1686 die Integraldarstellung fertiggestellt. Die letzte wichtige Erkenntnis war 1697 die Brachistochroneneigenschaft durch Johann I Bernoulli.

Mathematische Darstellung der Zykloiden

Eine Zykloide kann als analytische Gleichung und in Parameterdarstellung dargestellt werden. Die Parameterdarstellung lautet

wobei den Radius des Kreises und den Parameter („Wälzwinkel“) bezeichnet. Aus dieser lässt sich der Parameter eliminieren. Die analytische Gleichung lautet

beschreibt aber nur den Teil der Zykloide mit .

Beliebige Zykloiden lassen sich durch folgende Parameterdarstellung berechnen:

wobei den Abstand des erzeugenden Punktes vom Mittelpunkt angibt. Zykloiden mit werden verkürzt, Zykloiden mit werden verlängert genannt. Diese beliebigen Zykloide lassen sich jedoch nicht mehr alle in einer analytischen Form darstellen.

Eigenschaften der Zykloide

Eine gewöhnliche Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt. Anschaulich gesprochen bewegt sich ein Punkt auf einem Reifen eines fahrenden Fahrrades (näherungsweise das Ventil) auf einer gewöhnlichen Zykloide. Die Katakaustik, die Evolute und die Evolvente der Zykloide sind selbst wieder Zykloiden. Die Mittelpunkte der Krümmungskreise einer Zykloiden liegen vollständig auf ihrer Evolute.

Eine verkürzte Zykloide entsteht, wenn die Bahn eines Punktes im Inneren des Kreises betrachtet wird, anschaulich etwa der Seitenstrahler beim Fahrrad. Eine verlängerte Zykloide setzt dagegen voraus, dass ein Punkt außerhalb des abrollenden Kreises sich mit dem Kreis mitbewegt. Diese beiden Kurven heißen auch Trochoiden (altgriechisch τροχός trochos »Rad«).

Beispiele
  • Gewöhnliche Zykloiden werden von Punkten auf der Lauffläche eines Autoreifens oder sonstiger Laufräder (Eisenbahn, Seilbahn) und von den Punkten längs der Lauffläche rollender Murmeln beschrieben.
  • Verkürzte Zykloiden werden von Punkten mit einem Radius kleiner dem der Lauffläche beschrieben, etwa Punkte von Fahrradspeichen oder die Ansatzpunkte von Pleuelstangen bei einer Dampflokomotive.
  • Verlängerte Zykloiden werden von Punkten mit einem Radius größer dem der Lauffläche beschrieben; im Fall von Eisenbahnen wären das alle Punkte des Spurkranzes.

Die Form einer gewöhnlichen Zykloide gleicht einer Aneinanderreihung weiterer Bögen, die verlängerte Zykloide weist an den Spitzen zwischen den Bögen noch Schleifen auf, während bei den verkürzten Zykloiden die Spitzen abgerundet sind.

Eine Brachistochrone beziehungsweise Tautochrone entsteht durch Spiegelung einer Zykloide an der x-Achse.

Länge

Die Länge der gewöhnliche Zykloide mit der Parameterdarstellung im Intervall kann mit dem Integral berechnet werden. Mit den Ableitungen und ergibt sich

Die Tautochronie der Zykloide

Tautochronie der Zykloide

Vorausgesetzt, dass Luftwiderstand und Reibung zu vernachlässigen sind, gelangt ein frei beweglicher Massenpunkt von jedem Startpunkt auf einer umgedrehten Zykloide stets in derselben Zeit an den tiefsten Punkt.[3] Diese Eigenschaft wird auch Tautochronie genannt (Linie gleicher Fallzeit; altgriechisch ταὐτό tauto dasselbe, χρόνος chronos Zeit).

Zykloidenpendel

Im 17. Jahrhundert zeigte Christiaan Huygens, dass beim Zykloidenpendel – ein Fadenpendel, bei dem sich der Faden an einer (passenden) Zykloide abrollt – die Schwingungsdauer unabhängig von der Auslenkung ist.[4][5]

Epizykloide, Perizykloide und Hypozykloide

Rollt der Kreis außen auf einem anderen Kreis ab, entstehen Epizykloiden (altgriechisch ἐπίκυκλος epíkyklos, „Nebenkreis“). Ihr Radius ist gleich der Summe des Radius des Leitkreises und des Durchmessers des bewegten Kreises. Historisch versuchte man die beobachteten Planeten-Bahnen mit teilweise eigentümlich anmutenden Schleifen durch die Epizykeltheorie zu erklären. Rollt ein Kreis um einen feststehenden kleineren Kreis ab, entstehen Perizykloiden. Getriebetechnisch lässt sich das erzeugende Getriebe einer Perizykloide durch das Abrollen eines Hohlrades um ein stillstehendes kleineres Rad verwirklichen.

Zwei Hypotrochoiden
Zwei Hypotrochoiden (Animation)

In der Mathematik werden beide Kurven häufig als Epizykloide bezeichnet, da sich die entstandene Kurve entweder durch das Abrollen eines Kreises auf einem anderen Kreis und auch durch das Abrollen eines Kreises um einen Kreis erzeugen lässt. Diese Erkenntnis wird zweifache Erzeugung von Zykloiden genannt.

Ellipse als spezielle Hypotrochoide bei q=2 (Animation)

Rollt der Kreis dagegen innen in dem anderen Kreis ab, entstehen Hypozykloiden. Auch jede Hypozykloide kann analog zu Epizykloiden aufgrund der zweifachen Erzeugung von einem zweiten „Räderpaar“ erzeugt werden. Bei Hypozykloiden ist auch das zweite erzeugende „Räderpaar“ eine Hypozykloide: Bei einem der beiden „Räderpaare“ ist der Durchmesser des umlaufenden Innenrades kleiner gleich, bei dem anderen größer gleich dem Radius des feststehenden „Hohlrades“.

Doppelte Erzeugung von Hypotrochoiden mit dem Übersetzungsverhältnis i=3/1 bzw. i=3/2
Doppelte Erzeugung von Hypotrochoiden mit q=3/1 bzw. q=3/2

Sowohl Epizykloiden als auch Hypozykloiden sind genau dann geschlossene Kurven, wenn das Längenverhältnis = der Radien rational ist und sich durch Kürzen als gekürzter Bruch aus den zwei ganzen Zahlen und schreiben lässt. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das: und . Dabei bezeichnet den größten gemeinsamen Teiler von und . ist in diesem Bruch der Radius der Rastpolbahn, also des rastenden und somit stehenden „Rades“, und ist der Radius der Gangpolbahn, nämlich des gehenden, also des umlaufenden „Rades“. Bei der technischen Umsetzung in Form von Zahnrädern ist die Anzahl der „Zähne“ maßgeblich, sodass sich stets geschlossene Kurven ergeben.

Anzahl der Spitzen

Die Anzahl der Spitzen der Epizykloiden während einer Periode ist identisch mit der ganzen Zahl .

Für ganzzahlige Längenverhältnisse ergeben sich spezielle Epizykloiden oder Hypozykloiden:

  • Für ergibt sich die sogenannte Herzkurve (Kardioide), eine Epizykloide.
  • Für (Cardanische Kreise) ergibt sich eine geradlinige Hypozykloide, deren sämtliche Punkte auf einem Durchmesser liegen.
  • Für ergibt sich eine Deltoide (Hypozykloide mit 3 Spitzen)
  • Für ergibt sich eine Astroide: das Karo, wie man es von Spielkarten kennt.

Anzahl an Umläufen

Die Anzahl an Umläufen des sich bewegenden „Rades“ während einer Periode ist . In den Bildern wird für jeden Teil der Zykloide, der während eines Umlaufs des bewegten „Rades“ entsteht, eine andere Farbe verwendet.

Die Anzahl der Schnittpunkte s0 von Epizykloiden ist gleich [6].

  • Diese Gleichung gilt auch für Hypozykloiden mit , also wenn der Durchmesser des umlaufenden Kreises kleiner gleich dem Radius des feststehenden Kreises ist.

Für Perizykloiden und für Hypozykloiden mit gilt .

Neben den gewöhnlichen, nämlich den gespitzten Zykloiden gibt es die verlängerten und somit verschlungenen sowie die verkürzten und somit gestreckten Epizykloiden, Perizykloiden und Hypozykloiden, die häufig auch Epitrochoiden, Peritrochoiden und Hypotrochoiden genannt werden.

Gestreckte Epitrochoide, Peritrochoide und Hypotrochoide

Alle gestreckten Epitrochoiden, Peritrochoiden und Hypotrochoiden weisen die gleiche Anzahl an Schnittpunkten auf wie die gespitzten, also .

Die gestreckten Trochoiden lassen sich unterscheiden in Trochoiden mit Wendepunkten und ohne.

Der Krümmungsmittelpunkt von Trochoiden mit Wendepunkten wechselt in jedem Wendepunkt von einer Seite der Kurve auf die andere. Somit weisen diese Trochoiden Links- und Rechtskurven auf. Die Anzahl der Links- wie auch der Rechtskurven ist und damit gleich der Anzahl der Spitzen. Die Anzahl der Wendepunkte ist somit . Punkte, die gestreckte Trochoiden mit Wendepunkten erzeugen, liegen in der Nähe des Randes des umlaufenden „Rades“.

Punkte, die gestreckte Trochoiden ohne Wendepunkte erzeugen, liegen weiter entfernt vom Rand des umlaufenden „Rades“.

Getrennt werden beide Bereiche durch den Sonderfall, dass die gestreckten Trochoiden eine genäherte Gerade durchlaufen. Dies ist der Fall, wenn der erzeugende Punkt auf der Ballschen Kurve liegt und somit folgenden Abstand zum Mittelpunkt des umlaufenden Rades aufweist: . Die Anzahl der genäherten Geraden ist gleich und damit gleich der Anzahl an Spitzen

Verschlungene Epitrochoide, Peritrochoide und Hypotrochoide

Die Anzahl an Schleifen während einer Periode ist identisch mit der Zahl und somit identisch mit der Anzahl an Spitzen der Zykloide.

Verschlungene Trochoiden weisen mindestens Schnittpunkte mehr als die (gespitzte) Zykloide auf. Die genaue Anzahl an Schnittpunkten lässt sich nur ermitteln mit Hilfe von Übergangskurvenpunkten. Ein Übergangskurvenpunkt erzeugt eine Trochoide mit Berührungspunkten. Die Anzahl an Übergangskurvenpunkten und somit an Trochoiden mit Berührungspunkten ist gleich dem Integerwert von . Somit treten keine Berührungspunkte auf, wenn gleich 1 ist.

Leider lassen sich Übergangskurvenpunkte nicht analytisch berechnen. Die Ermittlung mit Hilfe von Näherungsverfahren ist nicht kompliziert, würde aber den Rahmen dieses Artikels sprengen. Daher sollen hier nur die Phänomene zur Erzeugung der Formenvielfalt der verschlungenen Trochoiden erläutert werden. Die Formen und deren Vielfalt ist so faszinierend, dass diese Faszination von einem speziellen Spielzeug genutzt wird, nämlich dem Spirograph. Mit einem Spirograph können manuell verschiedene blumig anmutende verschlungene Hypotrochoiden mit Hilfe eines Zeichenstiftes erzeugt werden. Der Stift wird durch ein Loch eines in einem Hohlrad umlaufen Zahnrades gesteckt und so lange über ein Papier geführt, bis sich eine geschlossene Kurve ergibt.

Dass durch geringe Variation des Abstandes des Loches zum Mittelpunkt des umlaufenden „Rades“ immer wieder anders anmutende Hypotrochoiden entstehen, lässt sich anhand der Sonderfälle erläutern, bei denen Trochoiden mit Berührungspunkten entstehen.

Verschlungene Trochoiden mit der Mindestanzahl an Schnittpunkten werden durch Punkte erzeugt, die in der Nähe des Außenrandes des umlaufenden Rades liegen. Die Anzahl der Schnittpunkte ist gleich der Anzahl an Spitzen plus .

Der Integerwert von ergibt die Anzahl an Trochoiden mit Berührungspunkten. Ist größer null, so wird irgendwann einmal eine verschlungene Trochoide mit Berührungspunkten erzeugt, wenn der erzeugende Punkt vom Kreisumfang weg verschoben wird. Die Trochoide mit Berührungspunkten selbst weist noch eine unveränderte Anzahl an Selbstschnittpunkten auf. Aber wenn der erzeugende Punkt noch weiter weg verschoben wird, entsteht eine Trochoide ohne Berührungspunkt, deren Anzahl an Schnittpunkten sich um erhöht hat. Erzeugt das zugrunde liegende „Räderpaar“ mehr als eine Trochoide mit Berührungspunkten, wiederholt sich das gleiche (mehrmals), wenn der erzeugende Punkt weiter vom Kreisumfang entfernt wird und dadurch wieder zu einer Stelle gelangt, in der eine Trochoide mit Berührungspunkten erzeugt wird.

  • Alle Punkte, die Trochoiden mit Berührungspunkten erzeugen, liegen zwischen dem Außenrand des umlaufenden „Rades“ und einem konzentrischen Kreis durch den Mittelpunkt des stehenden Rades. Wird der erzeugende Punkt weiter weg vom Rand des umlaufenden Rades über den Mittelpunkt des stehenden Rades hinweg verschoben, ändert sich an der Anzahl der Schnittpunkte nichts mehr und es treten auch keine weiteren Sonderfälle auf.

Punkte, die vom Mittelpunkt des umlaufenden „Rades“ weiter entfernt sind als der Abstand der Mittelpunkte beider „Räder“, erzeugenden Trochoiden mit der maximalen Anzahl an Schnittpunkten .

  • Wenn eine gerade Zahl ist, ist die maximale Anzahl an Schnittpunkten
  • In allen anderen Fällen, nämlich wenn eine ungerade Zahl ist, gilt:

Eine Trochoide, die durch den Mittelpunkt des feststehenden „Rades“ verläuft und mehr als einen Schnittpunkt aufweist, stellt immer einen Sonderfall dar:

  • Ist eine gerade Zahl, dann weist diese verschlungene Trochoide mindestens einen Berührungspunkt auf. Gibt es mehrere Berührungspunkte, so liegen Berührungs- und Selbstschnittpunkte übereinander
  • Ist eine ungerade Zahl, dann liegen mehrere Schnittpunkte der verschlungenen Trochoide übereinander.

Spezielle Trochoiden

  • Einen Spezialfall stellen (gespitzte) Hypozykloiden mit dar, bei denen also der Durchmesser des umlaufenden Rades gleich dem Radius des stehenden „Rades“ ist. Diese Zykloide ist eine zweifach durchlaufene Gerade und weist gleichzeitig 2 Spitzen und Berührungspunkte auf. Alle nicht gespitzten Trochoiden sind Ellipsen und das zweite erzeugende Getriebe ist eine Hypotrochoide mit gleichem Übersetzungsverhältnis.
  • Für einer Epitrochoide ergibt sich aus einem speziellen Punkt im Innern des rollenden Kreises die Hüllkurve im Gehäuse des Wankelmotors.

Zykloidenverzahnung in der Getriebetechnik

In der Getriebetechnik ist die Zykloidenverzahnung eine von mehreren Techniken zur Verzahnung von Zahnrädern und Zahnstangen. In Zykloidgetrieben folgt die Kontur der Kurvenscheiben äquidistant einer Zykloide.

Siehe auch

Literatur

  • Joachim Erven, Dietrich Schwägerl: Mathematik für Ingenieure. Walter De Gruyter, 4. Auflage, 2011, ISBN 978-3-486-70796-0, S. 211–215
  • Volker Jäkel: Einteilung einer eben bewegten Ebene in Felder mit qualitativ gleichen Koppelpunktbahnen unter besonderer Berücksichtigung der Übergangskurve, VDI Verlag GmbH, Düsseldorf 2000, ISBN 3-18-332401-6, Kapitel 4

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Gino Loria, übersetzt von Fritz Schütte: Spezielle algebraische und transscendente ebene Kurven. Die Cykloiden. B.G. Teubner, Leipzig 1902, S. 460 (archive.org [PDF]).
  2. Gerolamo Cardano (1501–1576), Opus novum de proportionibus, 1570
  3. Ulrich Mende: Brachistochrone - Ableitung, Eigenschaften und lineare Approximation. Abgerufen am 24. September 2023.
  4. Horologium Oscillatorium. In: Christiaan Huygens (1673). Abgerufen am 24. September 2023.
  5. Das Zykloidenpendel und die Brachistochrone. In: www.physik.uni-konstanz.de. Abgerufen am 24. September 2023.
  6. Volker Jäkel: Einteilung einer eben bewegten Ebene in Felder mit qualitativ gleichen Koppelpunktbahnen unter besonderer Berücksichtigung der Übergangskurve. Kapitel 4 (S. 67 - 109): Die Feldeinteilung von Trochoiden erzeugenden bewegten Ebenen. VDI-Verlag, Düsseldorf 2000, S. 68 und 69 (google.de).

Auf dieser Seite verwendete Medien

Hypocycloid animated.gif
(c) I, NobbiP, CC BY-SA 3.0
Hypocycloid, animated
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=4.0.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio=5/1 and a=4.0 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=150 gamma0=90
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=10.0.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio=5/1 and a=10.05 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=150 gamma0=90
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=1.0.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio=5/1 and a=1.0 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=150 gamma0=90
Ellipse as hypotrochoid.gif
Autor/Urheber: Dino, Lizenz: CC BY-SA 3.0
Ellipse is a special case of the hypotrochoid, with R = 2r
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=3.67.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio=5/1 and a=3.67 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=150 gamma0=90
Hypocycloid Ratio 2 to 1.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypocycloid with ratio 2 to 1
Hypotrochoide with ratio 3-2 and a=1.17.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio 3:2 and a=1.17 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=170 gamma0=-45
Pericykloid Ratio 3 to 4.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Pericykloid Ratio 3:4 created using freeware program dromeg 1.3.2 with attributes Phi=630 and Gamma0=110, stored as postscript file and translated to PNG file using freeware program IrfanView 4.51
Cycloid f.gif
Autor/Urheber: Zorgit, Lizenz: CC BY-SA 3.0
A fixed point of a rolling circle draws a cycloid
Hypozycloid Ratio 5 4.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypocycloid with ratio 5:4. For each rotation of the moving wheel another color is used to represent this part of the hypocycloid
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=2.3.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio=5/1 and a=2.3 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=150 gamma0=90
Hypotrochoide with ratio 3-1 and a=0.7.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoide with ratio 3:1 and a=0.7 created using freeware program dromeg: phi=120 gamma0=90
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=0.15.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio=5/1 and a=0.15 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=150 gamma0=90
Hypozycloid Ratio 5 3.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypocycloid with ratio 5:3. For each rotation of the moving wheel another color is used to represent this part of the hypocycloid
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=0.25.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio=5/1 and a=0.25 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=150 gamma0=90
Hypocycloid Ratio 3 to 1.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypocycloid Ratio 3 to 1
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=3.8.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio=5/1 and a=3.8 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=150 gamma0=90
Hypotrochoide with ratio 3-1 and a=1.0.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio 3:1 and a=1.0 created using freeware program dromeg: phi=120 gamma0=90
Hypotrochoide Ratio 2 to 1 small Elypse.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid Ratio 2/1 small Ellipse
Isochronous cycloidal pendula.gif
Autor/Urheber: Rem088roy, Lizenz: CC BY-SA 4.0
A schematic representation of five cycloidal pendula. All of them are isochronous, meaning they have the same frequency regardless of their amplitudes. Notice the two upper cycloidal arcs which make the bobs describe cycloidal trajectories.
Tautochrone curve.gif
Autor/Urheber:

Claudio Rocchini

rewritten by Geek3, Lizenz: CC BY 2.5

A tautochrone curve is the curve for which the time taken by an object sliding without friction in uniform gravity to its lowest point is independent of its starting point. Here, four points at different positions reach the bottom at the same time.



In the graphic, s represents arc length, t represents time, and the blue arrows represent acceleration along the trajectory. As the points reach the horizontal, the velocity becomes constant, the arc length being linear to time.
Hypotrochoid with ratio 3-2 and a=2.0.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio 3:2 and a=2.0 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=170 gamma0=-45
Hypocycloid Ratio 4 to 1.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypocycloid Ratio 4 to 1
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=0.5.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio=5/1 and a=0.5 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=150 gamma0=90
Epicycloid Ratio 1 to 1.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Epicycloid Ratio 1 to 1
Epizykloide Ratio 3-1.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Epicycloid Ratio 3:1 created using freeware program dromeg 1.3.2 with attributes Phi=-40 and Gamma0=90, stored as postscript file and translated to PNG file using freeware program IrfanView 4.51
Hypocycloid Ratio 5 2.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypocycloid with ratio 5:2. For each rotation of the moving wheel another color is used to represent this part of the hypocycloid
Hypotrochoide Ratio 2 to 1 Elypse.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid Ratio 2/1: big ellipse
Hypotrochoid with ratio 3-2 and a=2.85.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio 3:2 and a=2.85 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with additonal attributes phi=170 gamma0=-45
Zykloiden.svg
Autor/Urheber: Kmhkmh, Lizenz: CC BY 4.0
generation of cycloids
Double Generation of Hypotrochoids.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Double Generation of Hypotrochoids with Ratio 3:1 and 3:2
Hypocycloid Ratio 5 1.gif
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypocycloid with ratio 5:1. For each rotation of the moving wheel another color is used to represent this part of the hypocycloid
Hypotrochoide with ratio 3-1 and a=1.7.png
Autor/Urheber: V.Jäkel, Lizenz: CC BY-SA 4.0
Hypotrochoid with ratio 3:1 and a=1.7 created using freeware program dromeg version 1.3.2 with attributes phi=120 gamma0=90