Triviale Gruppe

Die triviale Gruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe, deren Trägermenge genau ein Element enthält. Die triviale Gruppe ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe als Untergruppe.

Definition

Die triviale Gruppe ${\displaystyle (\{e\},*)}$ ist eine Gruppe, die aus der einelementigen Menge ${\displaystyle \{e\}}$ besteht und versehen ist mit der einzig möglichen Gruppenoperation

${\displaystyle e*e=e}$.

Das Element ${\displaystyle e}$ ist damit das neutrale Element der Gruppe.

Beispiele

Alle trivialen Gruppen sind zueinander isomorph. Beispiele für triviale Gruppen sind:

• die zyklische Gruppe ${\displaystyle C_{1}}$ vom Grad ${\displaystyle 1}$
• die alternierende Gruppe ${\displaystyle A_{2}}$ vom Grad ${\displaystyle 2}$
• die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{1}}$ einer einelementigen Menge

Eigenschaften

• Da die Gruppenoperation ${\displaystyle \ast }$ kommutativ ist, ist die triviale Gruppe eine abelsche Gruppe.
• Die einzige Untergruppe der trivialen Gruppe ist die triviale Gruppe selbst.
• Die triviale Gruppe wird von der leeren Menge erzeugt: ${\displaystyle \{e\}=\langle \emptyset \rangle }$. Hierbei ergibt das leere Produkt nach üblicher Konvention das neutrale Element.
• Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe und sich selbst als (triviale) Normalteiler. Die triviale Gruppe wird daher meistens nicht als einfache Gruppe angesehen.
• In der Kategorie der Gruppen Grp fungiert die triviale Gruppe als Nullobjekt.

Siehe auch

• Nullring
• Nullvektorraum

Literatur

• Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. Springer, 2008, ISBN 3-540-79570-7. 
• Jürgen Wolfart: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Springer, 2010, ISBN 3-8348-9833-3. 

Weblinks

• Todd Rowland, Eric W. Weisstein: Trivial Group. In: MathWorld (englisch).