Trapezverteilung

Die Trapezverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem kompakten Intervall.

Definition

Beispiel [a,b]=[0,5], [c,d]=[1,3]

Die Trapezverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b+d-a-c)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {2}{b+d-a-c}},&{\text{wenn }}c\leq x\leq d\\{\frac {2(b-x)}{(b+d-a-c)(b-d)}},&{\text{wenn }}d<x\leq b.\end{cases}}}$

Hierbei bestimmen die Parameter ${\displaystyle a}$ (minimaler Wert), ${\displaystyle b}$ (maximaler Wert) und das Intervall ${\displaystyle [c,d]}$ (wahrscheinlichste Werte) die Gestalt der Trapezverteilung mit ${\displaystyle a\leq c\leq d\leq b}$.^[1] Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Trapez aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen.

Verwendung

Die stetige Gleichverteilung legt einen Bereich fest, in dem ein unbekannter Wert mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu finden ist. Für Punkte außerhalb dieses Bereichs bedeutet die stetige Gleichverteilung die oft unrealistische Annahme, dass deren Wahrscheinlichkeit 0 ist. Diesen Mangel gleicht die Trapezverteilung dadurch aus, dass die Wahrscheinlichkeiten für Werte außerhalb eines Bereichs konstanter Wahrscheinlichkeit nicht abrupt, sondern linear auf 0 abfällt.^[2]

In der Netzplantechnik kann die Trapezverteilung zur Modellierung von Vorgängen eingesetzt werden. Die Parameter ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ stehen für die optimistische bzw. pessimistische Vorgangsdauer, die wahrscheinliche Vorgangsdauer wird im Intervall ${\displaystyle [c,d]\subset [a,b]}$ vermutet.^[3]

Eigenschaften

Bei einer trapezverteilten Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ mit Parametern ${\displaystyle a,b,c,d}$ wie oben angegeben gelten für den Erwartungswert und die Varianz folgende Formeln:^[4]

${\displaystyle \mathrm {E} (X)={\frac {((d+b)^{2}-db)-((a+c)^{2}-ac)}{3(d+b-a-c)}}}$

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)={\frac {(d^{2}+b^{2})(d+b)-(a^{2}+c^{2})(a+c)}{6(d+b-a-c)}}-(\mathrm {E} (X))^{2}}$

Für ${\displaystyle c-a<b-d}$ ist die Verteilung rechtsschief, d. h. ${\displaystyle \mathrm {E} (X)>m}$. Für das in der Grafik dargestellte Beispiel [a,b]=[0,5] und [c,d]=[1,3] gilt ${\displaystyle \mathrm {E} (X)=48/21>m=9/4}$.

Beziehung zu anderen Verteilungen

• Für ${\displaystyle c=d}$ geht die Trapezverteilung in die Dreiecksverteilung über.
• Für ${\displaystyle a=c}$ und ${\displaystyle b=d}$ liegt eine stetige Gleichverteilung vor.
• Ist ${\displaystyle b-d=c-a}$, so ist die Trapezverteilung symmetrisch in Bezug auf den Mittelwert ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(a+b)={\frac {1}{2}}(c+d)}$, wobei der Mittelwert mit dem Median übereinstimmt. Die Summe zweier unabhängiger, stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist symmetrisch trapezverteilt.
• Die Summe gleichverteilter diskreter Zufallsgrößen, die nicht identisch sind, führt zur diskreten Trapezverteilung. Zum Beispiel ist Augensumme von einem gewöhnlichen Würfel und einem regelmäßigen Tetraeder, der die Werte 1, 2, 3 und 4 an seinen Ecken trägt, trapezverteilt: Die Augensummen 2 und 10 treten mit der Wahrscheinlichkeit 1/24 auf, die Summen 3 und 9 mit 2/24, 4 und 8 mit 3/24, aber 5, 6 und 7 mit 4/24.

Einzelnachweise

1. ↑ Samuel Kotz, Johan René van Dorp: Beyond Beta: Other Continuous Families of Distributions with Bounded Support and Applications. World Scientific 2004, ISBN 978-981-256-115-2
2. ↑ L. Lash, Matthew P. Fox, Aliza K. Fink: Applying Quantitative Bias Analysis to Epidemiologic Data, Springer-Verlag 2010, ISBN 978-1-4419-2774-3, Kap. 8: Probabilistic Bias Analysis – Trapezoidal Distribution (Seite 121)
3. ↑ W. Küpper, K. Lüder, L. Streitferdt: Netzplantechnik, Physica-Verlag HD (1975), ISBN 3-790-80139-9, Kapitel 3.3.3.1: Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Vorgangs und Verknüpfungsdauern, Seite 126
4. ↑ Paul. R. Garvey: Probability Methods for Cost Uncertainty Analysis: A Systems Engineering Perspective, Marcel Dekker Inc (1999), ISBN 0-824-78966-0, Theorem 4.1