Transversalitätssatz

Der Transversalitätssatz ist ein auf René Thom zurückgehender Satz der Differentialtopologie, der die Grundlage für zahlreiche topologische Konstruktionen wie zum Beispiel die Pontrjagin-Thom-Konstruktion, die Kobordismustheorie, Chirurgietheorie sowie die Definition von Schnittzahlen und Verschlingungszahlen bildet.

Satz

Sei ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle U}$ eine Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle N}$. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion ${\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ (und jeder Metrik auf ${\displaystyle N}$) eine ${\displaystyle \delta }$-Approximation von ${\displaystyle f}$, die transversal zu ${\displaystyle U}$ ist.^[1]

Erläuterungen: Eine differenzierbare Abbildung ${\displaystyle g\colon M\rightarrow N}$ ist transversal zur Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle U}$, wenn

${\displaystyle T_{g(x)}N=T_{g(x)}U+d_{x}g(T_{x}M)\quad \forall \,x\in g^{-1}(U)}$

gilt. (Insbesondere auch wenn ${\displaystyle g^{-1}(U)=\emptyset }$.) Eine Abbildung ${\displaystyle g\colon M\rightarrow N}$ ist eine δ-Approximation von ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ falls

${\displaystyle d(f(x),g(x))<\delta (x)\quad \forall \,x\in M,}$

gilt. Für hinreichend kleine ${\displaystyle \delta >0}$ ist jede δ-Approximation homotop zu ${\displaystyle f}$. Insbesondere folgt aus dem Transversalitätssatz also die Existenz einer zu ${\displaystyle f}$ homotopen Abbildung, die transversal zu ${\displaystyle U}$ ist. Zu jedem ${\displaystyle \epsilon \colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ gibt es ein ${\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} }$, so dass es zu jeder δ-Approximation ${\displaystyle g}$ von ${\displaystyle f}$ eine Homotopie ${\displaystyle H\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N}$ zwischen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ gibt, bei der für jedes ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$ die Abbildung ${\displaystyle H(.,t)}$ eine ε-Approximation von ${\displaystyle f}$ ist.^[2]

Beispiele

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,t^{2})}$ ist nicht transversal zur x-Achse, jedoch ist für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$ die Abbildung ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,t^{2}+\epsilon )}$ transversal zur x-Achse.
• Falls ${\displaystyle \dim(M)+\dim(U)<\dim(N)}$, dann folgt aus dem Transversalitätssatz, dass es zu jeder Abbildung ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ eine δ-Approximation gibt, deren Bild disjunkt zu ${\displaystyle U}$ ist.

Relative Version und Homotopietransversalitätssatz

Sei ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle U}$ eine Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle N}$. Sei ${\displaystyle A}$ eine Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle M}$ und die Einschränkung ${\displaystyle f\mid _{A}}$ sei transversal zu ${\displaystyle U}$. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion ${\displaystyle \delta \colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ (und jeder Metrik auf ${\displaystyle N}$) eine ${\displaystyle \delta }$-Approximation von ${\displaystyle f}$, die transversal zu ${\displaystyle U}$ ist und auf ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle f}$ übereinstimmt.

Als einen Spezialfall erhält man den Homotopietransversalitätssatz:

Seien ${\displaystyle M,N}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle U}$ eine Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle N}$. Sei ${\displaystyle F\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N}$ eine differenzierbare Abbildung, für die ${\displaystyle f_{0}:=F(.,0)\colon M\rightarrow N}$ und ${\displaystyle f_{1}:=F(.,1)\colon M\rightarrow N}$ transversal zu ${\displaystyle U}$ sind. Dann gibt es eine Abbildung ${\displaystyle G\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N}$, die transversal zu ${\displaystyle U}$ ist und auf ${\displaystyle M\times \left\{0\right\}}$ bzw. ${\displaystyle M\times \left\{1\right\}}$ mit ${\displaystyle f_{0}}$ bzw. ${\displaystyle f_{1}}$ übereinstimmt.

In Worten: wenn zwei transversale Abbildungen homotop sind, dann gibt es auch eine transversale Homotopie.

Einzelnachweise

1. ↑ René Thom: Un lemme sur les applications différentiables. In: Boletin de la Sociedad Matemática Mexicana/2. Serie, Bd. 1 (1956), pp. 59–71, ISSN 0037-8615.
2. ↑ Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie (Lecture Notes in Mathematics; Bd. 178). Springer Verlag, Berlin 1970, ISBN 3-540-05341-7.