Transferfunktionsmodell

Unter einem Transferfunktionsmodell wird in der Zeitreihenanalyse ein univariates Zeitreihenmodell verstanden, bei dem die Zielvariable ${\displaystyle Y_{t}}$ außer von sich selbst und einer unbeobachtbaren Schockvariablen ${\displaystyle Z_{t}}$ von weiteren beobachtbaren Variablen ${\displaystyle X_{m}t}$ dynamisch abhängig sein kann. Im Gegensatz zu Vektorprozessen finden nur ein Einfluss der ${\displaystyle X_{m}t}$ auf ${\displaystyle Y_{t}}$ statt und nicht umgekehrt. Ein solches Modell kann auch als univariates dynamisches Modell mit Inputvariablen angesehen werden. Formal lässt sich folgende Darstellung wählen:

${\displaystyle Y_{t}=\nu (L)X_{t}+{\frac {\Theta (L)}{\Phi (L)}}Z_{t}}$

Dabei ist ${\displaystyle X_{t}}$ die Inputvariable. Im Gegensatz zum Interventionsmodell kann diese Inputvariable mehr Ausprägungen haben als die Indikatorfunktion (nur 0 und 1). ${\displaystyle Y_{t}}$ kann dabei als Outputvariable bezeichnet werden. ${\displaystyle Y_{t}=\nu (L)}$ wird als Transferfunktion bezeichnet. Diese Funktion ist in ihrer Wirkung auf die Zeitreihe mit der Impuls-Antwort-Funktion des Interventionsmodells vergleichbar. Das Transferfunktionsmodell ist stabil, wenn die Impuls-Antwort-Gewichte absolut summierbar sind. Somit würde ein beschränkter Input auch einen beschränkten Output erzeugen. Das Modell heißt kausal, wenn ${\displaystyle Y_{t}}$ keine vorlaufende Funktion von ${\displaystyle X_{t}}$ ist. X ist bezüglich Y exogen, und es gibt keine Feedback-Beziehung von Y zu X.

Zur Identifikation des Modells wird auf das Instrument der Kreuzkorrelationsfunktion zurückgegriffen. Diese Funktion ist im Gegensatz zur Autokorrelationsfunktion nicht symmetrisch um l. Die Beziehung zwischen der Kreuzkorrelations- und der Transferfunktion ist recht kompliziert:

${\displaystyle \rho (l)={\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{Y}}}[\nu _{0}\rho _{X}(l)+\nu _{1}\rho _{X}(l-1)+\nu _{2}\rho _{X}(l-2)+...]}$.

Das hier zu lösende simultane Gleichungssystem ist recht kompliziert. Einfacher hätte man es, wenn folgender Zusammenhang herstellbar wäre:

${\displaystyle \nu ={\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}\rho _{XY}(l)}$.

Damit wäre ${\displaystyle \nu _{l}}$ proportional zum Kreuzkorrelationskoeffizienten ${\displaystyle \rho _{XY}(l)}$. Dieses kann erreicht werden, in dem man den Input so transformiert, dass dieser weißes Rauschen wird. Bei der als „Vorweißen“ genannten Transformation wird davon ausgegangen, dass die Inputreihe ${\displaystyle X_{t}}$ als ARMA-Prozess aufgefasst wird:

${\displaystyle \Phi _{Y}(L)X_{t}=\Theta _{X}(L)\alpha _{t}}$. Nach umformen ergibt sich die vorgeweißte Inputreihe:

${\displaystyle \alpha _{t}={\frac {\Phi _{X}(L)}{\Theta _{X}(L)}}X_{t}}$

Nun muss noch dieselbe Transformation auf die Outputvariable ${\displaystyle Y_{t}}$ angewandt werden:

${\displaystyle \beta _{t}={\frac {\Phi _{X}(L)}{\Theta _{X}(L)}}Y_{t}}$.

Das ursprüngliche Transferfunktionsmodell lässt sich nun als:

${\displaystyle \beta _{t}=\nu (L)\alpha _{t}+\varepsilon _{t}}$ auffassen. ${\displaystyle \alpha _{t}}$ ist dabei weißes Rauschen. ${\displaystyle \beta _{t}}$ und ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ sind in der Regel kein weißes Rauschen. Für den Kreuzkorrelationskoeffizienten der transformierten Zeitreihe erhält man:

${\displaystyle \nu ={\frac {\sigma _{\beta }}{\sigma _{\alpha }}}\rho _{\alpha \beta }(l)}$.

Mit diesem Ergebnis kann die Schätzung wie im ARMA-Modell erfolgen.