Träger (Maßtheorie)

Der Träger eines Maßes ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Ähnlich zum Träger einer Funktion in der Analysis garantiert die Kompaktheit des Trägers gewisse Eigenschaften wie beispielsweise die Integrierbarkeit stetiger Funktionen.

Definition

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum und ein Radon-Maß (im Sinne eines von innen regulären, lokal endlichen Maßes) auf , der borelschen σ-Algebra.

Ist die (möglicherweise überabzählbare) Familie der offenen -Nullmengen, so ist

die bezüglich mengentheoretischer Inklusion größte offene -Nullmenge. Ihr Komplement wird der Träger von genannt, also

.

Alternativ findet sich auch die Notation .

Bemerkung

Dass wirklich eine Nullmenge ist, sieht man wie folgt ein: Ist und kompakt, existiert per Definition der Kompaktheit eine endliche Überdeckung von . Also ist aufgrund der Monotonie des Maßes . Da aber von innen regulär ist, folgt .

Eigenschaften

  • Ist der Träger eines Radon-Maßes kompakt, so sind alle stetigen Funktionen -integrierbar, also ist
  • Umgekehrt ist auf einem σ-kompakten, lokalkompakten Hausdorff-Raum, bei dem für ein Radon-Maß gilt, der Träger dieses Radon-Maßes immer kompakt.

Weblinks

Literatur