Total reelle Untermannigfaltigkeit

Total reelle Untermannigfaltigkeiten kommen in der komplexen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, vor. Sie verallgemeinern das Konzept, den reellen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als Unterraum des komplexen Raumes ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ aufzufassen.

Definition

Es sei ${\displaystyle (M,J)}$ eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit. Das heißt, ${\displaystyle J\colon TM\to TM}$ ist eine glatte Abbildung des Tangentialbündels von ${\displaystyle M}$ auf sich derart, dass die Einschränkungen ${\displaystyle J|_{T_{x}M}\colon T_{x}M\to T_{x}M}$, für alle ${\displaystyle x\in M}$, Vektorraumautomorphismen sind und ${\displaystyle J|_{T_{x}M}\circ J|_{T_{x}M}=-\operatorname {id} _{T_{x}M}}$ genügen.

Eine immersierte Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle N}$ von ${\displaystyle M}$ heißt nun total reell, wenn ${\displaystyle T_{y}N\cap J(T_{y}N)={\vec {0}}}$ für alle ${\displaystyle y\in N}$ gilt.

Von all den Vektoren, die im Punkt ${\displaystyle y}$ tangential zu ${\displaystyle N}$ liegen, bildet die fastkomplexe Struktur ${\displaystyle J}$ also ausschließlich den Nullvektor wieder auf einen Tangentialvektor von ${\displaystyle N}$ ab. Anschaulich gesprochen haben die Punkte von ${\displaystyle N}$ also nur „reelle“ Tangentialvektoren und keine tatsächlich „komplexen“.

Beispiele

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ist total reell.
• Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit ist total reell.

Literatur

• Bang-Yen Chen, "Riemannian submanifolds”, 187–418. in: Handbook of differential geometry. Vol. I. Edited by Franki J. E. Dillen and Leopold C. A. Verstraelen. North-Holland, Amsterdam, 2000. ISBN 0-444-82240-2
• Michèle Audin, François Lalonde, Leonid Polterovich: "Symplectic rigidity: Lagrangian submanifolds”, 271–321. in: Holomorphic curves in symplectic geometry. Edited by Michèle Audin and Jacques Lafontaine. Progress in Mathematics, 117. Birkhäuser Verlag, Basel, 1994. ISBN 3-7643-2997-1