Tor (Mathematik)

Der Tor-Funktor ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der homologischen Algebra. Es handelt sich um einen Bi-Funktor, der bei der Untersuchung des Tensorprodukts auftritt. Er ist neben dem Ext-Funktor eine der wichtigsten Konstruktionen der homologischen Algebra.

Motivation mittels Tensorprodukten

Wir betrachten Kategorien von Moduln über einem Ring ${\displaystyle R}$. Ist

${\displaystyle 0\rightarrow X{\xrightarrow {\alpha }}Y{\xrightarrow {\beta }}Z\rightarrow 0}$

eine kurze exakte Sequenz von Links-${\displaystyle R}$-Moduln und Modul-Morphismen und ist ${\displaystyle A}$ ein Rechts-${\displaystyle R}$-Modul, so führt das Tensorieren obiger Sequenz von links mit ${\displaystyle A}$ zu einer exakten Sequenz

${\displaystyle A\otimes _{R}X{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \alpha }}A\otimes _{R}Y{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \beta }}A\otimes _{R}Z\rightarrow 0}$

von abelschen Gruppen, die sich im Allgemeinen nicht mit dem Nullobjekt nach links zu einer exakten Sequenz fortsetzen lässt, das heißt ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}\otimes \alpha }$ ist im Allgemeinen nicht injektiv, oder kurz: Der Tensorfunktor ist rechtsexakt aber im Allgemeinen nicht linksexakt.

Als Beispiel betrachte man die kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} {\xrightarrow {\alpha }}\mathbb {Z} {\xrightarrow {\beta }}\mathbb {Z} _{2}\rightarrow 0}$

von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Moduln, wobei ${\displaystyle \alpha (n):=2n}$ und ${\displaystyle \beta }$ die natürliche Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ auf die Restklassengruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{{\overline {0}},{\overline {1}}\}}$ sei. Tensoriert man diese Sequenz mit ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, so ist ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathbb {Z} _{2}}\otimes \alpha }$ nicht injektiv, denn es ist

${\displaystyle (\mathrm {id} _{\mathbb {Z} _{2}}\otimes \alpha )({\overline {1}}\otimes 1)=\mathrm {id} _{\mathbb {Z} _{2}}({\overline {1}})\otimes \alpha (1)={\overline {1}}\otimes 2\cdot 1=2\cdot {\overline {1}}\otimes 1={\overline {0}}\otimes 1=0}$.

Dabei wurde der Faktor 2 von der torsionsfreien Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ mittels Tensoroperation in die Torsionsgruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ verschoben und hat dort zu einer 0 geführt. Das ist der typische Grund, warum die Injektivität des Morphismus ${\displaystyle \alpha }$ beim Übergang zur tensorierten Sequenz verloren geht. Die fehlende Injektivität führt zum Auftreten eines Kerns und gibt Anlass zu folgender Definition.

Definition

Es seien ${\displaystyle A}$ ein Rechts-${\displaystyle R}$-Modul und ${\displaystyle B}$ ein Links-${\displaystyle R}$-Modul. Weiter sei

${\displaystyle 0\rightarrow S{\xrightarrow {\mu }}P{\xrightarrow {\nu }}B\rightarrow 0}$

eine kurze exakte Sequenz mit projektivem Modul ${\displaystyle P}$. Dann definiert man die abelsche Gruppe

${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B):=\operatorname {ker} (A\otimes _{R}S\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \mu } A\otimes _{R}P)}$

und man kann zeigen, dass diese Definition nicht von der gewählten exakten Sequenz ${\displaystyle 0\rightarrow S\rightarrow P\rightarrow B\rightarrow 0}$ mit projektivem ${\displaystyle P}$ abhängt. Das rechtfertigt die Schreibweise ${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)}$ ohne Hinweis auf diese Sequenz. Manchmal fügt man noch den Ring ${\displaystyle R}$ an und schreibt ${\displaystyle \operatorname {Tor} ^{R}(A,B)}$.

Ist ${\displaystyle \alpha \colon A\rightarrow A'}$ ein Morphismus, so entnimmt man dem kommutativen Diagramm

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}A\otimes _{R}S&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \mu }}&A\otimes _{R}P&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \nu }}&A\otimes _{R}B&\rightarrow 0\\\downarrow _{\alpha \otimes \mathrm {id} _{S}}&&\downarrow _{\alpha \otimes \mathrm {id} _{P}}&&\downarrow _{\alpha \otimes \mathrm {id} _{B}}&\\A'\otimes _{R}S&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A'}\otimes \mu }}&A'\otimes _{R}P&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A'}\otimes \nu }}&A'\otimes _{R}B&\rightarrow 0\end{array}}}$,

dass die Einschränkung von ${\displaystyle \alpha \otimes \mathrm {id} _{S}}$ den Kern von ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}\otimes \mu }$ nach ${\displaystyle \operatorname {ker} (\mathrm {id} _{A'}\otimes \mu )}$ abbildet und so einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \alpha _{*}\colon \operatorname {Tor} (A,B)\rightarrow \operatorname {Tor} (A',B)}$ definiert. Auf diese Weise erhält man einen Funktor ${\displaystyle \operatorname {Tor} ^{R}(-,B)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}}$ von der Kategorie der Rechts-${\displaystyle R}$-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Weiter kann man die Rollen von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ vertauschen, das heißt man geht von der exakten Sequenz ${\displaystyle 0\rightarrow S\rightarrow P\rightarrow A}$ von Rechts-${\displaystyle R}$-Moduln aus und zeigt, dass man mit ${\displaystyle \operatorname {ker} (S\otimes _{R}B\rightarrow P\otimes _{R}B)}$ eine zu obiger Definition natürlich isomorphe Gruppe erhält, die daher ebenfalls mit ${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)}$ bzw. ${\displaystyle \operatorname {Tor} ^{R}(A,B)}$ bezeichnet werden kann. Insgesamt erhält man so einen Bi-Funktor

${\displaystyle \operatorname {Tor} ^{R}(-,-)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\times {\mathfrak {lMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}}$

von dem Produkt der Kategorie der Rechts-Moduln über ${\displaystyle R}$ mit der Kategorie der Links-Moduln über ${\displaystyle R}$ in die Kategorie der abelschen Gruppen.^[1]

Der Tor-Funktor ist additiv, das heißt man hat natürliche Isomorphismen

${\displaystyle \operatorname {Tor} ^{R}(A\oplus A',B)\cong \operatorname {Tor} ^{R}(A,B)\oplus \operatorname {Tor} ^{R}(A',B)}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} ^{R}(A,B\oplus B')\cong \operatorname {Tor} ^{R}(A,B)\oplus \operatorname {Tor} ^{R}(A,B')}$

für Rechts-${\displaystyle R}$-Moduln ${\displaystyle A,A^{'}}$ und Links-${\displaystyle R}$-Moduln ${\displaystyle B,B^{'}}$.

Abelsche Gruppen

Wählt man ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ als Grundring, so bewegt man sich in der Kategorie der abelschen Gruppen, denn diese sind genau die ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Moduln, und man muss wegen der Kommutativität des Grundrings nicht zwischen Links- und Rechts-Moduln unterscheiden. In dieser Kategorie ergeben sich gewisse Vereinfachungen und man findet einen Zusammenhang zwischen dem Tor-Funktor und der für ihn namensgebenden Torsion von Gruppen.

Alternative Beschreibung von Tor(A,B)

Im Falle abelscher Gruppen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ kann ${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)}$ wie folgt durch Erzeuger und Relationen präsentiert werden.^[2]

Die Menge ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ der Erzeuger sei die Menge aller Symbole ${\displaystyle \langle a,m,b\rangle }$ mit ${\displaystyle a\in A,m\in \mathbb {Z} ,b\in B}$, ${\displaystyle am=0}$ und ${\displaystyle mb=0}$, wobei hier die ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul-Operation nur aus praktischen Gründen einmal links und einmal rechts geschrieben wurde, eine Unterscheidung ist, wie oben erwähnt, nicht nötig. Die Menge ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ der Relationen enthalte alle Ausdrücke der Form

${\displaystyle \langle a_{1}+a_{2},m,b\rangle =\langle a_{1},m,b\rangle +\langle a_{2},m,b\rangle ,\quad \langle a_{1},m,b\rangle ,\langle a_{2},m,b\rangle \in {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \langle a,m,b_{1}+b_{2}\rangle =\langle a,m,b_{1}\rangle +\langle a,m,b_{2}\rangle ,\quad \langle a,m,b_{1}\rangle ,\langle a,m,b_{2}\rangle \in {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \langle a,mn,b\rangle =\langle am,n,b\rangle ,\quad \langle am,n,b\rangle \in {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \langle a,mn,b\rangle =\langle a,m,nb\rangle ,\quad \langle a,m,nb\rangle \in {\mathcal {E}}}$

Dann kann man zeigen, dass die durch ${\displaystyle \langle {\mathcal {E}}|{\mathcal {R}}\rangle }$ präsentierte Gruppe zu ${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)}$ isomorph ist. Zur Konstruktion einer Abbildung ${\displaystyle \langle {\mathcal {E}}|{\mathcal {R}}\rangle \rightarrow \operatorname {Tor} (A,B)}$ sei ${\displaystyle 0\rightarrow S{\xrightarrow {\mu }}P{\xrightarrow {\nu }}B\rightarrow 0}$ eine kurze exakte Sequenz mit projektivem ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle \langle a,m,b\rangle }$ ein Erzeuger. Wähle ${\displaystyle p\in P}$ mit ${\displaystyle \nu (p)=b}$. Dann ist ${\displaystyle \nu (mp)=mb=0}$ und wegen der Exaktheit gibt es genau ein ${\displaystyle s\in S}$ mit ${\displaystyle \mu (s)=mp}$. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle a\otimes s}$ nicht von der Wahl ${\displaystyle p}$ abhängt. Da

${\displaystyle (\mathrm {id} _{A}\otimes \mu )(a\otimes s)=a\otimes \mu (s)=a\otimes mp=am\otimes p=0\otimes p=0}$,

liegt ${\displaystyle a\otimes s}$ im Kern von ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}\otimes \mu }$ und damit definitionsgemäß in ${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)}$. Die vorgestellte Konstruktion definiert daher eine Abbildung ${\displaystyle \langle {\mathcal {E}}|{\mathcal {R}}\rangle \rightarrow \operatorname {Tor} (A,B)}$, von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.

Charakterisierung torsionsfreier Gruppen

Für eine abelsche Gruppe ${\displaystyle A}$ sind folgende Aussagen äquivalent^[3]:

• ${\displaystyle A}$ ist torsionsfrei, das heißt enthält außer 0 keine Elemente endlicher Ordnung.
• ${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)=0}$ für alle abelschen Gruppen ${\displaystyle B}$.
• Für alle injektiven Gruppenhomomorphismen ${\displaystyle \beta \colon B\rightarrow C}$ ist auch ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}\otimes \beta \colon A\otimes _{\mathbb {Z} }B\rightarrow A\otimes _{\mathbb {Z} }C}$ injektiv.
• Jede exakte Sequenz abelscher Gruppen geht durch Tensorieren mit ${\displaystyle A}$ wieder in eine exakte Sequenz über.

Insbesondere ist ${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)=0}$, falls eine der Gruppen gleich ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist.

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)}$ lässt sich für endlich erzeugte abelsche Gruppen vollständig berechnen. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sind solche Gruppen direkte Summen von zyklischen Gruppen, so dass ${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)}$ wegen der Additivität des Tor-Funktors nur noch für zyklische Gruppen zu bestimmen ist. Ist eine der Gruppen gleich ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, so ist ${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)=0}$ und es bleibt nur noch der Fall endlicher zyklischer Gruppen. Sei ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ die zyklische Gruppe der Ordnung ${\displaystyle n}$. Dann folgt^[4]

${\displaystyle \operatorname {Tor} (\mathbb {Z} _{n},B)\cong \{b\in B;nb=0\}}$

und daraus, wenn man den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle (m,n)}$ bezeichnet:

${\displaystyle \operatorname {Tor} (\mathbb {Z} _{m},\mathbb {Z} _{n})\cong \mathbb {Z} _{(m,n)}}$,

was man aber auch direkt aus der Definition mit der Auflösung ${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} {\xrightarrow {a\mapsto ma}}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{m}}$ herleiten kann. Damit ist ${\displaystyle \operatorname {Tor} (A,B)}$ für endlich erzeugte abelsche Gruppen bestimmt.

Tor als Ableitung des Tensor-Funktors

Eine allgemeinere Definition erhält man durch

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(A,B):=L_{n}(-\otimes _{R}B)(A)\cong L_{n}(A\otimes _{R}-)(B)}$

als ${\displaystyle n}$-te Linksableitung des Tensorfunktors. Ist der Grundring ${\displaystyle R}$ durch den Kontext gegeben, so lässt man ihn in der Bezeichnung fort und schreibt einfach ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}(A,B)}$. Man erhält so eine Folge von Bi-Funktoren

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(-,-)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\times {\mathfrak {lMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}}$.

Verwendet man projektive Auflösungen zur Berechnung von ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(A,B)}$, so sieht man, dass ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(A,B)}$ mit dem oben definierten ${\displaystyle \operatorname {Tor} }$-Funktor zusammenfällt.

Man erhält aus der allgemeinen Theorie folgende lange exakte Sequenzen, die zeigen, wie der Tor-Funktor die fehlende Linksexaktheit des Tensorfunktors kompensiert.^[5]

Ist ${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow A^{'}\rightarrow A^{''}\rightarrow 0}$ eine kurze exakte Sequenz von Rechts-${\displaystyle R}$-Moduln und ${\displaystyle B}$ ein Links-${\displaystyle R}$-Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \rightarrow \operatorname {Tor} _{2}(A^{''},B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A^{'},B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A^{''},B)}$

${\displaystyle \rightarrow A\otimes _{R}B\rightarrow A^{'}\otimes _{R}B\rightarrow A^{''}\otimes _{R}B\rightarrow 0}$.

Ist ${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow B^{'}\rightarrow B^{''}\rightarrow 0}$ eine kurze exakte Sequenz von Links-${\displaystyle R}$-Moduln und ${\displaystyle A}$ ein Rechts-${\displaystyle R}$-Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \rightarrow \operatorname {Tor} _{2}(A,B^{''})\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B^{'})\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B^{''})}$

${\displaystyle \rightarrow A\otimes _{R}B\rightarrow A\otimes _{R}B^{'}\rightarrow A\otimes _{R}B^{''}\rightarrow 0}$.

Einzelnachweise

1. ↑ P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel III.8: The Functor Tor
2. ↑ Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"
3. ↑ Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, Theorem 6.2
4. ↑ Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"
5. ↑ P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel IV.11: The Functor ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{\Lambda }}$