Topologischer Kamm

Topologischer Kamm

Der topologische Kamm ist ein topologischer Raum, der eine Quelle für Gegenbeispiele in der Topologie ist.

Definition

Der topologische Kamm ist gegeben durch

${\displaystyle K=(\{{\tfrac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \}\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})\cup (\{0\}\times [0,1])\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$

ausgestattet mit der Teilraumtopologie.

Der gelöschte topologische Kamm ist gegeben als ${\displaystyle D=K\setminus (\{0\}\times (0,1))}$.

Topologische Eigenschaften

Der topologische Kamm ist ein Beispiel für einen topologischen Raum, der wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend ist, denn kein Punkt aus ${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$ hat eine Umgebungsbasis aus wegzusammenhängenden Mengen.

Der gelöschte topologische Kamm ist ein Beispiel für einen topologischen Raum, der zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist, denn es gibt keinen Weg zwischen ${\displaystyle (0,0)}$ und ${\displaystyle (0,1)}$.

Quellen

• James Munkres: Topology. 2. Auflage. Prentice Hall, 1999, ISBN 0-13-181629-2.