Tonstruktur (mathematische Beschreibung)

Eine Tonstruktur beschreibt ein Tonsystem mit Hilfe von Tönen und Intervallen. Seit der Antike wird der Tonvorrat einer Musikkultur zum einen über die Angabe von Tonhöhen und zum andern über den Begriff des Intervalls wiedergegeben.^[1]

Heutzutage werden Tönhöhen und Intervalle über Frequenzen und Frequenzverhältnisse beschrieben. Bekannt ist die Musiktheorie des Pythagoras mit Hilfe von Proportionen (= Saitenverhältnisse am Monochord = Kehrwert der Frequenzverhältnisse).

Die mathematische Lehre von den Tönen und Intervallen ist jedoch auch ohne diese physikalischen Begriffe exakt möglich (siehe hörpsychologische Beschreibung). Die ersten bekannten hörpsychologischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.

Alle unten aufgeführten und die meisten Tonsysteme sind auf das Intervall der Oktave bezogen.^[2]

Der geordnete Tonraum

Jedem Ton kann man eine Frequenz zuordnen.

Beispiel: c′ (das eingestrichene c) hat die Frequenz 264 Hz, e′ die Frequenz 330 Hz, g′ die Frequenz 396 Hz und c″ die Frequenz 528 Hz.^[3]

Töne kann man in der Höhe unterscheiden. Dabei gilt: Je höher ein Ton erklingt, umso größer ist seine Frequenz. Mathematisch gesehen handelt es sich um eine (transitive und trichotomische) strenge Totalordnung.

Transitiv heißt: Aus a höher als b und b höher als c folgt a höher als c.

Trichotomisch heißt: Für Töne a und b gilt: Entweder a = b oder a höher als b oder b höher als a.

Der geordnete additive Intervallraum

Je zwei Tönen x und y (mit den Frequenzen f₁ und f₂) ist eindeutig ein Intervall xy zugeordnet (mit dem Frequenzverhältnis q = f₂ : f₁).

Beispiel: Die Oktave c′c″ hat das Frequenzverhältnis 528:264 = 2, die reine Quinte c′g′ das Frequenzverhältnis 396:264 = 3:2, die große Terz c′e′ das Frequenzverhältnis 330:264 = 5:4 und die kleine Terz e′g′ das Frequenzverhältnis 396:330 = 6:5.^[4]

Zu jedem Anfangston x (mit der Frequenz f₁) und zu jedem Intervall i (mit dem Frequenzverhältnis q) ist eindeutig ein Endton y (mit der Frequenz f₂ = f₁ q) des Intervalls i = xy zugeordnet.

Beispiel: Hat a′ die Frequenz f₁ = 440 Hz, so hat der Ton c″, der um eine kleine Terz mit dem Frequenzverhältnis q = 6:5 höher erklingt, die Frequenz f₂ = 440 Hz · ⁶/₅ = 528 Hz.

In der Sprache der Musiker werden Intervalle bei der Hintereinanderausführung addiert. Der Intervallraum besitzt in diesem Sinne eine additive Struktur.

Beispiel: große Terz + kleine Terz = Quinte.

12 Quinten sind ungefähr gleich 7 Oktaven. Der Unterschied wird als pythagoreisches Komma bezeichnet. Man schreibt dazu: pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven. Führt man drei reine große Terzen hintereinander aus (zum Beispiel c-e-gis-his), so erhält man (von c nach his) ein Intervall, das etwas kleiner als die Oktave ist. Der Unterschied heißt kleine Diësis. Somit: kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen.

Der Addition von Intervallen entspricht die Multiplikation der Frequenzverhältnisse und der Subtraktion von Intervallen die Division der Frequenzverhältnisse.

Beispiel: Der Addition kleine Terz + große Terz = Quinte entspricht die Multiplikation ⁶/₅ · ⁵/₄ = ³/₂.

Das Frequenzverhältnis des pythagoreischen Kommas errechnet sich zu (³/₂)¹² : 2⁷ = 531.441 : 524.288 ≈ 1,013.643 und das der kleinen Diësis zu 2 : (⁵/₄)³ = 128 : 125 = 1,024.

Intervalle kann man in der Größe vergleichen. Dabei gilt: Je größer das Intervall, umso größer ist sein Frequenzverhältnis.

Das Frequenzverhältnis wächst exponentiell an.

Beispiel:

Mathematisch gesehen ist ein Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe.

Intervalle und Frequenzverhältnisse

Streng mathematisch kann man formulieren:

Es gibt eine Funktion ${\displaystyle f\colon \,I\to Q}$ von der additiven Gruppe der Intervalle ${\displaystyle I}$ in die multiplikative Gruppe der Frequenzverhältnisse ${\displaystyle Q}$.

Die Abbildung ist ein Homomorphismus, d. h. werden zwei Intervalle addiert, so werden ihre Frequenzverhältnisse multipliziert.

Beispiel: Aus große Terz + kleine Terz = Quinte folgt: ${\displaystyle f}$ (große Terz) · ${\displaystyle f}$ (kleine Terz) = ${\displaystyle f}$ (Quinte), nämlich ⁵/₄ · ⁶/₅ = ³/₂.

Solche Funktionen wachsen exponentiell. Zum Beispiel: Aus ${\displaystyle f}$ (Quinte) = ³/₂ folgt ${\displaystyle f}$ (12 Quinten) = ${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{12}}$.

Die Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$ ist der Logarithmus zur Basis 2. Damit lässt sich die Größe eines Intervalls als Vielfaches der Einheit Oktave oder der Untereinheit Cent „messen“ (dabei gilt 1200 Cent = 1 Oktave).

Beispiel: Da ${\displaystyle f}$ (Quinte) = ³/₂, folgt Quinte = log₂ (³/₂) Oktave ≈ 702 Cent.^[5]

Messung der Größe von Intervallen

Intervalle kann man als Vielfache von einer Oktave angeben. Oft wird jedoch die Untereinheit Cent verwendet.

Es handelt sich dabei um ein logarithmisches Maß der Frequenzverhältnisse. Die Untereinheit Cent mit der Definition 1200 Cent = 1 Oktave oder 1 gleichstufiger Halbton = 100 Cent ermöglicht eine anschauliche Vorstellung von der Größe verschiedener Intervalle, die auch der musikpraktischen Empfindung entspricht. Sie ermöglicht aber keine exakte Repräsentation all derjenigen Intervalle, die nicht dem gleichstufig-temperierten System entstammen, wie z. B. alle Intervalle der reinen oder mitteltönigen Stimmung (außer trivialerweise der ganzzahligen Vielfachen der Oktave). Diese können immer nur näherungsweise dargestellt werden, da ihre Cent-Werte irrational sind (Satz von Lindemann-Weierstraß).

${\displaystyle \log _{2}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}2}}}$ (${\displaystyle \log _{b}}$ = Logarithmus zu beliebiger Basis b>0, ${\displaystyle \log _{2}}$ = Logarithmus zur Basis 2).

Durch die Verwendung des Logarithmus bei der Centberechnung wird aus der multiplikativen Struktur der Frequenzverhältnisse wieder die additive Struktur der Intervalle.

Beispiel:

Quinte = kleine Terz + große Terz ≈ 315,641 Cent + 386,314 Cent = 701,955 Cent.

pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven ≈ 12 · 701,955 Cent − 7 · 1200 Cent = 23,460 Cent.

kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen ≈ 1200 Cent − 3 · 386,3137 Cent ≈ 41,059 Cent.

Berechnung der Intervallgröße und des Frequenzverhältnisses

Ist ${\displaystyle q}$ das Frequenzverhältnis des Intervalls , so berechnet sich die Größe des Intervalls ${\displaystyle i}$ zu:

${\displaystyle i=\log _{2}(q){\text{ Oktave}}=1200\cdot \log _{2}(q){\text{ Cent}}}$

Beispiel: Die reine Quinte hat das Frequenzverhältnis von ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$. Dann berechnet sich ihre Größe zu

${\displaystyle i=\log _{2}({\tfrac {3}{2}}){\text{ Oktave}}=1200\cdot \log _{2}({\tfrac {3}{2}})\,{\text{Cent}}\approx 702\,{\text{Cent}}}$

Ist andererseits ${\displaystyle i}$ das Intervall, so berechnet sich das Frequenzverhältnis ${\displaystyle q}$ zu:

${\displaystyle q=2^{\frac {i}{\mathrm {Oktave} }}=2^{\frac {i}{1200\,\mathrm {Cent} }}}$

Beispiel 1: Das Intervall von der Größe ${\displaystyle 3\,\mathrm {Oktaven} =3600\,\mathrm {Cent} }$ hat das Frequenzverhältnis von:

${\displaystyle q=2^{\frac {3\,\mathrm {Oktaven} }{\mathrm {Oktave} }}=2^{\frac {3600\,\mathrm {Cent} }{1200\,\mathrm {Cent} }}=2^{3}=8}$

Beispiel 2: Die reine Quinte hat ungefähr die Größe 702 Cent, genau ${\displaystyle i=1200\cdot \log _{2}({\tfrac {3}{2}}){\text{ Cent}}}$. Das Frequenzverhältnis ${\displaystyle q}$ berechnet sich dann zu:

${\displaystyle q=2^{\frac {i}{1200\,\mathrm {Cent} }}=2^{\frac {1200\cdot \log _{2}({\tfrac {3}{2}}){\text{ Cent}}}{1200\,\mathrm {Cent} }}={\tfrac {3}{2}}}$

Beispiele für Intervallräume

Ein Intervallraum besteht aus der Menge aller Intervalle der zu betrachtenden Tonstruktur verbunden mit der Verknüpfung der Addition der zugehörigen Intervalle. Die Intervallgrößen einzelner Stimmungen unterscheiden sich.

In den folgenden Tabellen bedeutet:

• Ok = Oktave (Frequenzverhältnis ${\displaystyle 2\,\mathrel {\hat {=}} \,1200\,{\text{Cent}}}$),
• H = Halbton (Frequenzverhältnis ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}\,\mathrel {\hat {=}} \,100\,{\text{Cent}}}$),
• Q = Quinte (Frequenzverhältnis ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\,\mathrel {\hat {\approx }} \,702\,{\text{Cent}}}$),
• Q_m = ¼-Komma mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{5}}\,\mathrel {\hat {\approx }} \,696{,}578\,{\text{Cent}}}$),
• T = Terz (Frequenzverhältnis ${\displaystyle {\tfrac {5}{4}}\,\mathrel {\hat {\approx }} \,386\,{\text{Cent}}}$).

Teilbarkeit von Intervallen

Im Allgemeinen kann man Intervalle vom Gehör her nicht „teilen“. Die „halbe Quinte“ (350 Cent) wäre zwischen kleiner und großer Terz anzusiedeln und ist im Stimmungssystem weder der pythagoreischen noch der mitteltönigen, reinen oder gleichstufigen Stimmung ein vorkommendes Intervall. Auch die halbe Oktave (600 Cent) existiert nicht im Stimmungssystem der pythagoreischen, der mitteltönigen oder reinen Stimmung.^[6]

Pythagoreische Stimmung

Die Grundlage der pythagoreischen Stimmung ist das Quintsystem ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ mit den folgenden Intervallen:

Mitteltönige Stimmung

Siehe auch Die mitteltönige Stimmung in additiver Schreibweise.

Die Grundlage der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung ist das ¼-Komma-mitteltönige Quintsystem mit den folgenden Intervallen:

Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes

In der reinen Stimmung genügt nicht nur die Angabe der Tonbezeichnung nach dem Notenbild. Es muss noch eine Bezeichnung hinzukommen, bei der erkennbar ist, ob die vorkommenden Quinten und Terzen rein erklingen. Dazu sind die Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes hilfreich:

Reine Quinten im Quintenzirkel: … es b f c g d a e …

Ein syntonisches Komma tiefer …,es,b ,c,g ,d,a ,e … (Tiefkomma vor der Tonbezeichnung)

Ein syntonisches Komma höher … ’es ’b ’c ’g ’d ’a ’e … (Hochkomma vor der Tonbezeichnung)

Beispiel: reine große Terz: c,e und reine Quinte c g.

Beispiel: reine C-Dur-Tonleiter: c d,e f g,a ,h c.

Beispiel: reine,a-Moll-Tonleiter: ,a,h c,d ,e f g,a.

Jede Dur-Tonart ist von der Form: 1 2 ,3 4 5 ,6 ,7 8 oder ’1 ’2 3 ’4 ’5 6 7 ’8 usw.

Jede Molltonart ist von der Form: 1 2 ’3 4 5 ’6 ’7 8 oder,1 ,2 3 ,4 ,5 6 7 ,8 usw., wobei »1« für den ersten Ton »2« für den zweiten Ton usw. der Tonleiter steht.

Reine Stimmung

Die Grundlage der reinen Stimmung ist das Quint-Terz-System ${\displaystyle {\mathcal {QT}}}$, das aus den Intervallen der Form

${\displaystyle i=n\cdot {\text{Oktave}}+m\cdot {\text{Quinte}}+l\cdot {\text{große Terz}}}$

mit den Frequenzverhältnissen

${\displaystyle q=2^{n}\cdot ({\frac {3}{2}})^{m}\cdot ({\frac {5}{4}})^{l}}$ besteht.

Die Hauptintervalle sind:

Superpartikuläre Brüche oder überteilige Brüche sind von der Form ${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}}$ (n=1,2,3,...). Die einzigen Intervalle mit solchen Frequenzverhältnissen sind im Quint-Terz-System: Oktave (²/₁), Quinte (³/₂), Quarte (⁴/₃), große Terz (⁵/₄), kleine Terz (⁶/₅), großer Ganzton (⁹/₈), kleiner Ganzton (¹⁰/₉), diatonischer Halbton (¹⁶/₁₅), chromatischer Halbton (²⁵/₂₄) und syntonisches Komma (⁸¹/₈₀).^[7] Im Quint-Terz-System sind Zähler und Nenner dieser Brüche nur Produkte aus 2, 3 und 5.

Wichtig in diesem Zusammenhang ist: Intervalle, deren Frequenzverhältnis super partikulär sind, lassen sich nicht teilen (insbesondere nicht halbieren).

Um aus einem Frequenzverhältnis des Quint-Terz-Systems herauszufinden, aus welchen Grundintervallen das Intervall zusammengesetzt ist, muss man den Tripellogarithmus berechnen.

Beispiel:

Die Gleichung

${\displaystyle {\frac {81}{80}}=2^{x}\cdot \left({\frac {3}{2}}\right)^{y}\cdot \left({\frac {5}{4}}\right)^{z},\quad x,y,z\in \mathbb {Z} }$

hat die eindeutige Lösung, als „Tripellogarithmus“ bezeichnet: ${\displaystyle x=-2,\ y=4}$ und ${\displaystyle z=-1}$.

Damit gilt für das Intervall ${\displaystyle i}$ mit dem Frequenzverhältnis 81:80 die Beziehung ${\displaystyle i=-2\mathrm {Ok} +4\mathrm {Q} -\mathrm {T} }$ (siehe syntonisches Komma).

Die Tonleitern der reinen Stimmung im Quintenzirkel

Bei einer Modulation in eine Nachbartonart ändern sich zwei Töne, einer davon erkennbar mit Vorzeichenwechsel, der andere geringfügig um ein syntonisches Komma. Dies lässt sich am besten mit den Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes darstellen: Für den Ton, der ein syntonisches Komma tiefer als x erklingt, wird die Bezeichnung ,x (Tiefkomma x) verwendet. Entsprechend wird mit ’x (Hochkomma x) der Ton bezeichnet, der ein syntonisches Komma höher als x liegt. Die Quinten im Quintenzirkel … as es b f c g d a … sind alle rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Die reinen Tonleitern im Quintenzirkel haben stets das gleiche Erscheinungsbild (Bei Moll die 6. und 7. Stufe noch erhöht):

Die Centwerte der Töne errechnen sich zu:

Die Berechnung der Centwerte hier können nach folgendem Schema vorgenommen werden. Mit p=1/12 pythagoreisches Komma ≈ 2,0 Cent errechnet sich nach der pythagoreischen Quintenzirkel zu ...es=300-3p b=1000-2p f=500-p c=0 g=700+p d=200+2p a=900+3p ... nach Halbtönen geordnet:

Mit p=¹/₁₂ pythagoreisches Komma ≈ 2,0 Cent und K = syntonisches Komma ≈ 21,5 Cent errechnet sich zum Beispiel:

• ,,cis = (100+7p-2K) Cent = 71 Cent (=Intervall c ,,cis = Intervall von c nach ,,cis)
• 'as = 800-4p+K = 814 Cent (=Intervall von c 'as)
• Intervall ,,cis 'as = (700-11p+3K) Cent = 743 Cent.
  Frequenzverhältnis 2^{(700-11p+3K)/1200}= ¹⁹²/₁₂₅^[8]

Tonhöhen der rein gestimmten Dur- und Molltonarten im Oktavkreis.

Mit den 53 durch Kreismarken im Außenbereich der Oktavkreis-Graphik^[9] platzierten Tönen sind die 15 Durtonleitern mit den Quinttönen ces|ges...c ...fis|cis als Grundtöne spielbar, ebenso die 45 parallelen Tonleitern der drei Mollmodi, deren Grundtöne ,as|,es...,a...,dis|,ais eine kleine Terz unter den Quinttönen liegen. Die Tonleitern im Innenbereich illustrieren die Tonabstände an den Tonarten C-Dur und drei Mal ,a-Moll.

Gleichstufige Stimmung

Die Grundlage der gleichstufigen Stimmung ist der 12-stufige Intervallraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ mit den folgenden Intervallen:

Die Teilung der Oktave in 53 Tonstufen

Die Grundlage dieser Stimmung ist der 53-stufige Intervallraum ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {I}}_{53}=\{{\frac {n}{53}}\cdot \mathrm {Ok} \mid n\in \mathbb {Z} \}}$. Die Oktave wird hierbei in 53 gleiche Teile geteilt.

Zu Zeiten Zarlinos (1517–1590) lehrte man in Musikschulen, dass man die große Terz rein intonieren kann und es dadurch Abweichungen von der pythagoreischen Stimmung gibt. Es wurde gelehrt, dass die Tonleiter so zu intonieren ist, dass man den folgenden Intervalle Teile zuordnen kann.

• cd=fg=ah=9 Teile (großer Ganzton)
• de=ga=8 Teile (kleiner Ganzton)
• ef=hc=5 Teile (diatonischer Halbton)

Notiert man den Abstand der Tonleiter von c aus in Klammer und den Abstand zwischen den Tönen tiefer geschrieben, so lautet die C-Dur-Tonleiter:

c(0) 9 d(9) 8 ,e(17) 5 f(22) 9 g(31) 8 ,a(39) 9 ,h(48) 5 c(53)

,e ("Tiefkomma e") bedeutet hier in Abwandlung der Eulerschen Schreibweise: ",e erklingt 1/53 Oktave tiefer als e" usw.^[10]

Die Tonleiter wird also hier in 53 Teile geteilt, wobei

große Terz c,e = 17 Teile
Quinte = cg = 31 Teile[11]

Die Tonleitern des Quintenzirkel von c aus notiert. In Klammer die Stufe der 53-Skala:

C-Dur:     c(0)    d(9)    ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)   ,h(48)     c(53)
G-Dur:     c(0)    d(9)    ,e(17) ,fis(26)    g(31)    a(40)   ,h(48)     c(53)
D-Dur:  ,cis(4)    d(9)     e(18) ,fis(26)    g(31)    a(40)   ,h(48)  ,cis(57)
A-Dur:  ,cis(4)    d(9)     e(18) ,fis(26) ,gis(35)    a(40)    h(49)  ,cis(57)
E-Dur:  ,cis(4) ,dis(13)    e(18)  fis(27) ,gis(35)    a(40)    h(49)  ,cis(57)
H-Dur:   cis(5) ,dis(13)    e(18)  fis(27) ,gis(35) ,ais(44)    h(49)   cis(58)
Fis-Dur: cis(5) ,dis(13) ,eis(22)  fis(27)  gis(36) ,ais(44)    h(49)   cis(58)
Cis-Dur: cis(5)  dis(14) ,eis(22)  fis(27)  gis(36) ,ais(44) ,his(53)   cis(58)

C-Dur:     c(0)     d(9)   ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)   ,h(48)     c(53)
F-Dur:     c(0)    ,d(8)   ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)    b(44)     c(53)
B-Dur:     c(0)    ,d(8)    es(13)   f(22)   ,g(30)   ,a(39)    b(44)     c(53)
Es-dur:   ,c(52)   ,d(8)    es(13)   f(22)   ,g(30)   as(35)    b(44)    ,c(52)
As-dur:   ,c(52)    des(4)  es(13)  ,f(21)   ,g(30)   as(35)    b(44)    ,c(52)
Des-dur:  ,c(52)    des(4)  es(13)  ,f(21)  ges(26)   as(35)   ,b(43)    ,c(52)
Ges-dur: ces(48)    des(4) ,es(12)  ,f(21)  ges(26)   as(35)   ,b(43)   ces(48)
Ces-dur: ces(48)    des(4) ,es(12) fes(17)  ges(26)  ,as(34)   ,b(43)   ces(48)

Hermann von Helmholtz schreibt in seiner Lehre von den Tonempfindungen folgendes: „Will man eine Scala in fast genauer natürlicher Stimmung herstellen, welche unbegrenzt fortzumodulieren gestattet, … so lässt sich dies durch die schon von Mercator vorgeschlagene Teilung der Octave in 53 gleich große Intervalle erreichen.“^[12]

Die 53-Skala

Intervalltabelle mit Vergleich mit der reinen Stimmung

Man sieht hier: Alle Töne des Quintenzirkels werden mit einer Toleranz von einem Schisma erreicht. Um das Schisma von 1,95 Cent unterscheiden sich die Töne c und ,his / des und ,cis / 'es und dis usw. (Siehe dritte Spalte in der ersten Tabelle mit je zwei Tönen).

Stimmungen, dargestellt innerhalb der 53-Mercatorskala

Der Darstellung der verschiedenen Stimmungen mit der Größe als Vielfache von k ist besonders übersichtlich.

k=1200:53 = 22,642 Cent. Die jeweilige (gerundete Darstellung) hat eine Genauigkeit von 1 Cent.

Intervallgröße

Die 53stufige Skala in reiner Stimmung nach Tanaka

Tanaka Shōhei betrachtet in seiner Dissertation 1890 die folgende 53-Skala in reiner Stimmung. Er verwendet dabei die Eulerschreibweise (mit Unter- und Oberstrich statt Tief- und Hochkomma vor der Tonbezeichnung).

• Waagrechte Tonfolgen sind reine Quinten mit dem Frequenzverhältnis ³/₂; zum Beispiel c g d ...
• Tonfolgen schräg nach links unten sind reine Großterzen mit dem Frequenzverhältnis ⁵/₄; zum Beispiel c 'as ''fes ...
• Tonfolgen schräg nach rechts unten sind reine Kleinterzen mit dem Frequenzverhältnis ⁶/₅; zum Beispiel c 'es ''ges ...

    ,,,fis ,,,cis  ,,,gis   ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis ,,,his  ,,,fisis
     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
   /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
  ,,d    ,,a     ,,e     ,,h     ,,fis   ,,cis   ,,gis   ,,dis   ,,ais
   \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
     ,f       ,c      ,g      ,d      ,a     ,e      ,h      ,fis     ,cis
       \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
        \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
         \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
          as      es      b       f       c       g       d       a       e
           \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
            \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
             \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
            'ces     'ges    'des    'as     'es     'b      'f      'c      'g
               \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
                \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
                 \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
                ''eses   ''bb    ''fes   ''ces   ''ges   ''des   ''as    ''es    ''b

Erweitert man diese waagrechten und schrägen Tonfolgen, kann man auf den Tonvorrat der 53-Skala zurückgreifen, wenn man Töne - obgleich numerisch verschiedenartig - enharmonisch "schismatisch" (±S) bzw. "kleismatisch" (±K) verwechselt.

S: Schismatisch verwechselte Töne - zum Beispiel ,his-c oder h-'ces usw. unterscheiden sich um ein Schisma = Pythagoreisches Komma - Syntonisches Komma ≈ 2 Cent.

K: Kleismatisch verwechselte Töne - zum Beispiel '''des-,,,cisis oder '''fes-,,,eis oder c-,,,,,,hisis usw. unterscheiden sich um ein Kleisma = 2Oktaven - 6(kleineTerzen) - Quarte = 6Großterzen - 5Quinten + Oktave ≈ 8 Cent.^[13]

Zum Beispiel:

• In der Quintenfolge c g d a e h kann man h durch 'ces ersetzten mit einer Ungenauigkeit von einem Schisma.
• In der Großterzenfolge c 'as ''fes '''des kann man '''des ersetzten durch ,,,cis mit einer Ungenauigkeit von einem Kleisma.
• In der Kleinterzenfolge c 'es ''ges ''bb (Tanakas Schreibweise bb=heses) kann man das ''bb ersetzen durch ,,,,ais mit einer Ungenauigkeit von einem Kleisma.

Erläuterung zur Originaltabelle von Tanaka: Setzt man das Parallelogramm nach allen Seiten fort, so erhält man:

oben je einen Ton zusätzlich rechts und links in der Quintenreihe plus die Zeile darüber

  ,,,,dis  ,,,,ais ,,,,eis ,,,,his ,,,,fisis ,,,,cisis ,,,,gisis ,,,,disis ,,,,aisis ,,,,eisis
    /  \    / \    /  \     /  \    /  \     /  \       / \        /   \    /    \   /
   /    \  /   \  /    \   /    \  /    \   /    \     /   \      /     \  /      \ /
,,,h ,,,fis ,,,cis  ,,,gis     ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis      ,,,his   ,,,fisis ,,,cisis

unten je einen Ton rechts und links in der Quintenreihe plus die Zeile darunter

       ''asas  ''eses   ''bb   ''fes   ''ces   'ges   ''des   ''as  ''es   ''b     ''f
        /  \      /\      / \    /  \     / \     / \    / \    / \   /  \   /  \    /  \
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'''feses '''ceses '''geses '''deses '''asas '''eses '''bb '''fes '''ces  '''ges '''des '''as

Die enharmonischen Verwechslungen sind hierbei oben

,,,h=''b+K-S / ,,,cisis=,,d+S (K=Kleisma≈8 Cent, S=Schisma≈2 Cent)

,,,,dis=''eses+K / ,,,,ais=''heses+K / ,,,,eis=''fes+K / ,,,,his=''ces+K /,,,,fisis=''ges+K

,,,cisis=''des+K/ ,,,,gisis=''as+K/ ,,,,disis=''es+K/ ,,,,aisis=''b+K/ ,,,,eisis=,,,fis+S

und unten

''asas='g-S / ''f=,,,fis-K+S

'''feses=''es-S / '''ceses=''b-S / '''geses=,,,fis-K / '''deses=,,,cis-K / '''asas=,,,gis-K / '''eses=,,,dis-K

'bb=,,,ais-K / '''fes=,,,eis-K / '''ces=,,,his+K / '''ges=,,,fisis+K / '''des=,,d-K+S / '''as=,,a-K+S

Die mitteltönige Stimmung in additiver Schreibweise

In der additiven Schreibweise für Intervalle, die seit Zarlino verwendet wird, sind die benachbarten Intervalle der reinen C-Dur-Tonleiter:

• c-d = 9 Teile, d-e = 8 Teile, e-f = 5 Teile, f-g = 9 Teile, g-a = 8 Teile, a-h = 9 Teile und h-c′ = 5 Teile.^[14]

In dieser Einteilung sind die großen Terzen c-e = f-a = g-h = 17 Teile rein (Frequenzverhältnis ⁵/₄), die Quinten F-c = c-g = e-h= g-d′ = a-e′ = 31 Teile rein (Frequenzverhältnis ³/₂) und die Oktave c-c′ = 53 Teile rein (Frequenzverhältnis ²/₁).

Wenn wir nun, um weitere Tonleitern spielen zu können, weitere Halbtöne dazwischen einfügen, kommt das System sofort durcheinander, da sich die Ganztöne (groß = 9 Teile, klein = 8 Teile) verändern. (Theoretisch entstehen die beiden verschiedenen Ganztöne durch Überlegungen in der Harmonik. In Melodien kann der Unterschied vernachlässigt werden.) Bei der mitteltönigen Stimmung werden diese beiden Ganztöne gemittelt.

Die C-Dur-Tonleiter lautet dann:

• c-d = 8¹/₂ Teile, d-e = 8¹/₂ Teile, e-f = 5¹/₄ Teile, f-g = 8¹/₂ Teile, g-a = 8¹/₂ Teile, a-h = 8¹/₂ Teile und h-c′ = 5¹/₄ Teile.^[15]

Bei dieser Einteilung sind die großen Terzen c-e, f-a und g-h rein, die Quinten F-c = c-g = g-d′ = d-a = a-e′ = e-h = 30³/₄ Teile groß (also ¹/₄ Teil kleiner als die reine Quinte).

Vier mitteltönige Quinten und die damit erhaltene reine Terz

(c) Joachim Mohr, CC BY-SA 3.0 Geringen Schwebungen in den Quinten, aber keine Schwebung bei der reinen Terz.

Bei der mitteltönigen Stimmung kann nun die C-Durtonleiter um weiteren Halbtönen ohne Probleme ergänzt werden, oft folgendermaßen:

• cis-d = d-es = fis-g = gis-a = a-b = 5³/₄ Teile.

Wie hier die C-Dur-Tonleiter sind nun auch die Tonleitern in B-, F-, G-, D- und A-Dur aufgebaut.

Enharmonisch verwechselte Töne unterscheiden sich allerdings um 2 Teile, wie der folgenden Tabelle entnommen werden kann.

Beschreibung der Tonstruktur hörpsychologisch ohne Akustik

Das Verständnis über Töne und Intervalle kann ohne physikalische Begriffe vermittelt werden. Die ersten bekannten hörpsychologisch mathematischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.^[16] Die Tonhöhe eines bestimmten Tones kann durch eine „Ur“-Stimmgabel ohne Angabe seiner Frequenz festgelegt und weitervermittelt werden (ähnlich wie die Einheit Meter durch das Urmeter festgelegt werden kann). Ein Lehrer kann seinem Schüler „zeigen“, was ein Oktave, eine Quinte, eine große Terz usw. ist, ohne auf das Frequenzverhältnis der Schwingungen einzugehen. Im Folgenden wird die zugrundeliegende Theorie erläutert.^[17]

Beschreibung der Tonstruktur als Algebraische Struktur

Bei einer Tonstruktur hat man einerseits eine Menge von Tönen und andererseits eine Menge von Intervallen, für die die folgenden Regeln gelten:

Jedem Tonpaar ${\displaystyle (x,y)}$ wird ein eindeutiges Intervall ${\displaystyle i={\overrightarrow {xy}}}$ von ${\displaystyle x}$ zu ${\displaystyle y}$ zuordnet.

Ist umgekehrt der Grundton ${\displaystyle x}$ und das Intervall ${\displaystyle i}$ bekannt, so ist durch ${\displaystyle i={\overrightarrow {xy}}}$ der Endton ${\displaystyle y}$ eindeutig bestimmt.

Die Hintereinanderausführung von Intervallen definiert eine Addition: Ist ${\displaystyle i={\overrightarrow {xy}}}$ und ${\displaystyle j={\overrightarrow {yz}}}$, dann ist ${\displaystyle i+j={\overrightarrow {xz}}}$.

Intervalle kann man vergleichen: Wir schreiben ${\displaystyle i<j}$, wenn der Endton von ${\displaystyle j}$ höher als der Endton von ${\displaystyle i}$ bei gleichem Grundton ist.

Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen. Mathematisch gesehen ist der Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Dies ergibt sich rein hörpsychologisch aus der Erfahrung der musikalischen Praxis.

Zum Messen der Intervallgröße eignet sich als Maßeinheit die Oktave mit der Untereinheit Cent mit 1200 Cent = 1 Oktave.

Zum Beispiel sind 12 Quinten ungefähr so groß wie sieben Oktaven. Daraus folgt: 12 Quinten ≈ 7 Oktaven, also Quinte ≈ ${\displaystyle {\frac {7}{12}}}$ Oktave = 700 Cent.

Beispiel 1 (Oktave = 12 Halbtöne)

• Geht man 12 Quinten nach oben, so erhält man oktaviert (ungefähr) wieder den Ausgangston: 12 Quinten = 7 Oktaven. Folglich ergibt sich Quinte = ⁷⁄₁₂ Oktave = 700 Cent. Entsprechend:
• Geht man drei große Terzen nach oben, so erhält man (ungefähr) eine Oktave. Also ist große Terz = ¹⁄₃ Oktave =400 Cent.^[18] Hier kann man nun weiter rechnen:
• Kleine Terz = Quinte − große Terz = ¹⁄₄ Oktave =300 Cent und
• Halbton = Große Terz − kleine Terz = ¹⁄₁₂ Oktave =100 Cent.
• So kann man rein hörpsychologisch die Oktave (angenähert) in 12 Halbtöne teilen und jedes Intervall als Vielfaches von Halbtönen darstellen.^[16]

Beispiel 2 (Oktave = 53 Kommata)

Zu Zeiten Zarlinos (16. Jahrhundert) lehrte man in Musikschulen: Der große Ganzton hat eine Größe von 9 Teilen, der kleine Ganzton von 8 Teilen und der diatonische Halbton von 5 Teilen.

Hieraus folgt:

• Oktave = 1200 Cent = 3 große Ganztöne + 2 kleine Ganztöne + 2 diatonische Halbtöne = 53 Teile
• große Terz = großer Ganzton + kleiner Ganzton = 17 Teile = 385 Cent
• kleine Terz = großer Ganzton + diatonischer Halbton = 14 Teile = 317 Cent
• Quinte = große Terz + kleine Terz = 31 Teile = 702 Cent^[19]

Mit dieser Einteilung ließen sich die Größenverhältnisse für die reine Intonation von Tonschritten einfach beschreiben.

• diatonischer Halbton = 5 Teile
• kleiner Ganzton = 8 Teile
• Großer Ganzton = 9 Teile
• verminderte Terz (siehe nebenstehendes Beispiel B - Gis = B-A (5Teile) + A-Gis (5 Teile) = 10 Teile

Diese Teilung der Oktave in 53 Teile kann aus zwei ganzzahligen Beziehungen für die drei Intervalle Ok =Oktave, Q=Quinte und gT=große Terz ohne Bezugnahme auf die Frequenzverhältnisse rein mathematisch hergeleitet werden. (Am Spinett bestätigt von Neumaier^[16])

• 53 Q = 31 Ok (kein Unterschied zwischen Ausgangston und oktaviert nach 53 Quinten hörbar)
• 12 Q - 7Ok = 4Q - 2Ok -gT (kein Unterschied zwischen syntonischem Komma und pythagoreischem Komma hörbar). Umgeformt ergibt sich 8 Q = 5 Ok - gT. Musikalische interpretiert: kein Unterschied zwischen gis und 'as. (Der genaue Unterschied zwischen gis und 'as ist ein Schisma = 2 Cent.).

Dieses Gleichungssystem aufgelöst ergibt mit k = ¹/₅₃Ok:

• Ok = 53k
• Q = 31k
• gT = 17k^[20]

Nun kann man weitere Intervalle definieren und als Vielfache von k darstellen: Zum Beispiel:

• Quarte = Ok - Q = 22k
• kleine Terz = Q - gT = 14k
• großer Ganzton = 2Q - Ok = 9k
• kleiner Ganzton = gT - großer Ganzton = 8k
• diatonischer Halbton = gT - kleine Terz = 5k

Beispiel 3 (Das Quint Terz-System)

Axiom: Es gibt einen Homomorphismus f von der additiven Gruppe des Intervallraums mit den Intervallen Ok = Oktave, Q = Quinte und gT = große Terz in die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen, für die gilt:

• f(Ok) = 2
• f(Q) = ³/₂ und
• f(gT) = ⁵/₄

Homomorphismus besagt: f(i₁ +i₂) = f(i₁)•f(i₂) und f(r•i) = f(i)^r für Intervalle i₁, i₂ und i sowie für eine reelle Zahl r^[21].

Für die Berechnung von r und s für Q=r•Ok und gT = s•Ok folgt mit der Untereinheit Ok = 1200 Cent:

• f(r•Ok) = 2^r = ³/₂ also Q = log₂(³/₂)Ok = 701,955 Cent
• f(s•Ok) = 2^s = ⁵/₄ also gT = log₂(⁵/₄)Ok = 386,314 Cent.

Beispiele ausführlich

Intervalle der gleichstufigen Stimmung

Die 12-stufige Tastatur

Intervalle der pythagoreischen Stimmung

Um 1270 gab es Instrumente mit 12-stufigen Tastaturen. Auf diesen musste man sich entscheiden, wie die schwarzen Tasten gestimmt wurden. Entweder als Des oder als Cis, als Dis oder Es u. s. w.

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der pythagoreischen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervalle: C-Cis, C-Des*, C-D, C-Dis*, C-Es, C-E, …, Cis-Dis*, Cis-Es, Cis-E, Cis-F, Cis-Fis, …, Des*-Es, Des*-E, …, D-Dis*, D-Es, D-E, … Die Intervalle wurden dann der Größe in Cent nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der pythagoreischen Stimmung sind die Quinten der Folge Ges*-Des*-As*-Es-B-F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis-Dis*-Ais* rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Hinweis: Die Töne Ges*, Des*, As*, Dis* und Ais* sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um das pythagoreische Komma.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle Oktave und Quinte darstellbar.

• Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2:1)
• Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2).

Intervalle der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung

Mitteltönige Tastatur

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der mitteltönigen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: (C)-(Cis), (C)-(Des*), (C)-(D), (C)-(Dis*), (C)-(Es), (C)-(E), …, (Cis)-(Dis*), (Cis)-(Es), (Cis)-(E), (Cis)-(F), (Cis)-(Fis), …, (Des*)-(Es), (Des*)-(E), …, (D)-(Dis*), (D)-(Es), (D)-(E), … Die Intervalle wurden dann der Größe (in Cent) nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung sind die Quinten der Folge (Ges*)-(Des*)-(As*)-(Es)-(B)-(F)-(C)-(G)-(D)-(A)-(E)-(H)-(Fis)-(Cis)-(Gis)-(Dis*)-(Ais*) um ein Viertel des syntonischen Kommas (Frequenzverhältnis 81:80) kleiner (oder enger) als die reine Quinte gestimmt. Diese Quinten haben also das Frequenzverhältnis

${\displaystyle w={\frac {3}{2}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {80}{81}}}={\sqrt[{4}]{5}}.}$

Hinweis: Die Töne (Ges*), (Des*), (As*), (Dis*) und (Ais*) sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um die kleine Diësis (41 Cent). Intervalle der Form zum Beispiel (Cis)-(Des*) vermitteln jedoch einen Eindruck, welche Unreinheiten bei enharmonischen Verwechslungen auftreten.

Das Frequenzverhältnis in der dritten Spalte ist häufig algebraisch-irrational. Hier bedeutet

${\displaystyle w={\sqrt[{4}]{5}},\ w^{2}={\sqrt[{4}]{5^{2}}}{\text{ und }}w^{3}={\sqrt[{4}]{5^{3}}}.}$

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle des Mitteltönig-Quinten-Systems darstellbar.

• Ok = Oktave
• Q_m = mitteltönige Quinte.

Die Große Terz T = (C) − (E) ist hier darstellbar als T = 4Q_m − 2Ok. Die jeweilige Berechnung erscheint in der 4. Spalte.

Intervalle der reinen Stimmung

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der reinen Stimmung auftreten können. Ausgehend von der chromatischen Tonleiter C ’Des D ’Es,E F,Fis G ’As,A ’B,H C wird berechnet jedes der Intervalle: C-,Cis / C-’Des / C-D / C-,,Dis / C-’Es / C-,E / … / ,Cis-,,Dis /,Cis-’Es /,Cis-,E /,Cis-F /,Cis-,Fis / … / D-,,Dis / D-’Es / D-,E / … (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »’x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«. Die reine C-Dur-Tonleiter schreibt sich als »C D,E F G,A ,H c«. Die reine c-Moll-Tonleiter schreibt sich als »C D ’Es F G ’As ’B c«). Die Intervalle wurden dann der Größe nach (in Cent) geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Intervallreferenz ist C-Dur und c-Moll mit den reinen Akkorden C-,E-G / C-’Es-G / F-,A-c / F-’As-c / G-,H-D und G-’B-d / ergänzt um weitere Zwischentöne mit den diatonischen Halbtonschritten (Frequenzverhältnis 16/15) C-’Des /,Cis-D / ,,Dis-,E / F-’Ges /,Fis-G / ,,Gis-,A und ,,Ais-,H.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der drei Grundintervalle des Quint-Terz-Systems darstellbar.

• Ok = Oktave
• Q = Quinte und
• T = große Terz.

Die jeweilige Berechnung erscheint in der 5. Spalte.

Intervalle nach Größe geordnet

Bezeichnungen:

C-Cis-Des*-D-Dis*-Es-E… Pythagoreische Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf reinen Quinten.

(C)-(Cis)-(Des*)-(D)-(Dis*)-(Es)-(E)-(F)-… ¼-Komma-mitteltönige Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf mitteltönigen Quinten (696,578 Cent).

C-,Cis-’Des-D-,,Dis-’Es-,E … Reine Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »’x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«).

• Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2)
• Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2)
• Q_m = mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis ${\displaystyle w={\sqrt[{4}]{5}}\mathrel {\hat {\approx }} 696{,}578\,{\text{Cent}}}$)
• T = große Terz (Frequenzverhältnis 5:4).

Weblinks

• Auflistung aller pythagoreischen, mitteltönigen und reinen Intervalle von C-Cis bis h-c

Anmerkungen

1. ↑ Quellen: Rudolf Wille: Mathematik und Musiktheorie. In: Musik und Zahl. Bonn/Bad Godesberg 1976, S. 233–264; Mathematische Sprache in der Musiktheorie. In: Jahrbuch Überblicke Mathematik. 1980, S. 167–184; Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios,dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra. Verlag Peter Lang, Frankfurt am Main, ISBN 3-8204-9492-8.
2. ↑ Cooper, Paul (1973). Perspectives in Music Theory: An Historical-Analytical Approach, S. 16. ISBN 0-396-06752-2. Zitat="common in most musical systems"
3. ↑ Die Angaben beziehen sich auf die reine Stimmung, bei der Intervallen ganzzahlige Verhältnisse zugeordnet werden können.
4. ↑ Euklid rechnete mit Proportionen, nämlich mit Saitenverhältnissen, die dem Kehrwert der Frequenzverhältnisse entsprechen.
5. ↑ Herleitung: Aus Quinte = k · Oktave folgt ³/₂ = ${\displaystyle f}$ (Quinte) = ${\displaystyle f}$(k · Oktave) = ${\displaystyle f}$ (Oktave)^k = 2^k, und aus 2^k = ³/₂ folgt k = log₂ (³/₂).
6. ↑ Schon der Pythagoreer Archytas von Tarent (ca. 400 v. Chr.) bewies, dass die Oktave, die Quinte und Quarte usw. nicht halbierbar sind, wenn man kommensurable Größen zugrunde legt.
7. ↑ eclass.uoa.gr
8. ↑ Beachte: 700-11p hat das Frequenzverhältnis: (2/3)¹¹•2⁷ (11 Quinten abwärts oktaviert, siehe asas) ⇒ 2^{(700-11p+3K)/1200} = (2/3)¹¹•2⁷•(81/80)³=¹⁹²/₁₂₅
9. ↑ Die Tiefkommata bei den Tonnamen greifen die Bezeichnungen im Eulerschen Tonnetz auf. Die Farbe der Tonnamen korrespondiert mit jener der Kreismarken.
10. ↑ Bei der Eulerschen Schreibweise - eine Notation für die reine Stimmung bedeutet das Tiefkomma eine Erniedrigung um das syntonische Komma = 21,5 Cent. Hier bedeutet das Tiefkomma eine Erniedrigung um 1200/53 Cent = 22,6 Cent. Eine Abweichung von 1 Cent kann man nicht vom Hören her unterscheiden.
11. ↑ Die Annäherungen der Oktave durch Quinten (12 Quinten entspricht ungefähr 7 Oktaven) führte zur gleichstufigen Temperierung durch Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Sie hat den Nachteil sehr rauer großer Terzen. Die nächste Annäherung (41 Quinten entspricht ungefähr 24 Oktaven) ist für eine gleichstufige Unterteilung der Oktave in 41 Teile besser, allerdings nicht befriedigend bezüglich der großen Terz und der Verrückungen um ein syntonisches Komma. Die folgende Annäherung der Oktave (53 Quinten entspricht fast genau 31 Oktaven) hat einen überzeugenden Vorteil: Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle, so entspricht die 31. Stufe (701,887 Cent) sehr genau der reinen Quinte (701,955 Cent) und – das ist besonders wichtig und so nicht zu erwarten – die 17. Stufe (384,906 Cent) der Großterz (386,314 Cent) und die Verrückung um ein syntonisches Komma (21,506 Cent) um fast genau eine Stufe (22,642 Cent) dieser Temperierung.
12. ↑ Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Vieweg, Braunschweig 1863, S. 531 (Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981), ISBN 3-8102-0715-2, (Exzerpt). Helmholtz schreibt weiter: „Eine solche Stimmung hat neuerdings Herr Bosanquet für ein Harmonium mit symmetrisch angeordneter Tastatur benutzt. [An elementary Treatease on Musical Intervals and Temperament by. R.H.M. Bosanquet, London. Macmillan 1875]“.
13. ↑ Tanaka bemerkt dazu: Rameau berechnete das Intervall des Kleisma in der Tabelle auf S. 26 seines Buches "Nouveau Système des Musique théorique, Paris 1726.
14. ↑ Wir rechnen hier additiv mit der Zarlino-Schreibweise für Intervalle und nicht multiplikativ mit Frequenzverhältnissen, was eine ganz geringfügige Abweichung (maximal 2 Cent) von der reinen Stimmung bedeutet. Ein Teil hat die Größe von 1200:53 Cent = 22,6 Cent, was angenähert dem pythagoreischen Komma (23,5 Cent) bzw. dem syntonischen Komma (21,5 Cent) entspricht.
15. ↑ Die Halbtöne e-f und h-c′ werden hier noch um ¹/₄ Teil vergrößert, damit die Oktave c-c′ mit 53 Teilen erreicht wird.
16. ↑ ^{a b c} Winfried Neumaier S. 64ff. zeigt: Schon Aristoxenos rechnete im 3. Jh. vor Chr. wie hier im Abschnitt beschrieben. Er rechnete mit Oktave, Quinte, Quarte = Oktave − Quinte, Ganzton = Quinte − Quarte und mit Hilfe des Axioms, dass man den Ganzton noch teilen kann, mit Halbtönen und sogar mit Vierteltönen (nicht jedoch mit reinen großen Terzen). Als Erfahrungswert „erhörte“ er: Quarte = 2½ Ganztöne und baute darauf eine in sich schlüssige Theorie. (Euklid erkannte: 2½ Ganztöne sind geringfügig kleiner als die Quarte.)
    Nach Neumaier kann man zum Beispiel am Spinett noch verifizieren: 53 Quinten = 31 Oktaven (kein Hörunterschied mehr) und dies ergibt dann: Quinte=³¹⁄₅₃ Oktave=702 Cent. Man kann also ohne Akustik schon sehr genaue Werte für Intervallgrößen ermitteln.
17. ↑ Dies ist neben der Anschaulichkeit für die Interpretation historischer Tonsystembeschreibungen wichtig. Nach Wilfried Neumaier Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios, dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra (= Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis in die Gegenwart. Bd. 9). Peter Lang, Frankfurt am Main u. a. 1986, ISBN 3-8204-9492-8.
18. ↑ Die nächstbessere Annäherung wäre: 28 große Terzen = 9 Oktaven (mit dem Gehör wohl kaum nachvollziehbar), also große Terz = ⁹⁄₂₈ Oktave =386 Cent.
19. ↑ Die genauen Werte der Intervalle in der reinen Stimmung, die mit Hilfe der Frequenzverhältnisse berechnet werden, unterscheiden sich von den hier ermittelten Werten nur noch ganz geringfügig:
    • große Terz (rein) = 1200•log₂(⁵/₄) = 386 Cent
    • kleine Terz (rein) = 1200•log₂(⁶/₅) = 316 Cent
    • Quinte (rein) = 1200•log₂(³/₂) = 702 Cent
20. ↑ Die Abweichung von der reinen Stimmung ist kleiner als ein Schisma (2 Cent).
    • Ok = 1200 Cent (Also k = ¹²⁰⁰/₅₃ Cent = 22,642 Cent)
    • Q = 1200*log₂(³/₂) Cent = 701,955 Cent. 31k = 701,887 Cent
    • gT = 1200*log₂(⁵/₄)) Cent = 386,3137 Cent. 17k = 384,906 Cent
21. ↑ Wenn keine Skalarmultiplikation im Intervallraum ${\displaystyle I}$ vorausgesetzt wird, gilt die Definition ${\displaystyle r\cdot Ok=\sup\{i\in I\mid {\frac {z}{n}}\leq r,n\cdot i\leq z\cdot Ok,z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \}}$. Diese kleinste obere Schranke muss nicht immer existieren. Das Quint-Terz-System (der Intervallraum aller Vielfache von Ok, Q und gT) enthält zum Beispiel nicht ${\displaystyle {\frac {1}{2}}Ok=600Cent}$, da ${\displaystyle \sup\{i\in I\mid 2\cdot i\leq Ok\}}$ nicht existiert, nur beliebige Näherungen. Zum Beispiel
    • 2Q+gt-Ok = 590 Cent (Tritonus)
    • 6Ok-5Q-8gT=599,7 Cent
    • 706Q-285Ok-396gT=599,99992 Cent
22. ↑ Im Gegensatz zur reinen oder mitteltönigen Stimmung ist in der pythagoreischen Stimmung der Ton Cis höher als Des oder – besser bekannt – His höher als c. Deshalb ist der Ton Deses tiefer als C und das Intervall Cis-Des* bzw. C-Deses hier negativ notiert. Das um eine Oktave vergrößerte Intervall Cis-des* bzw. C-deses ist hier als pythagoreische verminderte None notiert. Um von Cis nach Des zu gelangen, bzw. von His nach c muss man zwölf Quinten nach unten und sieben Oktaven nach oben. Das pythagoreische Komma erhält man bekanntlich als Intervall = zwölf Quinten nach oben und sieben Oktaven nach unten.