Tonstruktur (mathematische Beschreibung)

Eine Tonstruktur beschreibt ein Tonsystem mit Hilfe von Tönen und Intervallen. Seit der Antike wird der Tonvorrat einer Musikkultur zum einen über die Angabe von Tonhöhen und zum andern über den Begriff des Intervalls wiedergegeben.[1]

Heutzutage werden Tonhöhen und Intervalle über Frequenzen und Frequenzverhältnisse beschrieben. Bekannt ist die Musiktheorie des Pythagoras mit Hilfe von Proportionen (= Saitenverhältnisse am Monochord = Kehrwert der Frequenzverhältnisse).

Die mathematische Lehre von den Tönen und Intervallen ist jedoch auch ohne diese physikalischen Begriffe exakt möglich (siehe hörpsychologische Beschreibung). Die ersten bekannten hörpsychologischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.

Alle unten aufgeführten Tonsysteme sind auf das Intervall der Oktave bezogen.[2]

Der geordnete Tonraum

Jeder Ton hat eine Frequenz.

Beispiel: c′ (das eingestrichene c) hat die Frequenz 264 Hz, e′ die Frequenz 330 Hz, g′ die Frequenz 396 Hz und c″ die Frequenz 528 Hz.[3]

Töne kann man in der Höhe unterscheiden. Dabei gilt: Je höher ein Ton erklingt, umso größer ist seine Frequenz. Mathematisch gesehen handelt es sich um eine (transitive und trichotomische) strenge Totalordnung.

Transitiv heißt: Aus a höher als b und b höher als c folgt a höher als c.
Trichotomisch heißt: Für Töne a und b gilt: Entweder a = b oder a höher als b oder b höher als a.

Der geordnete additive Intervallraum

Je zwei Tönen x und y (mit den Frequenzen f1 und f2) ist eindeutig ein Intervall xy zugeordnet (mit dem Frequenzverhältnis q = f2 : f1).

Beispiel: Die Oktave c′c″ hat das Frequenzverhältnis 528:264 = 2, die reine Quinte c′g′ das Frequenzverhältnis 396:264 = 3:2, die große Terz c′e′ das Frequenzverhältnis 330:264 = 5:4 und die kleine Terz e′g′ das Frequenzverhältnis 396:330 = 6:5.[4]

Zu jedem Anfangston x (mit der Frequenz f1) und zu jedem Intervall i (mit dem Frequenzverhältnis q) ist eindeutig ein Endton y (mit der Frequenz f2 = f1q) des Intervalls i = xy zugeordnet.

Beispiel: Hat a′ die Frequenz f1 = 440 Hz, so hat der Ton c″, der um eine kleine Terz mit dem Frequenzverhältnis q = 6:5 höher erklingt, die Frequenz f2 = 440 Hz · 6/5 = 528 Hz.

In der Sprache der Musiker werden Intervalle bei der Hintereinanderausführung addiert. Der Intervallraum besitzt in diesem Sinne eine additive Struktur.

Beispiel: große Terz + kleine Terz = Quinte.
12 Quinten sind ungefähr gleich 7 Oktaven. Der Unterschied wird als pythagoreisches Komma bezeichnet. Man schreibt dazu: pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven. Führt man drei reine große Terzen hintereinander aus (zum Beispiel c-e-gis-his), so erhält man (von c nach his) ein Intervall, das etwas kleiner als die Oktave ist. Der Unterschied heißt kleine Diësis. Somit: kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen.

Der Addition von Intervallen entspricht die Multiplikation der Frequenzverhältnisse und der Subtraktion von Intervallen die Division der Frequenzverhältnisse.

Beispiel: Der Addition kleine Terz + große Terz = Quinte entspricht die Multiplikation 6/5 · 5/4 = 3/2.
Das Frequenzverhältnis des pythagoreischen Kommas errechnet sich zu (3/2)12 : 27 = 531.441 : 524.288 ≈ 1,013.643 und das der kleinen Diësis zu 2 : (5/4)3 = 128 : 125 = 1,024.

Intervalle kann man in der Größe vergleichen. Dabei gilt: Je größer das Intervall, umso größer ist sein Frequenzverhältnis.

Das Frequenzverhältnis wächst exponentiell an.

Beispiel:

IntervallFrequenzverhältnisIntervallFrequenzverhältnis
1 Oktave21 Quinte3/2
2 Oktaven42 Quinten9/4
3 Oktaven83 Quinten27/8
4 Oktaven164 Quinten81/16
5 Oktaven325 Quinten243/32
••••••

Mathematisch gesehen ist ein Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe.

Intervalle und Frequenzverhältnisse

Streng mathematisch kann man formulieren:

Es gibt eine Funktion von der additiven Gruppe der Intervalle in die multiplikative Gruppe der Frequenzverhältnisse .

Die Abbildung ist ein Homomorphismus, d. h. werden zwei Intervalle addiert, so werden ihre Frequenzverhältnisse multipliziert.

Beispiel: Aus große Terz + kleine Terz = Quinte folgt: (große Terz) · (kleine Terz) = (Quinte), nämlich 5/4 · 6/5 = 3/2.

Solche Funktionen wachsen exponentiell. Zum Beispiel: Aus (Quinte) = 3/2 folgt (12 Quinten) = .

Die Umkehrfunktion von ist der Logarithmus zur Basis 2. Damit lässt sich die Größe eines Intervalls als Vielfaches der Einheit Oktave oder der Untereinheit Cent „messen“ (dabei gilt 1200 Cent = 1 Oktave).

Beispiel: Da (Quinte) = 3/2, folgt Quinte = log2 (3/2) Oktave ≈ 702 Cent.[5]

Messung der Größe von Intervallen

Intervalle kann man als Vielfache von einer Oktave angeben. Oft wird jedoch die Untereinheit Cent verwendet.

Es handelt sich dabei um ein logarithmisches Maß der Frequenzverhältnisse. Die Untereinheit Cent mit der Definition 1200 Cent = 1 Oktave oder 1 gleichstufiger Halbton = 100 Cent ermöglicht eine anschauliche Vorstellung von der Größe verschiedener Intervalle, die auch der musikpraktischen Empfindung entspricht. Sie ermöglicht aber keine exakte Repräsentation all derjenigen Intervalle, die nicht dem gleichstufig-temperierten System entstammen, wie z. B. alle Intervalle der reinen oder mitteltönigen Stimmung (außer trivialerweise der ganzzahligen Vielfachen der Oktave). Diese können immer nur näherungsweise dargestellt werden, da ihre Cent-Werte irrational sind (Satz von Lindemann-Weierstraß).

Beispiel
IntervallFrequenzverhältnisGröße
1 Oktave21200 Cent
2 Oktaven42400 Cent
3 Oktaven83600 Cent
k Oktaven2k1200 · k Cent
log2 (q) Oktavenq1200 · log2 (q) Cent
gleichstufiger Halbton = 112 Oktave100 Cent
reine kleine Terz6:5
reine große Terz5:4
reine Quinte3:2
Pythagoreisches Komma531441:524288
kleine Diësis128:125
( = Logarithmus zu beliebiger Basis b>0, = Logarithmus zur Basis 2).

Durch die Verwendung des Logarithmus bei der Centberechnung wird aus der multiplikativen Struktur der Frequenzverhältnisse wieder die additive Struktur der Intervalle.

Beispiel:
Quinte = kleine Terz + große Terz ≈ 315,641 Cent + 386,314 Cent = 701,955 Cent.
pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven ≈ 12 · 701,955 Cent − 7 · 1200 Cent = 23,460 Cent.
kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen ≈ 1200 Cent − 3 · 386,3137 Cent ≈ 41,059 Cent.

Berechnung der Intervallgröße und des Frequenzverhältnisses

Ist das Frequenzverhältnis des Intervalls, so berechnet sich die Größe des Intervalls zu:

Beispiel: Die reine Quinte hat das Frequenzverhältnis von . Dann berechnet sich ihre Größe zu

Ist andererseits das Intervall, so berechnet sich das Frequenzverhältnis zu:

Beispiel 1: Das Intervall von der Größe hat das Frequenzverhältnis von:

Beispiel 2: Die reine Quinte hat ungefähr die Größe 702 Cent, genau . Das Frequenzverhältnis berechnet sich dann zu:

Beispiele für Intervallräume

Ein Intervallraum besteht aus der Menge aller Intervalle der zu betrachtenden Tonstruktur verbunden mit der Verknüpfung der Addition der zugehörigen Intervalle. Die Intervallgrößen einzelner Stimmungen unterscheiden sich.

In den folgenden Tabellen bedeutet:

  • Ok = Oktave (Frequenzverhältnis ),
  • H = Halbton (Frequenzverhältnis ),
  • Q = Quinte (Frequenzverhältnis ),
  • Qm = ¼-Komma mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis ),
  • T = Terz (Frequenzverhältnis ).
Name des IntervallraumsIntervallraum
Das Quintensystem
Intervallraum der pythagoreischen Stimmung
Das ¼-Komma mitteltönige Quintensystem
Intervallraum der mitteltönigen Stimmung
Das Quint-Terz-System
Intervallraum der reinen Stimmung
Der zwölfstufige Intervallraum = Intervallraum der gleichstufigen Stimmung
Der 53-stufige Intervallraum
Der allumfassende Intervallraum
(Alle Intervalle sind beliebig teilbar.)
Teilbarkeit von Intervallen

Im Allgemeinen kann man Intervalle vom Gehör her nicht „teilen“. Die „halbe Quinte“ (350 Cent) wäre zwischen kleiner und großer Terz anzusiedeln und ist im Stimmungssystem weder der pythagoreischen noch der mitteltönigen, reinen oder gleichstufigen Stimmung ein vorkommendes Intervall. Auch die halbe Oktave (600 Cent) existiert nicht im Stimmungssystem der pythagoreischen, der mitteltönigen oder reinen Stimmung.[6]

Pythagoreische Stimmung

Die Grundlage der pythagoreischen Stimmung ist das Quintsystem mit den folgenden Intervallen:

IntervallDarstellungFrequenzverhältnisGröße in Cent
OktaveOk (Grundintervall)2:1=1200
QuinteQ (Grundintervall)3:2≈702
Ganzton2 Q − Ok9:8≈204
pythagoreische große Terz (Ditonos)2 Ganztöne = 4 Q − 2 Ok81:64≈408
QuarteOk − Q4:3≈498
pythagoreischer Halbton (Limma)Quart-Ditonos = 3 Ok − 5 Q256:243≈90
pythagoreischer chromatischer Halbton (Apotome)Ganzton-Limma = 7Q − 4Ok2187:2048≈114
pythagoreisches Komma12 Q − 7 Ok531441:524288≈23
ausführliche Tabelle

Mitteltönige Stimmung

Die Grundlage der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung ist das ¼-Komma-mitteltönige Quintsystem mit den folgenden Intervallen:

IntervallDarstellungFrequenzverhältnisGröße in Cent
Oktave OkOk (Grundintervall)2:1=1200
Quinte QmQm (Grundintervall)≈697
Große Terz4 Qm − 2 OK = T5:4≈386
QuarteOk − Qm≈503
Kleine Sext3 Ok − 4 Qm = Ok − T8:5≈814
Kleine Terz2 Ok − 3 Qm≈310
Große Sext3 Qm − Ok≈890
Ganzton2 Qm − Ok≈193
Kleine Septime2 Ok − 2 Qm≈1007
Halbton3 Ok − 5 Qm≈117
Große Septime5 Qm − 2 Ok≈1083
ausführliche Tabelle

Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes

In der reinen Stimmung genügt nicht nur die Angabe der Tonbezeichnung nach dem Notenbild. Es muss noch eine Bezeichnung hinzukommen, bei der erkennbar ist, ob die vorkommenden Quinten und Terzen rein erklingen. Dazu sind die Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes hilfreich:

Reine Quinten im Quintenzirkel: … es b f c g d a e …

Ein syntonisches Komma tiefer …,es,b ,c,g ,d,a ,e … (Tiefkomma vor der Tonbezeichnung)

Ein syntonisches Komma höher … ’es ’b ’c ’g ’d ’a ’e … (Hochkomma vor der Tonbezeichnung)

Beispiel: reine große Terz: c,e und reine Quinte c g.

Beispiel: reine C-Dur-Tonleiter: c d,e f g,a ,h c.

Beispiel: reine,a-Moll-Tonleiter: ,a,h c,d ,e f g,a.

Jede Dur-Tonart ist von der Form: 1 2 ,3 4 5 ,6 ,7 8 oder ’1 ’2 3 ’4 ’5 6 7 ’8 usw.

Jede Molltonart ist von der Form: 1 2 ’3 4 5 ’6 ’7 8 oder,1 ,2 3 ,4 ,5 6 7 ,8 usw., wobei »1« für den ersten Ton »2« für den zweiten Ton usw. der Tonleiter steht.

Reine Stimmung

Die Grundlage der reinen Stimmung ist das Quint-Terz-System , das aus den Intervallen der Form

mit den Frequenzverhältnissen
besteht.

Die Hauptintervalle sind:

Intervall (Beispiel)DarstellungFrequenzverhältnisGröße in Cent
Oktave c c’Ok (Grundintervall)2:1=1200
Quinte c gQ (Grundintervall)3:2≈702
Große Terz c ,eT (Grundintervall)5:4≈386
Quarte c fOk − Q4:3≈498
Kleine Sext c ’asOk − T8:5≈814
Kleine Terz c ’esQ − T6:5≈316
Große Sext c ,aOk + T − Q5:3≈884
Großer Ganzton c d2Q − Ok9:8≈204
Kleiner Ganzton d ,eT − (Großer Ganzton) = Ok + T − 2Q10:9≈182
Kleine Septime g f (1. Möglichkeit)Ok − (Großer Ganzton) = 2Ok − 2Q16:9≈996
Kleine Septime ,a g (2. Möglichkeit)Ok − (Kleiner Ganzton) = 2Q − T9:5≈1018
diatonischer Halbton ,e fQuarte − T = Ok − Q − T16:15≈112
chromatischer Halbton c ,cis
bzw. d ,,dis
großer Ganzton - diatonischer Halbton = T + 3Q − 2Ok
kleiner Ganzton - diatonischer Halbton = 2T − Q
135:128
25:24
≈92
≈71
Große Septime c hOk − diatonischer Halbton = Q + T15:8≈1088
Syntonisches Komma ,e e2(Große Ganztöne) − T = 4Q − 2Ok − T81:80≈22
Kleine Diësis ,,gis 'asOk - 3T128:125≈41
große Diësis ,,fis ''ges4(kleine Terzen) - Ok = 4Q - 4T - Ok648:625≈63
ausführliche Tabelle

Superpartikuläre Brüche oder überteilige Brüche sind von der Form (n = 1, 2, 3, …). Die einzigen Intervalle mit solchen Frequenzverhältnissen sind im Quint-Terz-System: Oktave (2/1), Quinte (3/2), Quarte (4/3), große Terz (5/4), kleine Terz (6/5), großer Ganzton (9/8), kleiner Ganzton (10/9), diatonischer Halbton (16/15), chromatischer Halbton (25/24) und syntonisches Komma (81/80).[7] Im Quint-Terz-System sind Zähler und Nenner dieser Brüche nur Produkte aus 2, 3 und 5.

Wichtig in diesem Zusammenhang ist: Intervalle, deren Frequenzverhältnis super partikulär sind, lassen sich nicht teilen (insbesondere nicht halbieren).

Um aus einem Frequenzverhältnis des Quint-Terz-Systems herauszufinden, aus welchen Grundintervallen das Intervall zusammengesetzt ist, muss man den Tripellogarithmus berechnen.

Beispiel:

Die Gleichung

hat die eindeutige Lösung, als „Tripellogarithmus“ bezeichnet: und .

Damit gilt für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 81:80 die Beziehung (siehe syntonisches Komma).

Die Tonleitern der reinen Stimmung im Quintenzirkel

Bei einer Modulation in eine Nachbartonart ändern sich zwei Töne, einer davon erkennbar mit Vorzeichenwechsel, der andere geringfügig um ein syntonisches Komma. Dies lässt sich am besten mit den Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes darstellen: Für den Ton, der ein syntonisches Komma tiefer als x erklingt, wird die Bezeichnung ,x (Tiefkomma x) verwendet. Entsprechend wird mit ’x (Hochkomma x) der Ton bezeichnet, der ein syntonisches Komma höher als x liegt. Die Quinten im Quintenzirkel … as es b f c g d a … sind alle rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Die reinen Tonleitern im Quintenzirkel haben stets das gleiche Erscheinungsbild (Bei Moll die 6. und 7. Stufe noch erhöht):

TonleiterTonleitertöne tabellarisch aufgelistet
Ces-Durcesdes,esfesges,as,bces,as-moll,as,bces,des,esfes ,,fges ,,g,as
Ges-Durgesas,bcesdes,es,fges,es-moll,es,fges,as,bces ,,cdes ,,d,es
Des-Durdeses,fgesas,b,cdes,b-moll,b,cdes,es,fges ,,gas ,,a,b
As-Durasb,cdeses,f,gas,f-moll,f,gas,b,cdes ,,ees ,,e,f
Es-Duresf,gasb,c,des,c-moll,c,des,f,gas ,,ab ,,h,c
B-Durbc,desf,g,ab,g-moll,g,ab,c,des ,,ef ,,fis,g
F-Durfg,abc,d,ef,d-moll,d,ef,g,ab ,,hc ,,cis,d
C-Durcd,efg,a,hc,a-moll,a,hc,d,ef ,,fisg ,,gis,a
G-Durga,hcd,e,fisg,e-moll,e,fisg,a,hc ,,cisd ,,dis,e
D-Durde,fisga,h,cisd,h-moll,h,cisd,e,fisg ,,gisa ,,ais,h
A-Durah,cisde,fis,gisa,fis-moll,fis,gisa,h,cisd ,,dise ,,eis,fis
E-Durefis,gisah,cis,dise,cis-moll,cis,dise,fis,gisa ,,aish ,,his,cis
H-Durhcis,disefis,gis,aish,gis-moll,gis,aish,cis,dise ,,eisfis ,,fisis,gis
Fis-Durfisgis,aishcis,dis,eisfis,dis-moll,dis,eisfis,gis,aish ,,hiscis ,,cisis,dis
Cis-Durcisdis,eisfisgis,ais,hiscis,ais-moll,ais,hiscis,dis,eisfis ,,fisisgis ,,gisi,ais

Die Centwerte der Töne errechnen sich zu:

Benachbarte Töne, die sich nur um das Schisma (≈2 Cent) unterscheiden, sind mit * markiert.
TonGröße in CentVorkommen
c=0*in C-Dur
,his≈2*ab Cis-Dur
'c≈22ab d-moll
,,cis≈71ab ,e-Moll
des≈90*ab As-Dur
,cis≈92*ab D-Dur
'des≈112*ab f-moll
cis≈114*ab H-Dur
,,d≈161ab ,f-Moll
,d≈182ab F-Dur
'eses≈202*in ges-moll
d≈204*in C-Dur
'd≈225ab e-moll
,es≈273*ab Ges-Dur
,,dis≈275*ab ,fis-Moll
es≈294*ab B-Dur
,dis≈296*ab E-Dur
'es≈316*in c-moll
dis≈318*ab Cis-Dur
,,e≈365ab ,g-Moll
fes≈384*ab Ces-Dur
,e≈386*in C-dur
'fes≈406*ab as-moll
e≈408*ab D-Dur
'e≈429ab fis-moll
,f≈477*ab As-Dur
,,eis≈478*ab ,gis-Moll
f≈498*in C-Dur
,eis≈500*ab Fis-Dur
'f≈520ab g-moll
,,fis≈569ab ,a-Moll
ges≈588*ab Des-Dur
,fis≈590*ab G-Dur
'ges≈610*ab b-moll
fis≈612*ab E-Dur
,,g≈659ab ,b-Moll
,g≈680*ab B-Dur
,,fisis≈682*ab ,ais-Moll
g≈702in C-Dur
'g≈723ab a-moll
,as≈771*ab Ces-Dur
,,gis≈773*ab ,h-moll
as≈792*ab Es-Dur
,gis≈794*ab A-Dur
'as≈814*in c-moll
gis≈816*ab Fis-Dur
,,a≈863ab ,c-Moll
,a≈884*in C-Dur
,,gisis≈886*ab ,ais-Moll
'heses≈904*ab des-moll
a≈906*ab G-Dur
'a≈927ab h-moll
,b≈975*ab Des-Dur
,,ais≈977*ab ,cis-Moll
b≈996*ab F-Dur
,ais≈998*ab H-Dur
'b1018in c-moll
,,h≈1067ab ,d-Moll
ces≈1086*ab Ges-Dur
,h≈1088*in C-Dur
'ces≈1108*ab Ges-Dur
h≈1110*ab A-Dur
'h≈1131ab cis-moll
,,c≈1157ab ,es-Moll
,c≈1178*ab Es-Dur
,,his≈1180*ab ,dis-Moll
c’=1200in C-Dur

Die Berechnung der Centwerte hier können nach folgendem Schema vorgenommen werden. Mit p=1/12 pythagoreisches Komma ≈ 2,0 Cent errechnet sich nach der pythagoreischen Quintenzirkel zu ...es=300-3p b=1000-2p f=500-p c=0 g=700+p d=200+2p a=900+3p ... nach Halbtönen geordnet:

Gleichstufgpythagoreischenharmonisch
0c=0his=12p
100cis=100+7pdes=100-5p
200d=200+2peses=200-10p
300dis=300+9pes=300-3p
400e=400+4pfes=400-8p
500f=500-peis=500+11p
600fis=600+6pges=600-6p
700g=700+pasas=700-11p
800gis=800+8pas=800-4p
900a=900+3pheses=900-9p
1000ais=1000+10pb=1000-2p
1100h=1100+5pces=1100-7p
1200c=1200deses=1200-12p

Mit p=1/12 pythagoreisches Komma ≈ 2,0 Cent und K = syntonisches Komma ≈ 21,5 Cent errechnet sich zum Beispiel:

  • ,,cis = (100+7p-2K) Cent = 71 Cent (=Intervall c ,,cis = Intervall von c nach ,,cis)
  • 'as = 800-4p+K = 814 Cent (=Intervall von c 'as)
  • Intervall ,,cis 'as = (700-11p+3K) Cent = 743 Cent.
    Frequenzverhältnis 2(700-11p+3K)/1200= 192/125[8]
Tonhöhen der rein gestimmten Dur- und Molltonarten im Oktavkreis.

Mit den 53 durch Kreismarken im Außenbereich der Oktavkreis-Graphik[9] platzierten Tönen sind die 15 Durtonleitern mit den Quinttönen ces|ges...c ...fis|cis als Grundtöne spielbar, ebenso die 45 parallelen Tonleitern der drei Mollmodi, deren Grundtöne ,as|,es...,a...,dis|,ais eine kleine Terz unter den Quinttönen liegen. Die Tonleitern im Innenbereich illustrieren die Tonabstände an den Tonarten C-Dur und drei Mal ,a-Moll.

Gleichstufige Stimmung

Die Grundlage der gleichstufigen Stimmung ist der 12-stufige Intervallraum mit den folgenden Intervallen:

IntervallDarstellungGröße in Cent
HalbtonH=100
Ganzton2H=200
kleine Terz3H=300
große Terz4H=400
ausführliche Tabelle

Die Teilung der Oktave in 53 Tonstufen

Die Grundlage dieser Stimmung ist der 53-stufige Intervallraum . Die Oktave wird hierbei in 53 gleiche Teile geteilt.

Zu Zeiten Zarlinos (1517–1590) lehrte man in Musikschulen, dass man die große Terz rein intonieren kann und es dadurch Abweichungen von der pythagoreischen Stimmung gibt. Es wurde gelehrt, dass die Tonleiter so zu intonieren ist, dass man den folgenden Intervalle Teile zuordnen kann.

  • cd=fg=ah=9 Teile (großer Ganzton)
  • de=ga=8 Teile (kleiner Ganzton)
  • ef=hc=5 Teile (diatonischer Halbton)

Notiert man den Abstand der Tonleiter von c aus in Klammer und den Abstand zwischen den Tönen tiefer geschrieben, so lautet die C-Dur-Tonleiter:

c(0) 9 d(9) 8 ,e(17) 5 f(22) 9 g(31) 8 ,a(39) 9 ,h(48) 5 c(53)

,e („Tiefkomma e“) bedeutet hier in Abwandlung der Eulerschen Schreibweise: „,e erklingt 1/53 Oktave tiefer als e“ usw.[10]

Die Tonleiter wird also hier in 53 Teile geteilt, wobei

große Terz c,e = 17 Teile
Quinte = cg = 31 Teile[11]

Die Tonleitern des Quintenzirkel von c aus notiert. In Klammer die Stufe der 53-Skala:

C-Dur:     c(0)    d(9)    ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)   ,h(48)     c(53)
G-Dur:     c(0)    d(9)    ,e(17) ,fis(26)    g(31)    a(40)   ,h(48)     c(53)
D-Dur:  ,cis(4)    d(9)     e(18) ,fis(26)    g(31)    a(40)   ,h(48)  ,cis(57)
A-Dur:  ,cis(4)    d(9)     e(18) ,fis(26) ,gis(35)    a(40)    h(49)  ,cis(57)
E-Dur:  ,cis(4) ,dis(13)    e(18)  fis(27) ,gis(35)    a(40)    h(49)  ,cis(57)
H-Dur:   cis(5) ,dis(13)    e(18)  fis(27) ,gis(35) ,ais(44)    h(49)   cis(58)
Fis-Dur: cis(5) ,dis(13) ,eis(22)  fis(27)  gis(36) ,ais(44)    h(49)   cis(58)
Cis-Dur: cis(5)  dis(14) ,eis(22)  fis(27)  gis(36) ,ais(44) ,his(53)   cis(58)
C-Dur:     c(0)     d(9)   ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)   ,h(48)     c(53)
F-Dur:     c(0)    ,d(8)   ,e(17)    f(22)    g(31)   ,a(39)    b(44)     c(53)
B-Dur:     c(0)    ,d(8)    es(13)   f(22)   ,g(30)   ,a(39)    b(44)     c(53)
Es-dur:   ,c(52)   ,d(8)    es(13)   f(22)   ,g(30)   as(35)    b(44)    ,c(52)
As-dur:   ,c(52)    des(4)  es(13)  ,f(21)   ,g(30)   as(35)    b(44)    ,c(52)
Des-dur:  ,c(52)    des(4)  es(13)  ,f(21)  ges(26)   as(35)   ,b(43)    ,c(52)
Ges-dur: ces(48)    des(4) ,es(12)  ,f(21)  ges(26)   as(35)   ,b(43)   ces(48)
Ces-dur: ces(48)    des(4) ,es(12) fes(17)  ges(26)  ,as(34)   ,b(43)   ces(48)

Hermann von Helmholtz schreibt in seiner Lehre von den Tonempfindungen folgendes: „Will man eine Scala in fast genauer natürlicher Stimmung herstellen, welche unbegrenzt fortzumodulieren gestattet, … so lässt sich dies durch die schon von Mercator vorgeschlagene Teilung der Octave in 53 gleich große Intervalle erreichen.“[12]

Die 53-Skala

StufeAbstand von c in Centreine Stimmung in Cent
000c=0 ,his=2
0123'c=22 his=23
0245,,,cis=49
0368,,cis=71
0491des=90 ,cis=92
05113’des=112 cis=114
06136’’des=133
07158,,d=161
08181,d=182 ,,cisis=184
09204'eses=202 d=204 ,cisis=206
10226'd=225 cisis=227
11249,,,dis=253
12272,es=273 ,,dis=275
13294es=294 ,dis=296
14317’es=316 dis=318
15340’’es=337
16362,,e=365
17385fes=384 ,e=386
18408’fes=406 e=408
19430'e=429
20453,,,eis=257 '''fes=449
21475,f=477 ,,eis=478
22498f=498 ,eis=500
23521'f=520 eis=522
24543,,,fis=547
25566,,fis=569
26589ges=588 ,fis=590
27611’ges=610 fis=612
28634"ges=631
29657,,g=659
30679,g=680 ,,fisis=682
31702g=702 ,fisis=704
32725'g=723 fisis=725
33747,,,gis=751
34770,as=771 ,,gis=772
35792as=792 ,gis=794
36815’as=814 gis=816
37838"as =835
38860,,a=863
39883,a=884 ,,gisis=886
40906'heses=904 a=906
41928'a=927 gisis=929
42951,,,ais=955
43974,b=975 ,,ais=977
44996b=996 ,ais=998
451019’b=1018 ais=1020
461042"b=1039
471064,,h=1067
481087ces=1086 ,h=1088
491109’ces=1108 h=1110
501132'h=1131
511155,,c=1157
521177,c=1178 ,,his1180
531200c=1200

Intervalltabelle mit Vergleich mit der reinen Stimmung

IntervallGröße in CentStufe im 53-SystemGröße in CentUnterschied genau
diat. Halbton111,73105113,208−1,476
kleiner Ganzton182,40408181,132+1,272
großer Ganzton203,91009203,774+0,136
kleine Terz31614317−1,34
große Terz38617385+1,40
Quarte49822498−0,07
Tritonus59026589+0,07
Quinte70231702−1,41
kleine Sext81436815−1,01
große Sext88439883+1,34
Kleine Septime I99644996−0,14
Kleine Septime II1018451019−1,27
große Septime1088481087+1,47
Oktave12005312000,00

Man sieht hier: Alle Töne des Quintenzirkels werden mit einer Toleranz von einem Schisma erreicht. Um das Schisma von 1,95 Cent unterscheiden sich die Töne c und ,his / des und ,cis / 'es und dis usw. (Siehe dritte Spalte in der ersten Tabelle mit je zwei Tönen).

Stimmungen, dargestellt innerhalb der 53-Mercatorskala

Der Darstellung der verschiedenen Stimmungen mit der Größe als Vielfache von k ist besonders übersichtlich.

k=1200:53 = 22,642 Cent. Die jeweilige (gerundete Darstellung) hat eine Genauigkeit von 1 Cent.

Intervallgröße

Intervallpythagoreischreinmtteltönig
c-d9k9k81/2k
d-e9k8k81/2k
e-f4k5k51/4k
f-g9k9k81/2k
g-a9k8k81/2k
a-h9k9k81/2k
h-c4k5k51/4k

Die 53-stufige Skala in reiner Stimmung nach Tanaka

Tanaka Shōhei betrachtet in seiner Dissertation 1890 die folgende 53-Skala in reiner Stimmung. Er verwendet dabei die Eulerschreibweise (mit Unter- und Oberstrich statt Tief- und Hochkomma vor der Tonbezeichnung).

  • Waagrechte Tonfolgen sind reine Quinten mit dem Frequenzverhältnis 3/2; zum Beispiel c g d …
  • Tonfolgen schräg nach links unten sind reine Großterzen mit dem Frequenzverhältnis 5/4; zum Beispiel c 'as ''fes …
  • Tonfolgen schräg nach rechts unten sind reine Kleinterzen mit dem Frequenzverhältnis 6/5; zum Beispiel c 'es ''ges …
    ,,,fis ,,,cis  ,,,gis   ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis ,,,his  ,,,fisis
     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
   /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
  ,,d    ,,a     ,,e     ,,h     ,,fis   ,,cis   ,,gis   ,,dis   ,,ais
   \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
     ,f       ,c      ,g      ,d      ,a     ,e      ,h      ,fis     ,cis
       \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
        \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
         \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
          as      es      b       f       c       g       d       a       e
           \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
            \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
             \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
            'ces     'ges    'des    'as     'es     'b      'f      'c      'g
               \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
                \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
                 \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
                ''eses   ''bb    ''fes   ''ces   ''ges   ''des   ''as    ''es    ''b

Erweitert man diese waagrechten und schrägen Tonfolgen, kann man auf den Tonvorrat der 53-Skala zurückgreifen, wenn man Töne - obgleich numerisch verschiedenartig - enharmonisch „schismatisch“ (±S) bzw. „kleismatisch“ (±K) verwechselt.

S: Schismatisch verwechselte Töne - zum Beispiel ,his-c oder h-'ces usw. unterscheiden sich um ein Schisma = Pythagoreisches Komma - Syntonisches Komma ≈ 2 Cent.

K: Kleismatisch verwechselte Töne - zum Beispiel '''des-,,,cisis oder '''fes-,,,eis oder c-,,,,,,hisis usw. unterscheiden sich um ein Kleisma = 2Oktaven - 6(kleineTerzen) - Quarte = 6Großterzen - 5Quinten + Oktave ≈ 8 Cent.[13]

Zum Beispiel:

  • In der Quintenfolge c g d a e h kann man h durch 'ces ersetzten mit einer Ungenauigkeit von einem Schisma.
  • In der Großterzenfolge c 'as ''fes '''des kann man '''des ersetzten durch ,,,cis mit einer Ungenauigkeit von einem Kleisma.
  • In der Kleinterzenfolge c 'es ''ges ''bb (Tanakas Schreibweise bb=heses) kann man das ''bb ersetzen durch ,,,,ais mit einer Ungenauigkeit von einem Kleisma.

Erläuterung zur Originaltabelle von Tanaka: Setzt man das Parallelogramm nach allen Seiten fort, so erhält man:

oben je einen Ton zusätzlich rechts und links in der Quintenreihe plus die Zeile darüber

  ,,,,dis  ,,,,ais ,,,,eis ,,,,his ,,,,fisis ,,,,cisis ,,,,gisis ,,,,disis ,,,,aisis ,,,,eisis
    /  \    / \    /  \     /  \    /  \     /  \       / \        /   \    /    \   /
   /    \  /   \  /    \   /    \  /    \   /    \     /   \      /     \  /      \ /
,,,h ,,,fis ,,,cis  ,,,gis     ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis      ,,,his   ,,,fisis ,,,cisis

unten je einen Ton rechts und links in der Quintenreihe plus die Zeile darunter

       ''asas  ''eses   ''bb   ''fes   ''ces   'ges   ''des   ''as  ''es   ''b     ''f
        /  \      /\      / \    /  \     / \     / \    / \    / \   /  \   /  \    /  \
       /    \    /  \    /   \  /    \   /   \   /   \  /   \  /   \ /    \ /    \  /    \
'''feses '''ceses '''geses '''deses '''asas '''eses '''bb '''fes '''ces  '''ges '''des '''as

Die enharmonischen Verwechslungen sind hierbei oben

,,,h=''b+K-S / ,,,cisis=,,d+S (K=Kleisma≈8 Cent, S=Schisma≈2 Cent)

,,,,dis=''eses+K / ,,,,ais=''heses+K / ,,,,eis=''fes+K / ,,,,his=''ces+K /,,,,fisis=''ges+K

,,,cisis=''des+K/ ,,,,gisis=''as+K/ ,,,,disis=''es+K/ ,,,,aisis=''b+K/ ,,,,eisis=,,,fis+S

und unten

''asas='g-S / ''f=,,,fis-K+S

'''feses=''es-S / '''ceses=''b-S / '''geses=,,,fis-K / '''deses=,,,cis-K / '''asas=,,,gis-K / '''eses=,,,dis-K

'bb=,,,ais-K / '''fes=,,,eis-K / '''ces=,,,his+K / '''ges=,,,fisis+K / '''des=,,d-K+S / '''as=,,a-K+S

„Wenn man sich damit begnügt, in den äußersten Modulationsfällen, d.h. wenn die Töne außerhalb der Grenzen eines Parallelogramms zur Anwendung gebracht werden, die beiden Verwechslungen wirklich eintreten zu lassen, so gestattet die 53stufige Leiter absolute Freiheit der Modulation nach allen Richtungen.“

Die mitteltönige Stimmung in additiver Schreibweise

In der additiven Schreibweise für Intervalle, die seit Zarlino verwendet wird, sind die benachbarten Intervalle der reinen C-Dur-Tonleiter:

  • c-d = 9 Teile, d-e = 8 Teile, e-f = 5 Teile, f-g = 9 Teile, g-a = 8 Teile, a-h = 9 Teile und h-c′ = 5 Teile.[14]

In dieser Einteilung sind die großen Terzen c-e = f-a = g-h = 17 Teile rein (Frequenzverhältnis 5/4), die Quinten F-c = c-g = e-h= g-d′ = a-e′ = 31 Teile rein (Frequenzverhältnis 3/2) und die Oktave c-c′ = 53 Teile rein (Frequenzverhältnis 2/1).

Wenn wir nun, um weitere Tonleitern spielen zu können, weitere Halbtöne dazwischen einfügen, kommt das System sofort durcheinander, da sich die Ganztöne (groß = 9 Teile, klein = 8 Teile) verändern. (Theoretisch entstehen die beiden verschiedenen Ganztöne durch Überlegungen in der Harmonik. In Melodien kann der Unterschied vernachlässigt werden.) Bei der mitteltönigen Stimmung werden diese beiden Ganztöne gemittelt.

Die C-Dur-Tonleiter lautet dann:

  • c-d = 81/2 Teile, d-e = 81/2 Teile, e-f = 51/4 Teile, f-g = 81/2 Teile, g-a = 81/2 Teile, a-h = 81/2 Teile und h-c′ = 51/4 Teile.[15]

Bei dieser Einteilung sind die großen Terzen c-e, f-a und g-h rein, die Quinten F-c = c-g = g-d′ = d-a = a-e′ = e-h = 303/4 Teile groß (also 1/4 Teil kleiner als die reine Quinte).

Vier mitteltönige Quinten und die damit erhaltene reine Terz


Geringen Schwebungen in den Quinten,
aber keine Schwebung bei der reinen Terz.

Bei der mitteltönigen Stimmung kann nun die C-Durtonleiter um weiteren Halbtönen ohne Probleme ergänzt werden, oft folgendermaßen:

  • cis-d = d-es = fis-g = gis-a = a-b = 53/4 Teile.

Wie hier die C-Dur-Tonleiter sind nun auch die Tonleitern in B-, F-, G-, D- und A-Dur aufgebaut.

Enharmonisch verwechselte Töne unterscheiden sich allerdings um 2 Teile, wie der folgenden Tabelle entnommen werden kann. Modulation C-Dur nach G-Dur

Beschreibung der Tonstruktur hörpsychologisch ohne Akustik

Das Verständnis über Töne und Intervalle kann ohne physikalische Begriffe vermittelt werden. Die ersten bekannten hörpsychologisch mathematischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.[16] Die Tonhöhe eines bestimmten Tones kann durch eine „Ur“-Stimmgabel ohne Angabe seiner Frequenz festgelegt und weitervermittelt werden (ähnlich wie die Einheit Meter durch das Urmeter festgelegt werden kann). Ein Lehrer kann seinem Schüler „zeigen“, was ein Oktave, eine Quinte, eine große Terz usw. ist, ohne auf das Frequenzverhältnis der Schwingungen einzugehen. Im Folgenden wird die zugrundeliegende Theorie erläutert.[17]

Beschreibung der Tonstruktur als Algebraische Struktur

Bei einer Tonstruktur hat man einerseits eine Menge von Tönen und andererseits eine Menge von Intervallen, für die die folgenden Regeln gelten:

Jedem Tonpaar wird ein eindeutiges Intervall von zu zuordnet.

Ist umgekehrt der Grundton und das Intervall bekannt, so ist durch der Endton eindeutig bestimmt.

Die Hintereinanderausführung von Intervallen definiert eine Addition: Ist und , dann ist .

Intervalle kann man vergleichen: Wir schreiben , wenn der Endton von höher als der Endton von bei gleichem Grundton ist.

Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen. Mathematisch gesehen ist der Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Dies ergibt sich rein hörpsychologisch aus der Erfahrung der musikalischen Praxis.

Zum Messen der Intervallgröße eignet sich als Maßeinheit die Oktave mit der Untereinheit Cent mit 1200 Cent = 1 Oktave.

Zum Beispiel sind 12 Quinten ungefähr so groß wie sieben Oktaven. Daraus folgt: 12 Quinten ≈ 7 Oktaven, also Quinte ≈ Oktave = 700 Cent.

Beispiel 1 (Oktave = 12 Halbtöne)

  • Geht man 12 Quinten nach oben, so erhält man oktaviert (ungefähr) wieder den Ausgangston: 12 Quinten = 7 Oktaven. Folglich ergibt sich Quinte = 712 Oktave = 700 Cent. Entsprechend:
  • Geht man drei große Terzen nach oben, so erhält man (ungefähr) eine Oktave. Also ist große Terz = 13 Oktave =400 Cent.[18] Hier kann man nun weiter rechnen:
  • Kleine Terz = Quinte − große Terz = 14 Oktave =300 Cent und
  • Halbton = Große Terz − kleine Terz = 112 Oktave =100 Cent.
  • So kann man rein hörpsychologisch die Oktave (angenähert) in 12 Halbtöne teilen und jedes Intervall als Vielfaches von Halbtönen darstellen.[16]

Beispiel 2 (Oktave = 53 Kommata)

Zu Zeiten Zarlinos (16. Jahrhundert) lehrte man in Musikschulen: Der große Ganzton hat eine Größe von 9 Teilen, der kleine Ganzton von 8 Teilen und der diatonische Halbton von 5 Teilen.

verminderte Terz B-Gis = 10 Teile

Neapolitanischer Sextakkord

Hieraus folgt:

  • Oktave = 1200 Cent = 3 große Ganztöne + 2 kleine Ganztöne + 2 diatonische Halbtöne = 53 Teile
  • große Terz = großer Ganzton + kleiner Ganzton = 17 Teile = 385 Cent
  • kleine Terz = großer Ganzton + diatonischer Halbton = 14 Teile = 317 Cent
  • Quinte = große Terz + kleine Terz = 31 Teile = 702 Cent[19]

Mit dieser Einteilung ließen sich die Größenverhältnisse für die reine Intonation von Tonschritten einfach beschreiben.

  • diatonischer Halbton = 5 Teile
  • kleiner Ganzton = 8 Teile
  • Großer Ganzton = 9 Teile
  • verminderte Terz (siehe nebenstehendes Beispiel B - Gis = B-A (5Teile) + A-Gis (5 Teile) = 10 Teile

Diese Teilung der Oktave in 53 Teile kann aus zwei ganzzahligen Beziehungen für die drei Intervalle Ok =Oktave, Q=Quinte und gT=große Terz ohne Bezugnahme auf die Frequenzverhältnisse rein mathematisch hergeleitet werden. (Am Spinett bestätigt von Neumaier[16])

  • 53 Q = 31 Ok (kein Unterschied zwischen Ausgangston und oktaviert nach 53 Quinten hörbar)
  • 12 Q - 7Ok = 4Q - 2Ok -gT (kein Unterschied zwischen syntonischem Komma und pythagoreischem Komma hörbar). Umgeformt ergibt sich 8 Q = 5 Ok - gT. Musikalische interpretiert: kein Unterschied zwischen gis und 'as. (Der genaue Unterschied zwischen gis und 'as ist ein Schisma = 2 Cent.).

Dieses Gleichungssystem aufgelöst ergibt mit k = 1/53Ok:

  • Ok = 53k
  • Q = 31k
  • gT = 17k[20]

Nun kann man weitere Intervalle definieren und als Vielfache von k darstellen: Zum Beispiel:

  • Quarte = Ok - Q = 22k
  • kleine Terz = Q - gT = 14k
  • großer Ganzton = 2Q - Ok = 9k
  • kleiner Ganzton = gT - großer Ganzton = 8k
  • diatonischer Halbton = gT - kleine Terz = 5k

Beispiel 3 (Das Quint Terz-System)

Axiom: Es gibt einen Homomorphismus f von der additiven Gruppe des Intervallraums mit den Intervallen Ok = Oktave, Q = Quinte und gT = große Terz in die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen, für die gilt:

  • f(Ok) = 2
  • f(Q) = 3/2 und
  • f(gT) = 5/4

Homomorphismus besagt: f(i1 +i2) = f(i1)•f(i2) und f(r•i) = f(i)r für Intervalle i1, i2 und i sowie für eine reelle Zahl r[21].

Für die Berechnung von r und s für Q=r•Ok und gT = s•Ok folgt mit der Untereinheit Ok = 1200 Cent:

  • f(r•Ok) = 2r = 3/2 also Q = log2(3/2)Ok = 701,955 Cent
  • f(s•Ok) = 2s = 5/4 also gT = log2(5/4)Ok = 386,314 Cent.

Beispiele ausführlich

Intervalle der gleichstufigen Stimmung

Die 12-stufige Tastatur
FrequenzverhältnisIntervallgröße in CentIntervallbezeichnung
10Prim
100gleichstufiger Halbton
200gleichstufiger Ganzton
300gleichstufige kleine Terz
400gleichstufige große Terz
500gleichstufige Quarte
600gleichstufiger Tritonus
700gleichstufige Quinte
800gleichstufige kleine Sexte
900gleichstufige große Sexte
1000gleichstufige kleine Septime
1100gleichstufige große Septime
21200Oktave

Intervalle der pythagoreischen Stimmung

Um 1270 gab es Instrumente mit 12-stufigen Tastaturen. Auf diesen musste man sich entscheiden, wie die schwarzen Tasten gestimmt wurden. Entweder als Des oder als Cis, als Dis oder Es u. s. w.

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der pythagoreischen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervalle: C-Cis, C-Des*, C-D, C-Dis*, C-Es, C-E, …, Cis-Dis*, Cis-Es, Cis-E, Cis-F, Cis-Fis, …, Des*-Es, Des*-E, …, D-Dis*, D-Es, D-E, … Die Intervalle wurden dann der Größe in Cent nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der pythagoreischen Stimmung sind die Quinten der Folge Ges*-Des*-As*-Es-B-F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis-Dis*-Ais* rein (Frequenzverhältnis 3:2).

Hinweis: Die Töne Ges*, Des*, As*, Dis* und Ais* sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um das pythagoreische Komma.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle Oktave und Quinte darstellbar.

  • Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2:1)
  • Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2).
Intervallvon C aus bisFrequenzverhältnisin CentBerechnungIntervallbezeichnung
Cis-Des*Deses524288/531441−23,460−12Q + 7Okpythagoreische verminderte Sekunde = −Pythagoreisches Komma[22]
E-FDes256/24390,225−5Q + 3Okpythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-CisCis2187/2048113,6857Q − 4Okpythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
Cis-EsEses65536/59049180,450−10Q + 6Okpythagoreische verminderte Terz
C-DD9/8203,9102Q − Okgroßer Ganzton = pythagoreische Sekunde
Des*-Dis*Cisis4782969/4194304227,37014Q − 8Okpythagoreische doppelt übermäßige Prim
Dis*-Ges*Feses16777216/14348907270,675−15Q + 9Okpythagoreische doppelt verminderte Quarte
D-FEs32/27294,135−3Q + 2Okpythagoreische kleine Terz
Es-FisDis19683/16384317,5959Q − 5Okpythagoreische übermäßige Sekunde
Cis-FFes8192/6561384,360−8Q + 5Okpythagoreische verminderte Quarte
C-EE81/64407,8204Q − 2Okpythagoreische große Terz = Ditonos
Ges*-Ais*Disis43046721/33554432431,28016Q − 9Okpythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
Cis-Ges*Geses2097152/1594323474,585−13Q + 8Okpythagoreische doppeltverminderte Quinte
C-FF4/3498,045−Q + OkQuarte
Es-GisEis177147/131072521,50511Q − 6Okpythagoreische übermäßige Terz
E-BGes1024/729588,270−6Q + 4Okpythagoreische verminderte Quinte
C-FisFis729/512611,7306Q − 3Okpythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
Gis-esAsas262144/177147678,495−11Q + 7Okpythagoreische verminderte Sexte
C-GG3/2701,955QQuinte
Es-Ais*Fisis1594323/1048576725,41513Q − 7Okpythagoreische doppelt übermäßige Quarte
Ais*-ges*Heseses67108864/43046721768,720−16Q + 10Okpythagoreische doppelt verminderte Septime
E-cAs128/81792,180−4Q + 3Okpythagoreische kleine Sext
C-GisGis6561/4096815,6408Q − 4Okpythagoreische übermäßige Quinte
Cis-BHeses32768/19683882,405−9Q + 6Okpythagoreische verminderte Septime
C-AA27/16905,8653Q − Okpythagoreische große Sexte
Des*-Ais*Gisis14348907/8388608929,32515Q − 8Okpythagoreische doppelt übermäßige Quinte
Dis*-des*ceses8388608/4782969972,630−14Q + 9Okpythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-BB16/9996,090−2Q + 2Okpythagoreische kleine Septime
Es-cisAis59049/327681019,55010Q − 5Okpythagoreische übermäßige Sexte
Cis-cces4096/21871086,315−7Q + 5Okpythagoreische verminderte Oktave
C-HH243/1281109,7755Q − 2Okpythagoreische große Septime
Cis-des*deses1048576/5314411176,540−12Q + 8Okpythagoreische verminderte None (= Ok − pythagoreische verminderte Sekunde)
C-cc2/11200OkOktave

Intervalle der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung

Mitteltönige Tastatur

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der mitteltönigen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: (C)-(Cis), (C)-(Des*), (C)-(D), (C)-(Dis*), (C)-(Es), (C)-(E), …, (Cis)-(Dis*), (Cis)-(Es), (Cis)-(E), (Cis)-(F), (Cis)-(Fis), …, (Des*)-(Es), (Des*)-(E), …, (D)-(Dis*), (D)-(Es), (D)-(E), … Die Intervalle wurden dann der Größe (in Cent) nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung sind die Quinten der Folge (Ges*)-(Des*)-(As*)-(Es)-(B)-(F)-(C)-(G)-(D)-(A)-(E)-(H)-(Fis)-(Cis)-(Gis)-(Dis*)-(Ais*) um ein Viertel des syntonischen Kommas (Frequenzverhältnis 81:80) kleiner (oder enger) als die reine Quinte gestimmt. Diese Quinten haben also das Frequenzverhältnis

Hinweis: Die Töne (Ges*), (Des*), (As*), (Dis*) und (Ais*) sind auf einer 12-stufigen Skala nicht vorhanden. Sie unterscheiden sich von ihren enharmonisch Verwechselten um die kleine Diësis (41 Cent). Intervalle der Form zum Beispiel (Cis)-(Des*) vermitteln jedoch einen Eindruck, welche Unreinheiten bei enharmonischen Verwechslungen auftreten.

Das Frequenzverhältnis in der dritten Spalte ist häufig algebraisch-irrational. Hier bedeutet

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle des Mitteltönig-Quinten-Systems darstellbar.

  • Ok = Oktave
  • Qm = mitteltönige Quinte.

Die Große Terz T = (C) − (E) ist hier darstellbar als T = 4Qm − 2Ok. Die jeweilige Berechnung erscheint in der 4. Spalte.

Intervallvon C aus bisFrequenzverhältnisin CentBerechnungIntervallbezeichnung
(Cis)-(Des*)(Deses)128:12541,059−12Qm + 7Ok = −3T + Ok(größere) verminderte Sekunde = kleine Diësis
(C)-(Cis)(Cis)(5:16)w376,0497Qm − 4Ok = 2T − Qmchromatischer mitteltöniger Halbton
(E)-(F)(Des)(8:25)w3117,108−5Qm + 3Ok = −T − Qm + Okdiatonischer mitteltöniger Halbton
(Des*)-(Dis*)(Cisis)(125:256)w2152,09814Qm − 8Ok = 4T − 2Qmmitteltönige doppelt übermäßige Prim
(C)-(D)(D)(1:2)w2193,1572Qm − Okmitteltöniger Ganzton
(Cis)-(Es)(Eses)(64:125)w2234,216−10Qm + 6Ok = −3T + 2Qmmitteltönig verminderte Terz
(Es)-(Fis)(Dis)(25:32)w269,2069Qm − 5Ok = 2T + Qm − Okmitteltönige übermäßige Sekunde
(D)-(F)(Es)(4:5)w310,265−3Qm + 2Ok = −T + Qmmitteltönige kleine Terz
(Ges*)-(Ais*)(Disis)625:512345,25516Qm − 9Ok = 4T − Okmitteltönig doppelt übermäßige Sekunde
(Dis*)-(Ges*)(Feses)(512:625)w351,324−15Qm + 9Ok = −4T + Qm + Okmitteltönig doppelt verminderte Quarte
(C)-(E)(E)5:4386,3144Qm − 2Ok = Tgroße Terz
(Cis)-(F)(Fes)32:25427,373−8Qm + 5Ok = −2T + Okverminderte Quarte
(Es)-(Gis)(Eis)(25:64)w3462,36311Qm − 6Ok = 3T − Qmmitteltönig übermäßige Terz
(C)-(F)(F)(2:5)w3503,422−Qm + Okmitteltönige Quarte
(Cis)-(Ges*)(Geses)(256:625)w3544,480−13Qm + 8Ok = −3T − Qm + 2Okmitteltönig doppelt verminderte Quinte
(F)-(H)(Fis)(5:8)w2579,4716Qm − 3Ok = T + 2Qm − Okmitteltönige übermäßige Quarte, mitteltönig Tritonus
(Cis)-(G)(Ges)(16:25)w2620,529−6Qm + 4Ok = −2T + 2Qmmitteltönige verminderte Quinte
(Des*)-(Gis)(Fisis)(125:128)w655,52013Qm − 7Ok = 3T + Qm − Okmitteltönig doppelt übermäßige Quart
(C)-(G)(G)w696,578Qmmitteltönige Quinte
(Gis)-(es)(Asas)(128:125)w737,637−11Qm + 7Ok = −3T + Qm + Okmitteltönig verminderte Sexte
(C)-(Gis)(Gis)25:16772,6278Qm − 4Ok = 2Tkleine übermäßige Quinte, Doppelterz
(E)-(c)(As)8:5813,686−4Qm + 3Ok = −T + Okkleine Sexte
(Des*)-(Ais*)(Gisis)(125:256)w3848,67615Qm − 8Ok = 4T − Qmmitteltönig doppelt übermäßige Quinte
(Ais*)-(ges*)(Beses)1024:625854,745−16Qm + 10Ok = 4T + 2Okmitteltönige doppelt verminderte Septime
(C)-(A)(A)(1:2)w3889,7353Qm − Ok = T − Qm + Okmitteltönige große Sexte
(Cis)-(B)(Bes)(64:125)w3930,794−9Qm + 6Ok = −2T − Qm + 2Okmitteltönig verminderte Septime
(Es)-(cis)(Ais)(25:32)w2965,78410Qm − 5Ok = 2T + 2Qm − Okmitteltönige übermäßige Sexte
(D)-(c)(B)(4:5)w21006,843−2Qm + 2Okmitteltönige kleine Septime
(Gis)-(ges*)(ceses)(512:625)w21047,902−14Qm + 9Ok = −4T + 2Qm + Okmitteltönig doppelt verminderte Oktave
(C)-(H)(H)(5:4)w1082,8925Qm − 2Ok = T + Qmmitteltönige große Septime
(Cis)-(c)(ces)(32:25)w1123,951−7Qm + 5Ok = −2T + Qm + Okmitteltönig verminderte Oktave
(Es)-(dis*)(his)125:641158,94112Qm − 6Ok = 3Tübermäßige Septime
(C)-(c)(c)2:11200OkOktave

Intervalle der reinen Stimmung

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der reinen Stimmung auftreten können. Ausgehend von der chromatischen Tonleiter C ’Des D ’Es,E F,Fis G ’As,A ’B,H C wird berechnet jedes der Intervalle: C-,Cis / C-’Des / C-D / C-,,Dis / C-’Es / C-,E / … / ,Cis-,,Dis /,Cis-’Es /,Cis-,E /,Cis-F /,Cis-,Fis / … / D-,,Dis / D-’Es / D-,E / … (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »’x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«. Die reine C-Dur-Tonleiter schreibt sich als »C D,E F G,A ,H c«. Die reine c-Moll-Tonleiter schreibt sich als »C D ’Es F G ’As ’B c«). Die Intervalle wurden dann der Größe nach (in Cent) geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Intervallreferenz ist C-Dur und c-Moll mit den reinen Akkorden C-,E-G / C-’Es-G / F-,A-c / F-’As-c / G-,H-D und G-’B-d / ergänzt um weitere Zwischentöne mit den diatonischen Halbtonschritten (Frequenzverhältnis 16/15) C-’Des /,Cis-D / ,,Dis-,E / F-’Ges /,Fis-G / ,,Gis-,A und ,,Ais-,H.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der drei Grundintervalle des Quint-Terz-Systems darstellbar.

  • Ok = Oktave
  • Q = Quinte und
  • T = große Terz.

Die jeweilige Berechnung erscheint in der 5. Spalte.

Intervallvon C aus bisFrequenzverhältnisin CentBerechnungIntervallbezeichnung
Des-,Cis,His32805:327681,954T + 8Q − 5Okkleine übermäßige Septime − Oktave, Schisma
,Cis-’Des’’Deses2048:202519,553−2T − 4Q + 3Ok(kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
,,Dis-’Es’’’Deses128:12541,059−3T + Ok(größere) verminderte Sekunde, kleine Diësis
D-,,Dis,,Cis25:2470,6722T − Q(kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
C-,Cis,Cis135:12892,179T + 3Q − 2Ok(größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
,E-F’Des16:15111,731−T − Q + Okkleine Sekunde, diatonischer Halbton
,A-’B’’Des27:25133,238−2T + 3Q − Ok(größere) kleine Sekunde, großes Limma,
’Des-,,Dis,,,Cisis1125:1024162,8513T + 2Q − 2Okdoppelt übermäßige Prim
D-,E,D10:9182,404T − 2Q + Okkleiner Ganzton (kleinere Große Sekunde)
C-DD9:8203,9102Q − Okgroßer Ganzton = pythagoreischer Ganzton (größere große Sekunde)
,E-’Ges’’Eses256:225223,463−2T − 2Q + 2Ok(kleinere) verminderte Terz
,,Gis-’B’’’Eses144:125244,969−3T + 2Q(größere) verminderte Terz
C-,,Dis,,Dis75:64274,5822T + Q − Okübermäßige Sekunde
D-FEs32:27294,135−3Q + 2Okpythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
C-’Es’Es6:5315,641−T + Qkleine Terz
,,Dis-’Ges’’’Feses4096:3375335,194−3T − 3Q + 3Okdoppelt verminderte Quarte
’Ges-,,Ais,,,Disis10125:8192366,7613T + 4Q − 3Okdoppelt übermäßige Sekunde
C-,E,E5:4386,314Tgroße Terz
D-’Ges’Fes512:405405,866−T − 4Q + 3Ok(kleinere) verminderte Quarte
,A-,cisE81:64407,8204Q − 2Okpythagoreisch große Terz = Ditonos
,E-’As’’Fes32:25427,373−2T + Okverminderte Quarte
’Es-,,Gis,,,Eis125:96456,9863T − Q(kleinere) übermäßige Terz
F-,,Ais,,Eis675:512478,4922T + 3Q − 2Ok(größere) übermäßige Terz
C-FF4:3498,045−Q + OkQuarte
,Cis-’Ges’’Geses8192:6075517,598−2T − 5Q + 4Okdoppelt verminderte Quinte
,A-d’F27:20519,551−T + 3Q − Okunreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
,,Dis-’As’’’Geses512:375539,104−3T − Q + 2Okdoppelt verminderte Quinte
D-,,Gis,,Fis25:18568,7172T − 2Q + Ok(kleinere) übermäßige Quarte
’Ges-,cis,,Fisis6075:4096682,4022T + 5Q − 3Okdoppelt verminderte Quarte
C-,Fis,Fis45:32590,224T + 2Q − OkTritonus, übermäßige Quarte
,Fis-c’Ges64:45609,776−T − 2Q + 2Ok(kleinere) verminderte Quinte
,A-’es’’Ges36:25631,283−2T + 2Q(größere) verminderte Quinte
’Es-,,Ais,,,Fisis375:256660,8963T + Q − Okdoppelt übermäßige Quarte
D-,A,G40:27680,449T − 3Q + 2Okunreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
C-GG3:2701,955QQuinte
,H-’ges’’Asas1024:675721,508−2T − 3Q + 3Ok(kleinere) verminderte Sexte
,,Dis-’B’’’Asas192:125743,014−3T + Q + Ok(größere) verminderte Sexte
C-,,Gis,,Gis25:16772,6272Tkleine übermäßige Quinte, Doppelterz
,Cis-,AAs128:81792,180−4Q + 3Okpythagoreische kleine Sexte
F-,cis,Gis405:256794,134T + 4Q − 2Ok(größere) übermäßige Quinte
,E-c’As8:5813,686−T + Okkleine Sexte
,,Ais-’ges’’’Beses16384:10125833,239−3T − 4Q + 4Okdoppelt verminderte Septime
’Des-,,Ais,,,Gisis3375:2048864,8063T + 3Q − 2Okdoppelt übermäßige Quinte
C-,A,A5:3884,359T − Q + Okgroße Sexte
F-dA27:16905,8653Q − Okpyth. große Sexte (im II. Akkord)
,E-’des’’Bes128:75925,418−2T − Q + 2Ok(größere) verminderte Septime
’B-,,gis,,,Ais125:72955,0313T − 2Q + Ok(kleinere) übermäßige Sexte
C-,,Ais,,Ais225:128976,5372T + 2Q − Ok(größere) übermäßige Sexte
D-cB16:9996,090−2Q + 2Okkleinere kleine Septime (= Oktave − großer Ganzton)
C-’B’B9:51017,596−T + 2Qgrößere kleine Septime (= Oktave − kleiner Ganzton)
,,Dis-’des’’’ceses2048:11251037,149−3T − 2Q + 3Okdoppelt verminderte Oktave
’B-,,ais,,,his125:641158,9413Tübermäßige Septime
’B-,a,,H50:271066,7622T − 3Q + 2Ok(kleinere) große Septime
C-,H,H15:81088,269T + Qgroße Septime
,Cis-c’ces256:1351107,821−T − 3Q + 3Ok(kleinere) verm. Oktave
,,Dis-d’’ces48:251129,328−2T + Q + Ok(größere) verminderte Oktave
’Des-,cis,,his2025:10241180,4472T + 4Q − 2Ok(größere) überm. Septime
C-cc2:11200OkOktave

Intervalle nach Größe geordnet

Bezeichnungen:

C-Cis-Des*-D-Dis*-Es-E… Pythagoreische Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf reinen Quinten.

(C)-(Cis)-(Des*)-(D)-(Dis*)-(Es)-(E)-(F)-… ¼-Komma-mitteltönige Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte, aufbauend auf mitteltönigen Quinten (696,578 Cent).

C-,Cis-’Des-D-,,Dis-’Es-,E … Reine Tonleiter ergänzt um Halbtonschritte (Bezeichnungen siehe Eulersches Tonnetz: »Tiefkomma x« mit der Bezeichnung »,x« bedeutet »,x« ist ein syntonisches Komma tiefer als »x«. »Hochkomma x« mit der Bezeichnung »’x« ist ein syntonisches Komma höher als »x«).

  • Ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2)
  • Q = Quinte (Frequenzverhältnis 3:2)
  • Qm = mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis )
  • T = große Terz (Frequenzverhältnis 5:4).
Intervallevon C
aus bis
Frequenzverhältnisin CentBerechnungIntervallbezeichnung
C-CC1:1    0Prim
,His32805:32768    1,9548Q + T − 5OkSchisma = Differenz pythagoreisches und syntonisches Komma
'''Fes-,,,Eis,,,,,,Hisis15625:15552    8,1076T-5Q+OkKleisma
,Cis-’Des’’Deses2048:2025  19,553−2T − 4Q + 3Ok(kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
’C81:80  21,5064Q − T − 2Oksyntonisches Komma: Differenz d(C-dur) und,d(F-dur)
Des*-CisHis531441:524288  23,46012Q − 7Okpythagoreisches Komma
(Dis)-(Es)
=,,Dis-’Es
(Deses)
=’’’Deses
128:125  41,059−12Qm + 7Ok = −3T + Ok(in der reinen Stimmung: größere) verminderte Sekunde = kleine Diësis (Differenz von Oktave zu 3 großen Terzen).
’’’’Deses648:625  62,5654Q − 4T − Okgroße Diësis = Differenz von vier kleinen Terzen zur Oktave
D-,,Dis,,Cis25:24  70,6722T − Q(kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
(C)-(Cis)(Cis)(5:16)w3  76,0497Qm − 4Okchromatischer mitteltöniger Halbton
E-FDes256:243  90,225−5Q + 3Okpythagoreisches Limma = pythagoreische kleine Sekunde
C-,Cis,Cis135:128  92,179T + 3Q − 2Ok(größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
100(1:12)Okkleine gleichstufige Sekunde
,E-F’Des16:15111,731−T − Q + Okkleine Sekunde, diatonischer Halbton
C-CisCis2187:2048113,6857Q − 4Okpythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
(E)-(F)(Des)(8:25)w3117,108−5Qm + 3Okdiatonischer mitteltöniger Halbton
,A-’B’’Des27:25133,238−2T + 3Q − Ok(größere) kleine Sekunde, großes Limma,
(Des*)-(Dis*)(Cisis)(125:256)w2152,09814Qm − 8Okmitteltönige doppelt übermäßige Prim
’Des-,,Dis,,,Cisis1125:1024162,8513T + 2Q − 2Okdoppelt übermäßige Prim
Cis-EsEses65536:59049180,450−10Q + 6Okpythagoreische verminderte Terz
D-,E,D10:9182,404T − 2Q + Okkleiner Ganzton
(C)-(D)(D)(1:2)w2193,1572Qm − Okmitteltöniger Ganzton
200(2:12)Okgroße gleichstufige Sekunde
C-DD9:8203,9102Q − Okgroßer Ganzton = pythagoreische Sekunde
,E-’Ges’’Eses256:225223,463−2T − 2Q + 2Ok(kleinere) verminderte Terz
Des*-Dis*Cisis4782969:4194304227,37014Q − 8Okpythagoreische doppelt übermäßige Prim
(Cis)-(Es)(Eses)(64:125)w2234,216−10Qm + 6Okmitteltönig verminderte Terz
,,Gis-’B’’’Eses144:125244,969−3T + 2Q(größere) verminderte Terz
(Es)-(Fis)(Dis)(25:32)w269,2069Qm − 5Okmitteltönige übermäßige Sekunde
Dis*-Ges*Feses16777216:14348907270,675−15Q + 9Okpythagoreische doppelt verminderte Quarte
C-,,Dis,,Dis75:64274,5822T + Q − Okübermäßige Sekunde
D-FEs32:27294,135−3Q + 2Okpythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
300(3:12)Okkleine gleichstufige Terz
(D)-(F)(Es)(4:5)w310,265−3Qm + 2Okmitteltönige kleine Terz
C-’Es’Es6:5315,641−T + Qkleine Terz
Es-FisDis19683:16384317,5959Q − 5Okpythagoreische übermäßige Sekunde
,,Dis-’Ges’’’Feses4096:3375335,194−3T − 3Q + 3Okdoppelt verminderte Quarte
(Ges*)-(Ais*)(Disis)625:512345,25516Qm − 9Ok = 4T − Okmitteltönig doppelt übermäßige Sekunde. (Disis) = ,,,,Disis.
(Dis*)-(Ges*)(Feses)(512:625)w351,324−15Qm + 9Okmitteltönig doppelt verminderte Quarte
’Ges-,,Ais,,,Disis10125:8192366,7613T + 4Q − 3Okdoppelt übermäßige Sekunde
Cis-FFes8192:6561384,360−8Q + 5Okpythagoreische verminderte Quarte
(C)-(E)
=C-,E
(E)
=,E
5:4386,3144Qm − 2Ok = Tgroße Terz
400(4:12)Okgroße gleichstufige Terz
D-’Ges’Fes512:405405,866−T − 4Q + 3Ok(kleinere) verminderte Quarte
,A-,cisE81:64407,8204Q − 2Okpythagoreisch große Terz = Ditonos
(Cis)-(F)
=,E-’As
(Fes)
=’’Fes
32:25427,373−8Qm + 5Ok = Ok − 2Tverminderte Quarte
Ges*-Ais*Disis43046721:33554432431,28016Q − 9Okpythagoreische doppelt übermäßige Sekunde
’Es-,,Gis,,,Eis125:96456,9863T − Q(kleinere) übermäßige Terz
(Es)-(Gis)(Eis)(25:64)w3462,36311Qm − 6Okmitteltönig übermäßige Terz
Cis-Ges*Geses2097152:1594323474,585−13Q + 8Okpythagoreische doppelt verminderte Quinte
F-,,Ais,,Eis675:512478,4922T + 3Q − 2Ok(größere) übermäßige Terz
C-FF4:3498,045−Q + OkQuarte
500(5:12)Okgleichstufige Quarte
(C)-(F)(F)(2:5)w3503,422−Qm + Okmitteltönige Quarte
,Cis-’Ges’’Geses8192:6075517,598−2T − 5Q + 4Okdoppelt verminderte Quinte
,A-d’F27:20519,551−T + 3Q − Okunreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
Es-GisEis177147:131072521,50511Q − 6Okpythagoreische übermäßige Terz
,,Dis-’As’’’Geses512:375539,104−3T − Q + 2Okdoppelt verminderte Quinte
(Cis)-(Ges*)(Geses)(256:625)w3544,480−13Qm + 8Okmitteltönig doppelt verminderte Quinte
11:8551,318Nur zur Ergänzung: Das Alphorn-Fa (der 11. Naturton)
D-,,Gis,,Fis25:18568,7172T − 2Q + Ok(kleinere) übermäßige Quarte
(F)-(H)(Fis)(5:8)w2579,4716Qm − 3Okmitteltönige übermäßige Quarte, mitteltöniger Tritonus
E-BGes1024:729588,270−6Q + 4Okpythagoreische verminderte Quinte
C-,Fis,Fis45:32590,224T + 2Q − OkTritonus, übermäßige Quarte
600(6:12)Okgleichstufiger Tritonus, übermäßige gleichstufige Quarte, verminderte gleichstufige Quinte
,Fis-c’Ges64:45609,776−T − 2Q + 2Ok(kleinere) verminderte Quinte
C-FisFis729:512611,7306Q − 3Okpythagoreische übermäßige Quarte = pythagoreischer Tritonus
(Cis)-(G)(Ges)(16:25)w2620,529−6Qm + 4Okmitteltönige verminderte Quinte
,A-’es’’Ges36:25631,283−2T + 2Q(größere) verminderte Quinte
(Des*)-(Gis)(Fisis)(125:128)w655,52013Qm − 7Okmitteltönig doppelt übermäßige Quarte
’Es-,,Ais,,,Fisis375:256660,8963T + Q − Okdoppelt übermäßige Quarte
Gis-esAsas262144:177147678,495−11Q + 7Okpythagoreische verminderte Sexte
D-,A,G40:27680,449T − 3Q + 2Okunreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
’Ges-,cis,,Fisis6075:4096682,4022T + 5Q − 3Okdoppelt verminderte Quarte
(C)-(G)(G)w696,578Qmmitteltönige Quinte
700(7:12)Okgleichstufige Quinte
C-GG3:2701,955QQuinte
,H-’ges’’Asas1024:675721,508−2T − 3Q + 3Ok(kleinere) verminderte Sexte
Es-Ais*Fisis1594323:1048576725,41513Q − 7Okpythagoreische doppelt übermäßige Quarte
(Gis)-(es)(Asas)(128:125)w737,637−11Qm + 7Okmitteltönig verminderte Sexte
,,Dis-’B’’’Asas192:125743,014−3T + Q + Ok(größere) verminderte Sexte
Ais*-ges*Beses67108864:43046721768,720−16Q + 10Okpythagoreische doppelt verminderte Septime
(C)-(Gis)
=C-,,Gis
(Gis)
=,,Gis
25:16772,6278Qm − 4Ok = 2T(In der Reinen Stimmung kleinere) übermäßige Quinte, Doppelterz
E-cAs128:81792,180−4Q + 3Okpythagoreische kleine Sexte
F-,cis,Gis405:256794,134T + 4Q − 2Ok(größere) übermäßige Quinte
800(8:12)Okkleine gleichstufige Sexte
,E-c’As8:5813,686−T + Okkleine Sexte
C-GisGis6561:4096815,6408Q − 4Okpythagoreische übermäßige Quinte
,,Ais-’ges’’’Beses16384:10125833,239−3T − 4Q + 4Okdoppelt verminderte Septime
(Des*)-(Ais*)(Gisis)(125:256)w3848,67615Qm − 8Okmitteltönige doppelt übermäßige Quinte
(Ais*)-(ges*)(Beses)1024:625854,745−16Qm + 10Ok = −4T + 2Okmitteltönige doppelt verminderte Septime. (Beses) = ’’’’Beses.
’Des-,,Ais,,,Gisis3375:2048864,8063T + 3Q − 2Okdoppelt übermäßige Quinte
Cis-BBes32768:19683882,405−9Q + 6Okpythagoreische verminderte Septime
C-,A,A5:3884,359T − Q + Okgroße Sexte
(C)-(A)(A)(1:2)w3889,7353Qm − Okmitteltönige große Sexte
900(9:12)Okgroße gleichstufige Sexte
C-AA27:16905,8653Q − Okpythagoreische große Sexte
,E-’des’’Bes128:75925,418−2T − Q + 2Ok(größere) verminderte Septime
Des*-Ais*Gisis14348907:8388608929,32515Q − 8Okpythagoreische doppelt übermäßige Quinte
(Cis)-(B)(Bes)(64:125)w3930,794−9Qm + 6Okmitteltönige verminderte Septime
’B-,,gis,,,Ais125:72955,0313T − 2Q + Ok(kleinere) übermäßige Sexte
(Es)-(cis)(Ais)(25:32)w2965,78410Qm − 5Okmitteltönige übermäßige Sexte
7:4968,826iNur zur Ergänzung: Die Naturseptime, der 7. Naturton, manchmal mit i bezeichnet.
Dis*-des*Ceses8388608:4782969972,630−14Q + 9Okpythagoreische doppelt verminderte Oktave
C-,,Ais,,Ais225:128976,5372T + 2Q − Ok(größere) übermäßige Sexte
D-cB16:9996,090−2Q + 2Okpythagoreische kleine Septime
1000(10:12)Okkleine gleichstufige Septime
(D)-(c)(B)(4:5)w21006,843−2Qm + 2Okmitteltönige kleine Septime
C-’B’B9:51017,596−T + 2Qkleine Septime
Es-cisAis59049:327681019,55010Q − 5Okpythagoreische übermäßige Sexte
,,Dis-’des’’’ceses2048:11251037,149−3T − 2Q + 3Okdoppelt verminderte Oktave
(Gis)-(ges*)(ceses)(512:625)w21047,902−14Qm + 9Okmitteltönige doppelt verminderte Oktave
’B-,a,,H50:271066,7622T − 3Q + 2Ok(kleinere) große Septime
(C)-(H)(H)(5:4)w1082,8925Qm − 2Okmitteltönige große Septime
Cis-cCes4096:21871086,315−7Q + 5Okpythagoreische verminderte Oktave
C-,H,H15:81088,269T + Qgroße Septime
1100(11:12)Okgroße gleichstufige Septime
,Cis-c’ces256:1351107,821−T − 3Q + 3Ok(kleinere) verminderte Oktave
C-HH243:1281109,7755Q − 2Okpythagoreische große Septime
(Cis)-(c)(ces)(32:25)w1123,951−7Qm + 5Okmitteltönige verminderte Oktave
,,Dis-d’’ces48:251129,328−2T + Q + Ok(größere) verminderte Oktave
(Es)-(dis*)
=’B-,,ais
(his)
=,,,his
125:641158,94112Qm − 6Ok = 3Tübermäßige Septime
Cis-des*deses1048576:5314411176,540−12Q + 8Okpythagoreische verminderte None (= Ok − pythagoreische verminderte Sek.)
’Des-,cis,,his2025:10241180,4472T + 4Q − 2Ok(größere) übermäßige Septime
C-c2:11200OkOktave

Anmerkungen

  1. Quellen: Rudolf Wille: Mathematik und Musiktheorie. In: Musik und Zahl. Bonn/Bad Godesberg 1976, S. 233–264; Mathematische Sprache in der Musiktheorie. In: Jahrbuch Überblicke Mathematik. 1980, S. 167–184; Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios,dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra. Verlag Peter Lang, Frankfurt am Main, ISBN 3-8204-9492-8.
  2. Cooper, Paul (1973). Perspectives in Music Theory: An Historical-Analytical Approach, S. 16. ISBN 0-396-06752-2. Zitat="common in most musical systems"
  3. Die Angaben beziehen sich auf die reine Stimmung, bei der Intervallen ganzzahlige Verhältnisse zugeordnet werden können.
  4. Euklid rechnete mit Proportionen, nämlich mit Saitenverhältnissen, die dem Kehrwert der Frequenzverhältnisse entsprechen.
  5. Herleitung: Aus Quinte = k · Oktave folgt 3/2 = (Quinte) = (k · Oktave) = (Oktave)k = 2k, und aus 2k = 3/2 folgt k = log2 (3/2).
  6. Schon der Pythagoreer Archytas von Tarent (ca. 400 v. Chr.) bewies, dass die Oktave, die Quinte und Quarte usw. nicht halbierbar sind, wenn man kommensurable Größen zugrunde legt.
  7. eclass.uoa.gr
  8. Beachte: 700-11p hat das Frequenzverhältnis: (2/3)11•27 (11 Quinten abwärts oktaviert, siehe asas) ⇒ 2(700-11p+3K)/1200 = (2/3)11•27•(81/80)3=192/125
  9. Die Tiefkommata bei den Tonnamen greifen die Bezeichnungen im Eulerschen Tonnetz auf. Die Farbe der Tonnamen korrespondiert mit jener der Kreismarken.
  10. Bei der Eulerschen Schreibweise - eine Notation für die reine Stimmung bedeutet das Tiefkomma eine Erniedrigung um das syntonische Komma = 21,5 Cent. Hier bedeutet das Tiefkomma eine Erniedrigung um 1200/53 Cent = 22,6 Cent. Eine Abweichung von 1 Cent kann man nicht vom Hören her unterscheiden.
  11. Die Annäherungen der Oktave durch Quinten (12 Quinten entspricht ungefähr 7 Oktaven) führte zur gleichstufigen Temperierung durch Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Sie hat den Nachteil sehr rauer großer Terzen. Die nächste Annäherung (41 Quinten entspricht ungefähr 24 Oktaven) ist für eine gleichstufige Unterteilung der Oktave in 41 Teile besser, allerdings nicht befriedigend bezüglich der großen Terz und der Verrückungen um ein syntonisches Komma. Die folgende Annäherung der Oktave (53 Quinten entspricht fast genau 31 Oktaven) hat einen überzeugenden Vorteil: Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle, so entspricht die 31. Stufe (701,887 Cent) sehr genau der reinen Quinte (701,955 Cent) und – das ist besonders wichtig und so nicht zu erwarten – die 17. Stufe (384,906 Cent) der Großterz (386,314 Cent) und die Verrückung um ein syntonisches Komma (21,506 Cent) um fast genau eine Stufe (22,642 Cent) dieser Temperierung.
  12. Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Vieweg, Braunschweig 1863, S. 531 (Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981), ISBN 3-8102-0715-2, (Exzerpt). Helmholtz schreibt weiter: „Eine solche Stimmung hat neuerdings Herr Bosanquet für ein Harmonium mit symmetrisch angeordneter Tastatur benutzt. [An elementary Treatease on Musical Intervals and Temperament by. R.H.M. Bosanquet, London. Macmillan 1875]“.
  13. Tanaka bemerkt dazu: Rameau berechnete das Intervall des Kleisma in der Tabelle auf S. 26 seines Buches "Nouveau Système des Musique théorique, Paris 1726".
  14. Wir rechnen hier additiv mit der Zarlino-Schreibweise für Intervalle und nicht multiplikativ mit Frequenzverhältnissen, was eine ganz geringfügige Abweichung (maximal 2 Cent) von der reinen Stimmung bedeutet. Ein Teil hat die Größe von 1200:53 Cent = 22,6 Cent, was angenähert dem pythagoreischen Komma (23,5 Cent) bzw. dem syntonischen Komma (21,5 Cent) entspricht.
  15. Die Halbtöne e-f und h-c′ werden hier noch um 1/4 Teil vergrößert, damit die Oktave c-c′ mit 53 Teilen erreicht wird.
  16. a b c Winfried Neumaier S. 64ff. zeigt: Schon Aristoxenos rechnete im 3. Jh. vor Chr. wie hier im Abschnitt beschrieben. Er rechnete mit Oktave, Quinte, Quarte = Oktave − Quinte, Ganzton = Quinte − Quarte und mit Hilfe des Axioms, dass man den Ganzton noch teilen kann, mit Halbtönen und sogar mit Vierteltönen (nicht jedoch mit reinen großen Terzen). Als Erfahrungswert „erhörte“ er: Quarte = 2½ Ganztöne und baute darauf eine in sich schlüssige Theorie. (Euklid erkannte: 2½ Ganztöne sind geringfügig kleiner als die Quarte.)
    Nach Neumaier kann man zum Beispiel am Spinett noch verifizieren: 53 Quinten = 31 Oktaven (kein Hörunterschied mehr) und dies ergibt dann: Quinte=3153 Oktave=702 Cent. Man kann also ohne Akustik schon sehr genaue Werte für Intervallgrößen ermitteln.
  17. Dies ist neben der Anschaulichkeit für die Interpretation historischer Tonsystembeschreibungen wichtig. Nach Wilfried Neumaier Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios, dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra (= Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis in die Gegenwart. Bd. 9). Peter Lang, Frankfurt am Main u. a. 1986, ISBN 3-8204-9492-8.
  18. Die nächstbessere Annäherung wäre: 28 große Terzen = 9 Oktaven (mit dem Gehör wohl kaum nachvollziehbar), also große Terz = 928 Oktave =386 Cent.
  19. Die genauen Werte der Intervalle in der reinen Stimmung, die mit Hilfe der Frequenzverhältnisse berechnet werden, unterscheiden sich von den hier ermittelten Werten nur noch ganz geringfügig:
    • große Terz (rein) = 1200•log2(5/4) = 386 Cent
    • kleine Terz (rein) = 1200•log2(6/5) = 316 Cent
    • Quinte (rein) = 1200•log2(3/2) = 702 Cent
  20. Die Abweichung von der reinen Stimmung ist kleiner als ein Schisma (2 Cent).
    • Ok = 1200 Cent (Also k = 1200/53 Cent = 22,642 Cent)
    • Q = 1200*log2(3/2) Cent = 701,955 Cent. 31k = 701,887 Cent
    • gT = 1200*log2(5/4)) Cent = 386,3137 Cent. 17k = 384,906 Cent
  21. Wenn keine Skalarmultiplikation im Intervallraum vorausgesetzt wird, gilt die Definition . Diese kleinste obere Schranke muss nicht immer existieren. Das Quint-Terz-System (der Intervallraum aller Vielfache von Ok, Q und gT) enthält zum Beispiel nicht , da nicht existiert, nur beliebige Näherungen. Zum Beispiel
    • 2Q+gt-Ok = 590 Cent (Tritonus)
    • 6Ok-5Q-8gT=599,7 Cent
    • 706Q-285Ok-396gT=599,99992 Cent
  22. Im Gegensatz zur reinen oder mitteltönigen Stimmung ist in der pythagoreischen Stimmung der Ton Cis höher als Des oder – besser bekannt – His höher als c. Deshalb ist der Ton Deses tiefer als C und das Intervall Cis-Des* bzw. C-Deses hier negativ notiert. Das um eine Oktave vergrößerte Intervall Cis-des* bzw. C-deses ist hier als pythagoreische verminderte None notiert. Um von Cis nach Des zu gelangen, bzw. von His nach c muss man zwölf Quinten nach unten und sieben Oktaven nach oben. Das pythagoreische Komma erhält man bekanntlich als Intervall = zwölf Quinten nach oben und sieben Oktaven nach unten.

Auf dieser Seite verwendete Medien

Neapolitanischersextakkord.ogg
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Klangbeispiel für den neapolitanischen Sextakkord in reiner Stimmung
Frequenzen               Tonbez.         Frequnezverhältnisse
110 264 330 440          ,a  c ,e   ,a   6/5 5/4 4/3 
146,7 293,3 352 469,3    ,d ,d  f    b   2/1 6/5 4/3 
165 247,5 330 412,5      ,e ,h, ,e ,,gis 3/2 4/3 5/4 
110 264 330 440          ,a  c ,e   ,a   12/5 5/4 4/3 
Tonbezeichnung des Eulerschen Tonnetzes (https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersches_Tonnetz) 
Quinten 1 4.ogg
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Mitteltönige Quinten C-G G-D D-A A-E und die reine Terz C-E zur Darstellung der (kleinen) Schwebungen
Quinten 1 4.svg
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Notenbild CG GD DA AE CE
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Quintentabelle nach Tanaka
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Tonhöhen der rein gestimmten Dur- und Molltonarten im Oktavkreis. Mit den 53 durch Kreismarken bezeichneten Tönen (Außenbereich der Graphik [1]) sind 15 Durtonleitern mit den Quinttönen cb{{!}}gb...c ...f#{{!}}c# als Grundtöne spielbar, ebenso die 45 parallelen Tonleitern der drei Mollmodi, deren Grundtöne ,ab{{!}},eb...,a...,d#{{!}},a# eine kleine Terz tiefer als die Quinttöne liegen. Die Tonleitern im Innenbereich illustrieren die Tonabstände an den Tonarten C-Dur und drei Mal ,a-Moll.
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12-stufige mitteltönige Tastatur
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Neapolitanischer Sextakkord
Tastatur gleichstufig.svg
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12-stufige gleichstufige Tastatur, bei der Cis und Des etc. "verwechselt werden können"
Tastatur mitteltoenig 53 skala.gif
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Tastatur der mitteltönigen Stimmung mit der Zarlinobezeichnung