Todd-Klasse

Die Todd-Klasse ist eine Konstruktion aus der algebraischen Topologie der charakteristischen Klassen. Die Todd-Klasse eines Vektorbündels kann mit der Theorie der Chern-Klassen erklärt werden und existiert dort, wo diese existieren, besonders in der Differentialtopologie, der Theorie komplexer Mannigfaltigkeiten und in der algebraischen Geometrie. Grob gesagt wirkt sie wie eine reziproke Chern-Klasse beziehungsweise steht zu ihr in Beziehung wie ein Normalenbündel zu einem Konormalenbündel. Die Todd-Klasse spielt eine fundamentale Rolle in der Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch auf höhere Dimensionen, im Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch oder Satz von Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch.

Sie wird nach dem englischen Mathematiker John Arthur Todd benannt, der einen Spezialfall 1937 in die algebraische Geometrie einführte, vor der Definition der Chern-Klassen. Die geometrische Idee wird manchmal auch Todd-Eger-Klasse genannt, die allgemeine Definition in höheren Dimensionen stammt von Friedrich Hirzebruch (in seinem Buch Topologische Methoden der algebraischen Geometrie).

Definition

Um die Todd-Klasse ${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$ zu einem komplexen ${\displaystyle n}$-dimensionalen Vektorbündel ${\displaystyle E}$ auf einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ zu definieren, ist es meist möglich sich auf eine Whitney-Summe (das heißt direkte Summe) von Geradenbündeln zu beschränken unter Verwendung einer allgemeinen Methode aus der Theorie charakteristischer Klassen, den Chern-Wurzeln. Man betrachte

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)=&{\frac {x}{1-e^{-x}}}\\=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k!}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{12}}x^{2}+\ldots \end{aligned}}}$

als formale Potenzreihe, wobei die Koeffizienten ${\displaystyle B_{i}}$ die Bernoullizahlen sind. Falls ${\displaystyle E}$ die ${\displaystyle \alpha _{i}}$ als Chern-Wurzeln hat, ist

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod _{i=1}^{n}Q(\alpha _{i})=\prod _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k!}}\alpha _{i}^{k}\,,}$

was im Kohomologiering von ${\displaystyle X}$ berechnet wird (oder in seiner Vervollständigung, falls man unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten betrachtet).

Die explizite Form der Todd-Klasse als formale Potenzreihe in den Chern-Klassen ist:

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=1+c_{1}\cdot {\frac {1}{2}}+(c_{1}^{2}+c_{2})\cdot {\frac {1}{12}}+c_{1}c_{2}\cdot {\frac {1}{24}}+\ldots \,,}$

wobei die Kohomologieklassen ${\displaystyle c_{i}}$ die Chern-Klassen von ${\displaystyle E}$ sind und in der Kohomologiegruppe ${\displaystyle H^{2i}(X)}$ liegen. Falls ${\displaystyle X}$ endlichdimensional ist, verschwinden die meisten Terme und ${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$ ist ein Polynom in den Chern-Klassen.

Literatur

• Friedrich Hirzebruch: Topological methods in algebraic geometry (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 131). 2nd corrected printing of the 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 3-540-03525-7.
• J. Todd: The arithmetical theory of algebraic loci. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 43, 1937, ISSN 0024-6115, S. 190–225.