Titanische Primzahl

Der Begriff titanische Primzahl (englisch titanic prime (number)) wurde von Samuel Yates geprägt und bezeichnet eine Primzahl mit mindestens 1000 Dezimalstellen.[1]
Die kleinsten titanischen Primzahlen haben exakt 1000 Stellen, sind von der Form und haben folgendes :

= 7, 663, 2121, 2593, 3561, 4717, 5863, 9459, 11239, 14397, 17289, 18919, 19411, 21667, 25561, 26739, 27759, 28047, 28437, 28989, 35031, 41037, 41409, 41451, 43047, 43269, 43383, 50407, 51043, 52507, 55587, 59877, 61971, 62919, 63177, … (Folge A074282 in OEIS)

Die ersten beiden titanischen Primzahlen wurden am 3. November 1961 von Alexander Hurwitz entdeckt. Es waren die beiden Mersenne-Primzahlen mit 1281 Stellen und mit 1332 Stellen. Die Primalität von wurde an diesem Tag als erstes berechnet, Hurwitz hat aber am Computer die Ausgabe von wenige Sekunden vor als erstes bemerkt. Dadurch entstand eine kurze Diskussion zwischen Selfridge und Hurwitz darüber, welche Primzahl somit als erste entdeckt wurde. Offiziell ist es .[2]

Jemand, der eine titanische Primzahl entdeckt hat, ist nach Samuel Yates ein Titan (englisch titan).[3]

Arten

Gigantische Primzahl

Eine gigantische Primzahl (englisch gigantic prime (number)) ist eine Primzahl mit mindestens 10.000 Dezimalstellen. Dieser Name wurde erstmals im Jahr 1992 im Artikel Collecting gigantic and titanic primes von Samuel Yates erwähnt.[4]

Die erste gigantische Primzahl wurde am 8. April 1979 von Harry L. Nelson und David Slowinski entdeckt. Es war die Mersenne-Primzahl mit 13.395 Stellen.[2]

Die kleinsten gigantischen Primzahlen haben exakt 10.000 Stellen, sind von der Form und haben folgendes :

= 33603, 55377, 70999, 78571, 97779, 131673, 139579, 236761, 252391, 282097, 333811, 342037, 355651, 359931, 425427, 436363, 444129, 473143, 479859, 484423, 515787, 543447, 680979, 684273, 709053, 709431, 780199, 781891, 788527, 813019, … (Folge A142587 in OEIS)

Heutzutage kann man mit einem normalen PC mehrere (ähnlich kleine) gigantische Primzahlen pro Tag entdecken.

Die Anzahl der neu gefundenen Megaprimzahlen pro Jahr

Megaprimzahl

Eine Megaprimzahl (englisch megaprime (number)) ist eine Primzahl mit mindestens 1.000.000 Dezimalstellen.[5]

Die erste Megaprimzahl wurde am 1. Juni 1999 von Nayan Hajratwala entdeckt. Es war die Mersenne-Primzahl mit 2.098.960 Stellen.[2][6]

Es sind zurzeit 2297 Megaprimzahlen und 112 PRP-Zahlen mit mindestens einer Million Stellen bekannt (Stand: 15. Oktober 2023).[7][8]

Bevaprimzahl

Eine Bevaprimzahl (englisch bevaprime (number)) ist eine Primzahl mit (mindestens) 1.000.000.000 (= 1 Milliarde, engl. 1 billion) Dezimalstellen. Sie wird auch Gigaprimzahl genannt, allerdings ist die Verwechslungsgefahr mit „gigantischer Primzahl“ in diesem Falle recht hoch. Die Bezeichnung Bevaprimzahl wurde von Chris Caldwell spätestens seit Ende 2003 verwendet,[2][9] er hat diese Bezeichnung jedoch zwischen 1. und 22. Januar 2016 wieder aus dem Artikel "The Largest Known Prime by Year: A Brief History" entfernt.[10]

Es sind zwar noch keine Bevaprimzahlen bekannt, trotzdem weiß man, dass fast alle Primzahlen Bevaprimzahlen sind. Dies liegt daran, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe Satz von Euklid), aber nur endlich viele von diesen weniger als eine Milliarde Dezimalstellen haben. Es müssen also alle „restlichen“ Primzahlen mehr als eine Milliarde Stellen haben.

Primzahlrekorde

Es folgt eine Liste der kleinsten und größten (bekannten) Primzahlen der obigen Formen. Einige davon sind allerdings Zahlen, die sehr viele Eigenschaften einer Primzahl erfüllen, bei denen man aber noch nicht ganz sicher ist, ob es sich tatsächlich um Primzahlen oder doch „nur“ um Pseudoprimzahlen handelt. Solche „wahrscheinlichen Primzahlen“ nennt man PRP-Zahlen (Stand: 17. Dezember 2021).

ZahlStatusRekordFormDezimalstellenEntdeckungsdatumEntdeckerQuellen
primgrößte nicht-titanische Primzahl---999??[11]
primkleinste titanische Primzahltitanisch1000??[12]
primgrößte titanische, aber nicht gigantische Primzahltitanisch9.999??[13]
primkleinste gigantische Primzahlgigantisch10.000August 2003Jens Franke, Thorsten Kleinjung, Tobias Wirth[13][14][15]
PRPgrößte PRP-Zahl mit weniger als 100.000 Stellengigantisch99.999Juli 2009Patrick De Geest[16]
PRPkleinste PRP-Zahl mit mindestens 100.000 Stellengigantisch100.000Januar 2004Daniel Heuer[16][17]
primgrößte gesicherte gigantische Primzahl, die nicht Megaprimzahl istgigantisch999.99910. September 2021Ryan Propper, Serge Batalov[18]
PRPgrößte gigantische PRP-Zahl, die nicht Megaprimzahl istgigantisch999.999Dezember 2016Patrick De Geest[8]
PRPkleinste PRP-Zahl mit mindestens 1.000.000 StellenMegaprimzahl1.000.000Februar 2013Peter Kaiser[8][19]
primkleinste gesicherte MegaprimzahlMegaprimzahl1.000.00019. Februar 2021Serge Batalov[20]
primgrößte bekannte Megaprimzahl mit weniger als 10.000.000 StellenMegaprimzahl, 44. Mersenne-Primzahl M325826579.808.3584. September 2006Curtis Cooper, Steven R. Boone[21][7]
primkleinste bekannte Megaprimzahl mit mindestens 10.000.000 StellenMegaprimzahl, 45. Mersenne-Primzahl M3715666711.185.2726. September 2008Hans-Michael Elvenich[22][7]
primgrößte bekannte MegaprimzahlMegaprimzahl, evtl. 51. Mersenne-Primzahl M8258993324.862.04821. Dezember 2018Patrick Laroche[23][24][7][25]

Der nächsten Liste kann man die bisher 10 größten bewiesenen Primzahlen entnehmen.[7][26] Die meisten davon sind Mersenne-Primzahlen,[25] allesamt sind Megaprimzahlen (Stand: 16. Oktober 2023).

RangPrimzahlEigenschaftDezimalstellenEntdeckungsdatumEntdeckerQuellen
1.evtl. 51. Mersenne-Primzahl 24.862.04821. Dezember 2018Patrick Laroche[27]
2.evtl. 50. Mersenne-Primzahl 23.249.4253. Januar 2018Jonathan Pace[28]
3.evtl. 49. Mersenne-Primzahl 22.338.61819. Januar 2016Curtis Cooper[29]
4.48. Mersenne-Primzahl 17.425.1705. Februar 2013Curtis Cooper[30]
5.47. Mersenne-Primzahl 12.978.18923. August 2008Edson Smith[31]
6.46. Mersenne-Primzahl 12.837.06413. Juni 2009Odd Magnar Strindmo[32]
7.größte verallgemeinerte einzigartige Primzahl11.887.19231. Mai 2023Ryan Propper, Serge Batalov[33]
8.45. Mersenne-Primzahl 11.185.2726. September 2008Hans-Michael Elvenich[34]
9.44. Mersenne-Primzahl 09.808.3584. September 2006Curtis Cooper, Steven R. Boone[35]
10.größte Colbert-Zahl
(Nachweis, dass keine Sierpiński-Zahl ist,
siehe auch Seventeen or Bust)
09.383.76131. Oktober 2016Péter Szabolcs[36][37]

Chris K. Caldwell: Smallest Titanics of Special Forms.

Quellen

  1. http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=TitanicPrime
  2. a b c d Chris K. Caldwell: The Largest Known Prime by Year: A Brief History. Abgerufen am 1. August 2020.
  3. http://primes.utm.edu/bios/page.php?lastname=Woltman
  4. http://primes.utm.edu/glossary/xpage/GiganticPrime.html
  5. http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Megaprime.html
  6. 26972593 - 1 auf Prime Pages
  7. a b c d e Liste der 5000 größten bekannten Primzahlen (englisch). Abgerufen am 15. Oktober 2023.
  8. a b c Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Records - Probable Primes Top 10000. PRP Records, abgerufen am 15. Oktober 2023.
  9. Chris K. Caldwell: The Largest Known Prime by Year : A Brief History. 2003, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 29. Dezember 2003; abgerufen am 20. Juni 2023.
  10. Chris K. Caldwell: The Largest Known Prime by Year: A Brief History. 2003, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 22. Januar 2016; abgerufen am 20. Juni 2023.
  11. Boivin: 6101. Prime Pages, abgerufen am 1. August 2020.
  12. Neil Sloane: Numbers n such that 10^999+n is a (Titanic) prime. OEIS, abgerufen am 1. August 2020.
  13. a b Patrick De Geest: A free forum for Gigantic Primes. World Of Numbers, abgerufen am 1. August 2020.
  14. Norman Luhn: 10000…33603 (10000-digits). Prime Pages, abgerufen am 1. August 2020.
  15. Neil Sloane: Numbers n such that 10^9999 + n is a (gigantic) prime. OEIS, abgerufen am 1. August 2020.
  16. a b Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Records - Probable Primes Top 10000 - Seite 36. PRP Records, abgerufen am 15. Oktober 2023.
  17. Pfoertner: 10000…09403 (100000-digits). Prime Pages, abgerufen am 1. August 2020.
  18. 10999999 - 1022306 · 10287000 - 1 auf Prime Pages
  19. Patrick De Geest: Search for the first PRP megaprime of the form 10^999999 + y. PRP Records, abgerufen am 1. August 2020.
  20. 10999999 + 308267 · 10292000 + 1 auf Prime Pages
  21. 232582657 - 1 auf Prime Pages
  22. 237156667 - 1 auf Prime Pages
  23. 282589933 - 1 auf Prime Pages
  24. GIMPS: GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1. Mersenne Research, Inc., abgerufen am 1. August 2020.
  25. a b Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Mersenne. Prime Pages, abgerufen am 19. März 2021.
  26. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Largest Known Primes. Prime Pages, abgerufen am 16. Oktober 2023.
  27. 282589933 - 1 auf Prime Pages
  28. 277232917 - 1 auf Prime Pages
  29. 274207281 - 1 auf Prime Pages
  30. 257885161 - 1 auf Prime Pages
  31. 243112609 - 1 auf Prime Pages
  32. 242643801 - 1 auf Prime Pages
  33. Phi(3,-4658591048576) auf Prime Pages
  34. 237156667 - 1 auf Prime Pages
  35. 232582657 - 1 auf Prime Pages
  36. 10223 · 231172165 - 1 auf Prime Pages
  37. 10223 · 231172165 - 1 auf primegrid.com (PDF)

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Megaprimzahlen, die pro Jahr gefunden wurden (bis zum 15. April 2019)