Tensorprodukt

Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra und somit ein vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient es zur Beschreibung multilinearer Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

Die Definition für den allgemeinen multilinearen Fall durch die universelle Eigenschaft im Sinne der Kategorientheorie befindet sich im Abschnitt zur universellen Eigenschaft. Eine konstruktive Definition – will sagen: eine Konstruktion und damit ein Beweis der Existenz des universellen Objekts – wird zuvor in koordinatenbasierter Weise in diesem Abschnitt gegeben. Auch wenn als Einstieg also eine koordinatenbasierte konstruktive Definition des Tensorprodukts mit nachfolgender Beleuchtung der wesentlichen Eigenschaften gewählt wurde, so legt dieser Artikel doch den Schwerpunkt auf die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorprodukts, ohne jedoch die Koordinatendarstellung zu übergehen: Siehe hier, da und dort. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.

Für die basisfreie Konstruktion sei auf den Artikel über das Tensorprodukt von Moduln verwiesen.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts

(für einen Vektorraum mit Dualraum , oft ) als gemischte Tensoren, kontravariant der Stufe und kovariant der Stufe . Kurz spricht man von Tensoren vom Typ . So lassen sich lineare Abbildungen als Tensoren aus oder aber als Tensoren auf dem Dualraum interpretieren. Wie sich diese zunächst verwirrende Vielfalt widersprüchlich erscheinender Auffassungen dem allgemeinen Verständnis von Tensoren unterordnet, erklären die Abschnitte über Homomorphismen als Tensoren und Tensoren vom Typ (vgl. auch den Artikel Tensor).

Der Begriff wird zunächst am einfachsten Beispiel des Tensorprodukts auf Vektorräumen erläutert, bevor skizziert wird, wie er auf Moduln verallgemeinert wird. Darauf folgt der Fall des Tensorprodukts von Algebren sowie des Tensorprodukts von Darstellungen (etwa solcher endlicher Gruppen).

Tensorprodukt von Vektorräumen

Einleitung

Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra, genauer: ein Anfangsobjekt (Synonyme: initiales Objekt, engl.: universally repelling object).[Anm 1] Als solches ist es nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Was auf den ersten Blick enttäuschend klingen mag, bedeutet in Wahrheit jedoch die äußerst flexible Anwendbarkeit dieses Begriffs. Im Mittelpunkt stehen – als Erweiterung des Begriffs der linearen Abbildungen – die multilinearen Abbildungen. Dies sind Abbildungen in linearen Variablen (Vektoren), die in jeder einzelnen für sich genommen, während die anderen unverändert bleiben, linear sind. Dass Messgrößen in dieser Weise voneinander abhängen, beobachtet die Physik häufig. Im Falle von spricht man von (uni)linearen, bei von bilinearen, für von trilinearen, im allgemeinen Falle von -fach multilinearen Abbildungen. Für alles Folgende muss daher notwendig vorausgesetzt werden, dass der Grundkörper kommutativ ist, also kein Schiefkörper. (Der nicht-kommutative Fall wird im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen und darin speziell hier skizziert.)

In Parenthese: Man mag die Situation mit der elementaren Situation für einen Körper vergleichen, der ja über sich selbst einen Vektorraum bildet und dessen Elemente also als Vektoren aufgefasst werden können: Eine unilineare, d. h. lineare Abbildung () ist eine Multiplikation mit einem Körperelement („Skalar“) , d. h.: . Bilineare Abbildungen sind Produkte zweier linearer Abbildungen und haben daher quadratische Ordnung: . Trilineare Abbildungen haben entsprechend kubische Ordnung, und allgemein sind -fach multilineare Abbildungen das Produkt von linearen Abbildungen. Das Tensorprodukt von Vektorräumen verallgemeinert diese Bildung: Allerdings müssen zu diesem Zweck – im Gegensatz zu der eben beschriebenen elementaren Situation – sowohl eine (-fach multilineare) „Multiplikation für Vektoren“ (zumal aus unterschiedlichen -Vektorräumen), nämlich das Tensorprodukt, als auch der Tensorproduktraum, in dem diese Produkte liegen, erst geschaffen werden. Dabei werden der Tensorproduktraum und das Tensorprodukt als ein universelles Objekt definiert, sodass jede multilineare Abbildung mit ihnen linear parametrisiert werden kann. Diese Parenthese möge verdeutlicht haben, dass – salopp gesagt – multilineare Abbildungen ebenso (wenig) linear sind, wie es bspw. kubische Monome sind.

Beispiele für multilineare Abbildungen auf ein und demselben Vektorraum der Dimension sind (insbesondere aus dem Anschauungsraum ) bekannt:

  • Das (innere) Skalarprodukt: Dies ist ein Produkt zweier Vektoren () aus dem Vektorraum mit Werten im Grundkörper . Es misst die Länge der (gerichteten) Projektion des einen Vektors auf den anderen skaliert mit dessen Länge.
  • Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt oder äußere Produkt: Dies ist ein Produkt von Vektoren aus dem Vektorraum und liefert einen Vektor, dessen Länge im -Dimensionalen das „vorzeichenbehaftete“ (da orientierte) Volumen des von Vektoren aufgespannten Hyperquaders misst, und der senkrecht (orthogonal) und in positiver Orientierung auf dem Hyperquader steht.
  • Die Determinante misst (als Volumenform) im -Dimensionalen das – ebenfalls orientierte – Volumen des von Vektoren aufgespannten Quaders als Skalargröße. Für sie ist also . Sie lässt sich auch als Skalarprodukt von einem ihrer Vektoren mit dem Vektorprodukt der übrigen Vektoren errechnen. (Dem entspricht die Entwicklungsformel nach einer Spalte oder Zeile.) Sie lässt sich durch das Spatprodukt (verallgemeinert ins -Dimensionale) vom Kreuzprodukt ableiten.

Die duale Paarung hingegen ist eine bilineare Abbildung auf einem Vektorraum und seinem Dualraum mit Werten im Grundkörper, also eine Bilinearform: Sie besteht in der bloßen Auswertung eines Kovektors (einer Linearform) auf einem Vektor und ermöglicht es, einen Vektorraum als einen Unterraum seines Bidualraumes aufzufassen, bei endlicher Dimension sogar mit ihm kanonisch zu identifizieren.

All diese „Produkte“ verdienen diesen Namen, weil sie bilinear bzw. multilinear sind, und stellen daher – trotz ihrer Verschiedenheit – Beispiele für Tensoren dar. Tensoren sind multilineare Abbildungen, und das Tensorprodukt lässt sich als ein universeller Tensor verstehen: Alle denkbaren multilinearen Abbildungen (Produkte von Vektoren aus vorgegebenen Vektorräumen) lassen sich mit Hilfe des Tensor(produkt)raumes einheitlich beschreiben.

Da – zumal im endlichdimensionalen Falle – etliche Identifikationen rund um Vektorräume, ihre Dualräume und die Räume linearer Abbildungen möglich sind, gibt es für den Tensorproduktraum viele isomorphe Deutungen. Daher lassen sich in der Literatur viele Zugänge und unterschiedliche Betrachtungsweisen finden. Das Wesen des Tensorprodukts liegt jedoch in der Betrachtung multilinearer Abbildungen , also Abbildungen, die in jeder einzelnen Komponente () bei festgehaltenen übrigen Komponenten -linear sind. Der Raum dieser Abbildungen ist in naheliegender Weise ein Vektorraum über und wird mit bezeichnet. Es ist .

Es wird zunächst der Fall der bilinearen Abbildungen () behandelt, bevor der allgemeine Fall der multilinearen Abbildungen in verdichteter Form betrachtet wird.

Sesquilinearität im komplexen Fall

Für den komplexen Fall ist zu beachten, dass an die Stelle der Bilinearität meist die Sesquilinearität tritt, wie etwa im Falle hermitescher Sesquilinearformen, wie es positiv definite Skalarprodukte sind: Das heißt, dass die Abbildung nur in einem der beiden Argumente linear ist, im anderen stattdessen antilinear oder semilinear: Dies bedeutet, dass die komplexe Konjugation als Involution ins Spiel kommt – und darin auch bleibt. Somit ist an manchen Stellen die Linearität durch Antilinearität (Semilinearität) zu ersetzen, siehe bspw. den Abschnitt zum Tensorprodukt von Hilbert-Räumen.

Gemischte Tensoren

Wie erwähnt, beobachtet die Physik häufig, dass eine Messgröße, sei sie skalar- oder vektorwertig, von mehreren anderen abhängt und zwar von jeder einzelnen in linearer Weise. Wie sich die Abhängigkeit insgesamt beschreiben lässt, gibt der zugehörige Tensor an. Typischerweise entstammen die Observablen demselben Vektorraum oder aber seinem Dualraum . Dies führt (für den grundlegenden Fall ) zu dem in der Physik üblichen Begriff der (gemischten) Tensoren vom Typ , der -fach kontravarianten und und -fach kovarianten Tensoren (der Stufe ): . Tatsächlich entstand der Begriff des Tensors zuerst in der Physik der Spannungstensoren, wie im Artikel zum Tensor nachzulesen ist (siehe auch Kontinuumsmechanik, Trägheitstensor und Verzerrungstensor).

Tensoren mit besonderen Eigenschaften

Unter den Tensoren gibt es solche mit weiteren speziellen Eigenschaften wie symmetrische Tensoren, alternierende Tensoren (siehe auch alternierende Multilinearformen, alternierende Matrizen bzw. antisymmetrische Tensoren und symmetrische und antisymmetrische Tensoren), insbesondere das Vektorprodukt (siehe auch im Kontext krummliniger Koordinaten), schiefsymmetrische Tensoren etc.

Verknüpfungen von Tensoren

Da Tensorprodukträume ihrerseits Vektorräume sind, lassen sich multilineare Abbildungen auf ihnen und damit ihr Tensorprodukt bilden: Äußeres (siehe auch hier) und inneres Produkt sowie Tensorverjüngung (siehe auch Abschnitte zur Spurbildung und Verjüngung bzw. Kontraktion) sind Beispiele multilinearer Abbildungen von Tensoren. Formelsammlungen befinden sich in der Formelsammlung Tensoralgebra oder im Internet.[Anm 2]

Einige Anwendungsgebiete

In der Tensoranalysis werden Tensorfelder betrachtet. Sie kommen durch die Tangentialräume und Tensorbündel ins Spiel, hier befindet sich eine Formelsammlung dazu.

In der Theorie der Algebren wird das Konzept des Tensorprodukts genutzt, um Algebren zu konstruieren wie bspw.:

Das Tensorprodukt spielt eine Rolle bei der Untersuchung von Azumaya-Algebren (d. h. zentraler einfacher endlichdimensionaler Algebren), worin sich Algebrentheorie und Zahlentheorie begegnen und den Satz von Skolem-Noether liefern sowie einen Beweis des Satzes von Wedderburn mit Hilfe der verschränkten Produkte (Faktorensystem) von Emmy Noether ermöglichen. Die Definition der Brauergruppe beruht auf der Verwendung des Tensorproduktes endlichdimensionaler Azumaya-Algebren.

Erinnerung an die (uni)lineare Algebra: Illustration am Beispiel N = 1

Der Fall ist aus der (uni)linearen Algebra bekannt: Der Koordinatenraum ist ein Modell für jeden -dimensionalen -Vektorraum. So könnte dieser unilineare Fall auch als Induktionsanfang für eine induktive Definition und die Definition für das bilineare Tensorprodukt als Induktionsschritt benutzt werden (siehe diesen Abschnitt), doch ist die Definition für den allgemeinen Fall auch unmittelbar möglich.

Lineare Abbildungen können in Koordinatenräumen dargestellt werden. Insbesondere können sie durch Linearformen (also durch lineare Abbildungen in den Grundkörper) dargestellt werden, wie kurz erläutert werden soll: Es seien dazu und Vektorräume über dem Grundkörper mit den Basen bzw. . Jede Abbildung einer Menge (!) in den Vektorraum zerfällt in naheliegender Weise in die Summe von Komponentenabbildungen definiert durch , wobei die kanonischen Projektionen bezeichne. In dieser Weise lassen sich alle vektorwertigen Funktionen zerlegen, insbesondere lineare Abbildungen in die Summe der zugehörigen Linearformen .

Aus der (uni)linearen Algebra ist bekannt, dass derartige Linearformen als Kovektoren bezeichnet werden und dual zu den Ursprungsvektoren beschrieben werden: Werden die Vektoren als Spaltenvektoren dargestellt (bezogen auf die gewählte Basis), so können die Kovektoren als Zeilenvektoren dargestellt werden und sind als Elemente des Dualraumes zu verstehen: Als solche sind sie eindeutig als eine Linearkombination der zu dualen Basis darstellbar. Bei endlicher Dimension besteht eine – freilich basisabhängige – Isomorphie zwischen Dualraum und Ursprungsraum, während die Isomorphie zwischen Bidualraum und Ursprungsraum kanonisch ist. („Der Ursprungsraum ist der Dualraum seines Dualraums.“)

Zusammengefasst: Jede lineare Abbildung lässt sich als Linearkombination von Linearformen (Kovektoren) darstellen. Die elementaren Bausteine linearer Abbildungen sind also Kovektoren , und diese sind – als Elemente des Dualraums – gut bekannt. Die Koordinatenabbildung liefert eine konkrete Darstellung als Spalten- bzw. Zeilenvektoren, mit deren Hilfe jede lineare Abbildung mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung als Kompositum dargestellt werden kann.

Das -fache Tensorprodukt klärt dieselbe Fragestellung für -fach multilineare Abbildungen und wird ebenfalls liefern: Jede derartige multilineare Abbildung ist mit Hilfe einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung darstellbar als . Um alle multilinearen Abbildungen („Tensoren“) zu kennen, genügt es also, das Tensorprodukt zu kennen, denn es ist universell: Jede multilineare Abbildung ist ein (sogar eindeutig bestimmtes) lineares Abbild des Tensorprodukts. So erscheint das Tensorprodukt als eine multilineare Koordinatenabbildung, mit der jeder Tensor auf eindeutige Weise linear parametrisiert werden kann. Man darf sie sich als eine multilineare Koordinatenabbildung vorstellen, die minimal mit der Eigenschaft ist, dass jede multilineare Abbildung ihr lineares Abbild ist. Die Minimalität sichert die Eindeutigkeit des linearen Abbildes. Als Koordinatenraum für die Koordinatendarstellung von Tensoren wird sich der Raum der -dimensionalen (Super-)Matrizen empfehlen.

Zur Motivation aus quantenmechanischer Sicht

In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum eines Objekts ein Hilbertraum. Hat man Teilchen mit Zuständen in Hilberträumen und betrachtet nun die Zustände des aus den Teilchen gebildeten Systems , so sind da zunächst die Zustände, die die Information zusammenfassen, die in den Zuständen dieser Teilchen, jedes für sich allein, enthalten ist, und die man Produktzustände nennt. Die Quantenmechanik beobachtet, dass auch jede Überlagerung von Zuständen eines Objekts (hier ) wieder ein möglicher Zustand des Objekts ist – von der Normierung auf die Länge 1 sei hierbei abgesehen. Entsprechend enthält das mathematische Modell außer den genannten Produkten auch beliebige Linearkombinationen, die insgesamt den Hilbertraum des Systems bilden. Der neue Vektorraum wird mit bezeichnet und Tensorprodukt genannt. Weitere Einzelheiten sind dem Artikel zur Quantenverschränkung, insbesondere auch der dortigen mathematischen Betrachtung zu entnehmen.

Definition durch koordinatenbasierte Konstruktion

Es seien und zwei Vektorräume über einem gemeinsamen kommutativen Skalarkörper . Unter dem Tensorprodukt dieser beiden Vektorräume versteht man ein Paar bestehend aus

  • einem Tensorproduktraum und
  • einer bilinearen Abbildung in den Tensorproduktraum.

Der Tensorproduktraum wird hier, die bilineare Abbildung wird dort konstruiert.

Zuvor jedoch ein Hinweis: Häufig spricht man abkürzend vom Tensorprodukt oder Tensorraum unter Vernachlässigung der bilinearen Abbildung . Da dies leicht das Verständnis des Tensorprodukt erschwert, soll in diesem Artikel die Rolle der bilinearen Abbildung hervorgehoben werden. Gelegentlich wird aber auch gerade diese Abbildung als das Tensorprodukt angesprochen. Die Elemente des Tensorraumes werden ebenfalls als Tensoren bezeichnet. Doch auch bilineare Abbildungen werden als Tensoren bezeichnet: Unter ihnen befindet sich also auch das Tensorprodukt selbst, und es zeichnet eine Eigenschaft aus, die „universell“ geheißen wird: Es ist ein universeller Tensor. Wie in weiteren Abschnitten deutlich werden wird, gibt es eine Fülle kanonischer Identifikationen rund um die Tensorräume. So können auch lineare, bilineare und multilineare Abbildungen als Tensoren begriffen werden, zumal wenn die (nicht notwendig kanonische) Identifikation eines endlichdimensionalen Vektorraums mit seinem Dualraum stillschweigend vorgenommen wird – auch dieses Vorgehen verschleiert das Konzept des Tensorprodukts. Grundlage bildet jedoch die nun folgende Definition der beiden Bestandteile und .

Definition des bilinearen Tensorproduktraums durch Konstruktion

Der Tensorproduktraum ist ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist eine Basis von und eine Basis von , dann ist ein Vektorraum, genannt Tensorproduktraum, in dem es eine Basis gibt, die auf umkehrbar eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts

der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann.

NB: Diese Formulierung zeigt, dass der Tensorproduktraum nicht eindeutig festgelegt ist: Es kann durchaus verschiedene Realisierungen geben. Ihnen allen gemeinsam ist aber, dass sie (durch eine Bijektion der Basen aufeinander, wie beschrieben, und lineare Fortsetzung) sämtlich miteinander identifiziert werden können, d. h. isomorph sind. Tensorprodukt(räume) sind also nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Die Dimension von ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von und . Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar entspricht, wird als notiert. Das Symbol hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Es erhält erst durch die Definition der bilinearen Abbildung seine Bedeutung.

Da der Tensorproduktraum ein Vektorraum ist, hat also ein beliebiges Element des Tensorprodukts die Gestalt

wobei die Summe endlich ist oder – was auf dasselbe hinausläuft – fast alle Koeffizienten verschwinden (gleich Null sein) müssen. Die Redensweise „fast alle“ bedeutet hierbei gemäß üblichem Sprachgebrauch „alle, bis auf endlich viele“. Das ließe sich auch mit dem Begriff der eingeschränkten Summe notieren: , vergleiche hierzu etwa den Artikel zum eingeschränkten direkten Produkt. Ein Tensor des Tensor(produkt)raumes wird daher häufig mit der Matrix identifiziert, ähnlich wie Vektoren mit den sie darstellenden Koordinatenvektoren.

Mit anderen Worten: Der Tensorraum wird von den linear unabhängigen Elementen , die zunächst nur als Symbole begriffen werden, über dem Grundkörper frei erzeugt (vgl. die Artikel Direkte Summe und (allgemeiner) Produkt und Koprodukt):

.

Definition der bilinearen Abbildung durch explizite Festlegung auf Erzeugenden

Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus und definieren, das mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren und gerade der Basisvektor, der mit bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren wird nun durch bilineare Fortsetzung festgelegt:

Zwei Vektoren
und (wie oben auch hier: endliche Summen, da ein Grenzwertbegriff oder Konvergenzbegriff mangels topologischer Struktur nicht zur Verfügung steht)
wird das Produkt
zugeordnet. Diese Summe ist ebenfalls endlich, weil fast alle Produkte sind, da dies schon für die Koeffizienten und gilt. Somit ist die bilineare Abbildung definiert (unter Benutzung der obigen Bezeichnungen):

Tensoren, die sich in der Gestalt mit einem geeigneten Paar darstellen lassen, heißen elementare oder einfache Tensoren. Im Allgemeinen sind Tensoren jedoch keine elementaren Tensoren, sondern benötigen eine Summendarstellung (wie oben dargestellt) mit mehr als einem Summanden.

Eigenschaften

Im Folgenden werden einige Eigenschaften zusammengestellt, die für das Tensorprodukt wesentlich sind.

Bilinearität

Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten (gemäß der obigen Konstruktion durch die bilineare Fortsetzung) folgende Rechenregeln für alle und sowie :

(1)
(2)
(3)

Mit anderen Worten: Die Abbildung ; ist -bilinear, das heißt in jeder der beiden Komponenten, während die andere unverändert bleibt, linear. (Das soll nicht überraschen, denn sie wurde durch bilineare Fortsetzung gewonnen.)

Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze, was den Namen Tensorprodukt motiviert.

Dimensionsformel

Die Dimensionsformel wurde bereits erwähnt: .

Kommutativität nicht gegeben

Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für gehören die Tensoren

und

nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume und identisch sind. Jedoch sind auch in diesem Fall die Tensoren und im Allgemeinen verschieden: Siehe dazu Beispiele im Abschnitt über die Realisierung von Tensoren als Homomorphismen und im Abschnitt zum Kronecker-Produkt im endlichdimensionalen Fall.

Beachte: Es ist kein Widerspruch, dass dennoch ein natürlicher Isomorphismus von Vektorräumen besteht, der durch die Vertauschung definiert wird:

Elementare Tensoren als Erzeugende

Tensoren der einfachen Gestalt heißen elementare oder einfache oder reine Tensoren. Keineswegs hat jeder Tensor diese Gestalt: Allgemeine Tensoren sind – gemäß obiger Konstruktion – eine Linearkombination (eine endliche Summe) elementarer Tensoren. Dabei genügt es sogar, sich auf die elementaren Tensoren zu beschränken, die von den Ausgangsbasen und herrühren, wie bereits im Rahmen der Konstruktion erwähnt wurde und auch aus den Rechenregeln ableitbar ist.

Lineare Fortsetzung von Abbildungen auf elementaren Tensoren

Die Tatsache, dass der Tensorproduktraum von den elementaren Tensoren über linear erzeugt wird, hat ein wichtiges Prinzip zur Folge, das die Definition linearer Abbildungen betrifft. Es bezeichne einen -Vektorraum und den Raum aller linearer Abbildungen .

Das Prinzip besagt:

Um eine lineare Abbildung wohl zu definieren, genügt es, sie auf elementaren Tensoren festzulegen. Es genügt sogar die Bilder der elementaren Tensoren anzugeben. Die Abbildung , die bis dato erst eine Abbildung ist, kann dann auf den gesamten Tensorraum linear fortgesetzt werden, und zwar auf eindeutige Weise, und ist dadurch wohldefiniert.
Mit anderen Worten: Die Restriktionsabbildung
die eine lineare Abbildung auf die Menge der Erzeugenden einschränkt, ist ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung wird gerade durch die lineare Fortsetzung geliefert.
Dabei mögen die beiden Notationen die Menge aller Abbildungen von einer Menge in eine Gruppe (hier: Vektorraum) bezeichnen, deren Werte an fast allen („“) Stellen verschwindet: .
Anmerkung: Dieses Prinzip ist gerade diejenige universelle Eigenschaft, die gemäß der oben stehenden (oder der unten stehenden allgemeinen) Konstruktion des Tensorproduktraums als des freien abelschen Erzeugnisses einer Menge (für das Tensorprodukt wurde gewählt) über dem Körper mit sich bringt und allgemein so formuliert wird:
Ist eine Menge und eine injektive Abbildung (Inklusion) in die Menge der Vektoren eines Vektorraums , so heißt das frei abelsche (lineare) Erzeugnis von über dem Körper , wenn es zu jeder Abbildung in die Menge von Vektoren eines anderen Vektorraumes mit für nur endlich viele (m.a.W.: zu jeder Abbildung ) eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung mit von Vektorräumen gibt.
Äquivalent ist die Forderung, dass folgende Abbildung (die Restriktion auf die Inklusion) ein Isomorphismus ist:
In der Sprache der Kategorientheorie zeigt dies, dass der Vergissfunktor und der Funktor der freien Erzeugung zueinander adjungiert sind, wie hier für abelsche Gruppen erklärt wird.
Spätestens an dieser Stelle wird deutlich: Wie ein Vektorraum durch die Menge seiner Basiselemente aufgespannt wird, so wird der Tensorproduktraum von Vektorräumen durch das kartesische Produkt ihrer jeweiligen Basen aufgespannt. Eine im Sinne der Kategorientheorie abstrakte Fassung dieses Gedankens wird im Yoneda-Lemma durch die Darstellbarkeit präzise formuliert.

Universelle Eigenschaft

Damit wird deutlich, dass das auf diese Weise konstruierte Tensorprodukt

unter allen bilinearen Abbildungen

in einen beliebigen Vektorraum

eine besondere Eigenschaft hat. Es ist nämlich universell in dem Sinne, dass jede bilineare Abbildung lediglich ein lineares Abbild des Tensorprodukts ist, soll heißen:

Ist eine bilineare Abbildung in einen -Vektorraum , so kann aus durch Anhängen einer (sogar eindeutig bestimmten) linearen Abbildung gewonnen werden. Dazu muss sie – wie soeben beschrieben – nur auf den elementaren Tensoren durch definiert werden.

Es genügt also, das Tensorprodukt zu kennen, um alle bilinearen Abbildungen durch (uni)lineare Abbildung zu gewinnen. Somit birgt das Tensorprodukt alle Informationen für bilineare Abbildungen.

Die universelle Eigenschaft ist sogar geeignet, das Tensorprodukt hinreichend zu kennzeichnen: Dies geschieht durch die Universaldefinition, die koordinatenfrei, also basisunabhängig formuliert ist.

Beispiel: Kronecker-Produkt bei endlicher Dimension

Haben die Vektorräume und endliche Dimension über , sind also und endliche Mengen der Mächtigkeit bzw. , so ist der Tensorproduktraum offenbar mit dem -dimensionalen Raum zu identifizieren. Wie aber sieht diese Identifikation aus? Aus der obigen Definition geht hervor, dass der Tensorproduktraum nur bis auf Isomorphie bestimmt ist. Dies soll an diesem Beispiel illustriert werden, indem verschiedene Möglichkeiten der Identifikation vorgestellt werden. Dadurch soll verdeutlicht werden, dass es nicht genügt, unter dem Tensorprodukt lediglich das Produkt zweier Räume zu verstehen, sondern es muss zusätzlich angegeben werden, wie das Produkt zweier Vektoren definiert sein soll. Zwar ist es üblich, vom Tensorprodukt von Vektorräumen zu sprechen, aber es wäre besser, vom Tensorprodukt auf Vektorräumen zu sprechen, einer „Multiplikation“ von Vektoren, deren Ergebnis in einem neuen Raum liegt, eben dem Tensorproduktraum. Zu diesem Zweck sei der Einfachheit halber direkt in die Koordinatenräume übergangen: und .

  • Identifikation von mit einem Vektorraum von Matrizen
Die Zeilen werden mit dem Basisindex von nummeriert, die Spalten mit dem Basisindex von . Das Tensorprodukt zweier Vektoren und ist die Matrix : Ihr Eintrag an der Stelle ist das Produkt aus der -ten Koordinate von bezüglich und der -ten Koordinate von bezüglich .
Das Tensorprodukt lautet in diesem Falle und liefert -Matrizen.
  • Identifikation von mit dem üblichen Kronecker-Produkt
Für zwei Vektoren
und setze
In der Sprache der Matrizen heißt diese Konstruktion auch dyadisches Produkt der Koordinatenvektoren und ordnet sich dem Kronecker-Produkt von Matrizen unter.
Dies Produkt ist bilinear, jedoch nicht kommutativ, denn Vertauschung der Faktoren führt zu einer Permutation der Bild-Koordinaten.
  • Identifikation von mit dem opponierten Kronecker-Produkt
Ebenso gut ließe sich auch umgekehrt (vgl. Artikel Gegenring) definieren:
Auch dieses Tensorprodukt ist bilinear.

Diese Beispiele sollen verdeutlichen, dass das Tensorprodukt von Vektoren nur bis auf Isomorphie bestimmt ist: Die obigen Tensorprodukte sind nicht gleich, aber isomorph, und dies, obwohl die Tensorprodukträume gleich sind.

Erweiterung der Skalare

Ist ein Vektorraum über und ein Erweiterungskörper von , so kann man das Tensorprodukt

bilden, indem man auch als -Vektorraum auffasst; dies wird durch symbolisiert. wird zu einem Vektorraum über , wenn man

setzt. Die Dimension von als -Vektorraum ist gleich der Dimension von als -Vektorraum: Ist eine -Basis von , so bildet die Menge

eine -Basis von .

Allgemeiner lässt sich aus der obigen konstruktiven Definition des Tensorprodukts ableiten, dass

Mit anderen Worten: Das Tensorprodukt ist einerseits die direkte Summe von Unterräumen und andererseits von Unterräumen , also unabhängig von der Wahl der Basen in und in .[1]

Tatsächlich löst sich die folgende Universaldefinition gänzlich vom Bezug auf die Basen, ist allerdings auch nicht mehr konstruktiv. Eine basisunabhängige (koordinatenfreie) Konstruktion zeigt der Artikel über das Tensorprodukt von Moduln, siehe auch den gleichnamigen Abschnitt in diesem Artikel.

Universaldefinition

Bisher wurde nicht auf die Frage eingegangen, auf welche Weise der mit bezeichnete Vektorraum ohne Bezugnahme auf vorgegebene Basen der beiden Vektorräume beschrieben werden kann. Dies soll nun anhand der Universaldefinition geschehen, die diesen Vektorraum allein anhand der universellen Eigenschaft eindeutig – bis auf Isomorphie – kennzeichnet. Allerdings war dies auch schon in der obigen Definition der Fall, da dort lediglich verlangt wurde, dass eine Basis haben solle, die umkehrbar eindeutig mit den Paaren von Basisvektoren aus bzw. identifizierbar sei. Tatsächlich darf man sich – zumindest aus mathematischer Sicht – das Tensorprodukt zweier Vektoren nicht als ein „durch Multiplikation errechenbares“ Produkt in einem unverrückbar festgelegten Produktraum vorstellen. Vielmehr kann es verschiedene „Realisierungen“ geben. Beachte: Selbst beim Aufbau des Zahlensystems, für die vertrauten natürlichen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen, gibt es verschiedene, lediglich äquivalente Beschreibungsweisen. Immerhin stellt das Kronecker-Produkt ein konkretes (da koordinatengebundenes) Beispiel dar (siehe den zugehörigen gleichnamigen Abschnitt). Wesentlich und allen Realisierungen gemeinsam sind jedoch Eigenschaften, die das Tensorprodukt als solches eindeutig charakterisieren. Dies ist der Inhalt der folgenden universellen Eigenschaft des Tensorprodukts. Dabei müsste man also streng genommen nicht von dem Tensorprodukt sprechen, sondern von einem Tensorprodukt oder von einer Realisierung des Tensorprodukts. Das ist aber nicht üblich, stattdessen wird die Identifikation isomorpher Realisierungen stillschweigend unterstellt – ganz so, wie man es bei Zahlen schließlich auch tut.

Einige vorbereitende Festlegungen vorab: Es seien also und sowie und Vektorräume über dem Körper . Der Vektorraum der linearen Abbildungen von nach sei mit bezeichnet, und der Vektorraum der bilinearen Abbildungen werde mit bezeichnet.

Allgemein gilt nun: Ist eine bilineare Abbildung gegeben, so ist für jeden Vektorraum die Abbildung

ein Homomorphismus.

Zur Erklärung:

Es ist leicht zu nachzuprüfen, dass für jede lineare Abbildung das Kompositum bilinear ist. Die obige Abbildung ist also wohldefiniert. Sie ist zudem ein Vektorraum-Homomorphismus (also eine lineare Abbildung).

Definition: Als Tensorprodukt der -Vektorräume und wird jeder -Vektorraum zusammen mit einer bilinearen Abbildung bezeichnet, der die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Jede bilineare Abbildung in einen -Vektorraum faktorisiert linear eindeutig über , das heißt:
Es gibt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung gibt, sodass gilt: , das heißt:
Für beliebige Paare von Vektoren gilt dann: .
Man notiert dann und versteht darunter den – bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten – Vektorraum .
Die (zum Tensorprodukt gehörige) bilineare Abbildung wird als notiert. Es ist wichtig zu beachten, dass diese wesentlicher Bestandteil des Tensorproduktes ist: Einen Tensorproduktraum zu betrachten, ohne zu wissen, welche bilineare Abbildung als „Produkt“ in ihn führt, ist sinnlos.

Bemerkung: Gibt es eine bilineare Abbildung in einen Vektorraum mit dieser universellen Eigenschaft, so ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Zur Erklärung:

Nutzt man nämlich die universelle Eigenschaft für gegenüber und ebenso – mit vertauschten Rollen – für gegenüber , so erhält man zwei Homomorphismen bzw. mit und . Also sind beide zueinander invers: . Daher sind zwei Realisierungen des Tensorproduktes zueinander isomorph.[2]
Notabene: Hierbei ist wesentlich zu beachten, dass die Isomorphie sich nicht nur auf die beiden Räume und als Vektorräume bezieht: Vielmehr beziehen die beiden zueinander inversen Isomorphismen die jeweiligen bilinearen Abbildungen ein, indem sie auch sie aufeinander abbilden. Hieran wird deutlich, dass das Tensorprodukt zweier Vektorräume nicht lediglich als ein neuer Vektorraum verstanden werden darf. In Wahrheit bewegt sich das Tensorprodukt also nicht in der Kategorie der Vektorräume, sondern in der Kategorie der bilinearen Abbildungen . Darin bildet ein initiales oder Anfangsobjekt, weil jede bilineare Abbildung über die bilineare Abbildung eindeutig faktorisiert. Am zugehörigen Diagramm spiegelt sich diese Tatsache darin wider, dass es ein Dreieck ist: Beide bilinearen Abbildungen erscheinen darin, und es kommutiert: Es geht nicht allein um einen Isomorphismus , sondern um einen Isomorphismus, der mit den bilinearen Abbildungen verträglich ist. Aus diesen Gründen sollte man unter der Begrifflichkeit „Tensorprodukt“ nicht den Produktraum zu verstehen suchen, sondern eine universelle bilineare Abbildung in eine geeignete Realisierung. „Produkt“ steht also nicht für ein Produkt von Räumen, sondern für ein Produkt auf Räumen (in einen anderen Raum), für eine Multiplikation, eben eine bilineare Abbildung, die im Übrigen nicht kommutativ ist.

Vor dem Hintergrund der eingangs gemachten Anmerkung über die Abbildung lässt sich die Universaldefinition nun auch so formulieren:

Äquivalente Definition: Der Vektorraum und eine bilineare Abbildung werden als Tensorprodukt von und bezeichnet, wenn für jeden Vektorraum die Abbildung induziert vermöge bijektiv, mithin also ein Isomorphismus ist. Man schreibt dann auch und .

Zur Erklärung:

Es bleibt lediglich noch nachzuweisen, dass die Bijektivität von mit der Aussage der universellen Eigenschaft äquivalent ist: Diese sichert nämlich gerade zu, dass es zu jeder bilinearen Abbildung eine lineare Abbildung gibt (Existenzaussage), sodass , und dass diese Abbildung zudem eindeutig bestimmt (Eindeutigkeitsaussage) ist. Die Existenzaussage ist mit der Surjektivität, die Eindeutigkeitsaussage mit der Injektivität von äquivalent. Also besagt die universelle Eigenschaft gerade, dass der Homomorphismus ein Isomorphismus ist.
Hinweis: Zwar ist der Homomorphismus zunächst nur auf jedem elementaren Tensor durch festgelegt. Durch lineare Fortsetzung ist damit jedoch auf dem gesamten Tensorraum wohldefiniert, wie im Abschnitt über die Fortsetzbarkeit von Abbildungen auf elementaren Tensoren zu Homomorphismen auf dem Tensorraum erklärt wurde.

Wenn es also einen Vektorraum mit der universellen Eigenschaft gibt, so ist er – eben aufgrund der universellen Eigenschaft – nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Allerdings lässt die Universaldefinition die Frage offen, ob es überhaupt einen Vektorraum mit diesen Eigenschaften gibt. Um also die Existenz eines solchen Vektorraumes sicherzustellen, muss entweder ein solcher Vektorraum konstruiert werden oder aber „zufällig“ ein solcher Vektorraum „gefunden“ werden. Einen Existenzbeweis durch Konstruktion führt (in einem allgemeineren Falle) der Artikel Tensorprodukt von Moduln aus: Dazu wird zunächst ein zu großer Vektorraum konstruiert, der anschließend nach einem Unterraum faktorisiert wird, sodass der Quotientenraum „erzwungenermaßen“ genau die gewünschten Eigenschaften hat.

Die Universaldefinition zeigt (nämlich für ) einen Weg zu einer Realisierung des Tensorproduktes auf: Dieser Gedanke wird im Abschnitt Natürliche Homomorphismen berührt und im Abschnitt Homomorphismen als Tensoren vertieft. Darin wird ein Vektorraum benannt, von dem sich (mit Hilfe der universellen Eigenschaft) recht leicht erkennen lässt, dass er die gewünschte universelle Eigenschaft des Tensorraums hat. Dieses Vorgehen gelingt allerdings nur für den Fall, dass oder endliche Dimension über ihrem Grundkörper haben, weil Eigenschaften des Dualraumes genutzt werden, die eben die endliche Dimension als Voraussetzung benötigen.

Der triviale eindimensionale Fall

Ein Seitenblick möge zeigen, wie der Fall das Tensorprodukt „trivialisiert“: Dabei zeigt sich, dass sich die Situation ganz analog zu den (uni)linearen Abbildungen aus der elementaren linearen Algebra verhält. Einzig bemerkenswert ist, dass die Kommutativität des Grundkörpers eine Rolle spielt, im Gegensatz zum linearen Fall.

Der Skalarkörper bildet über sich selbst in natürlicher Weise einen eindimensionalen Vektorraum. Für eine bilineare Abbildung und beliebige Körperelemente gilt

NB: Man beachte, wie hierbei fast unbemerkt die Kommutativität des Körpers eingeht.

Also ist eine bilineare Abbildung bereits durch den Wert von festgelegt, und bis auf diesen Wert (als Faktor) ist sie mit der Körpermultiplikation identisch: Die Eigenschaften der Bilinearität gehen in die Distributivität der Multiplikation über, im Verbund mit der Assoziativität und der Kommutativität: .

Also ist in diesem Falle der Körper selbst mit dem Tensorprodukt identifizierbar: . Die universelle Eigenschaft bedeutet: Setzt man , so vermittelt das lineare Abbild der bilinearen Abbildung , wie es die universelle Eigenschaft fordert. Schließlich gilt ja .

Das Tensorprodukt zweier Skalare (aufgefasst als Vektoren) liefert also nichts Neues: Es ist bis auf den Skalarfaktor mit der Körpermultiplikation identisch, lässt sich also durch ein Monom beschreiben. Dieser Skalarfaktor darf allerdings nicht verschwinden: Wäre nämlich , so wäre die universelle Eigenschaft verletzt: Die einzige bilineare Abbildung, die lineares Abbild dieses „Null-Produktes“ ist, ist nämlich die triviale Nullabbildung. Die genaue Wahl des Skalarfaktors tut aber auch nichts zur Sache: Das Tensorprodukt ist ja nur bis auf Isomorphie festgelegt, und jede andere bilineare Abbildung unterscheidet sich um einen Linearfaktor. Es kann naheliegenderweise normiert werden.

Haben jedoch die beiden Vektorräume und mehr als eine Dimension (), so liegt das Tensorprodukt zweier Vektoren in einem Vektorraum, der erst konstruiert oder „gefunden“ werden muss, eben einer Realisierung des Tensorproduktraums. Das Tensorprodukt dreier Vektoren liegt in einem weiteren, davon verschiedenen Raum usw. usf. Die Tensoralgebra liefert den geeigneten Produktraum für Produkte mit beliebig (doch endlich) vielen Faktoren.

Mit anderen Worten: Unilineare Abbildungen zwischen Vektorräumen verallgemeinern lineare Abbildungen . Bilineare Abbildungen verallgemeinern die Körpermultiplikation , die quadratische Ordnung hat: .

Für mehr als zwei Faktoren gilt Entsprechendes.

Das Tensorprodukt als Bifunktor: Das Tensorprodukt linearer Abbildungen

Es seien zwei Vektorräume und mit je einer linearen Abbildung auf einen weiteren Vektorraum gegeben: und . Dann ist die Abbildung

bilinear. Nach der universellen Eigenschaft gibt es also eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung , die auf den elementaren Tensoren gerade mit dem Tensorprodukt der Bildvektoren übereinstimmt:

für jedes Paar

Die Abbildung kann also auf den elementaren Tensoren (oder gar auf den Basisvektoren allein) definiert und linear fortgesetzt werden. Wie sich aus der obigen Konstruktion durch lineare Fortsetzung einer auf den elementaren Tensoren definierten Abbildung ergibt, gilt: Die Konstruktion von ist von der Wahl der Basen unabhängig.

Für ergibt sich also eine wohldefinierte Abbildung

Sind weitere Vektorräume bzw. lineare Abbildungen und gegeben, und ist , so gilt darüber hinaus:

Dies zeigt, dass die Zuordnung in der Sprache der Kategorientheorie ein (kovarianter) Bifunktor auf der Kategorie der -Vektorräume ist.

Diese Zuordnung ist darüber hinaus bilinear über .[Anm 3]

Man notiert diesen Bifunktor häufig mit dem Zeichen für das Tensorprodukt: . Aus dem Zusammenhang muss deutlich werden, ob dabei die Zuordnung durch den Bifunktor oder aber ein Tensor gemeint ist.[3]

Allerdings ist diese Unterscheidung in der Regel unwesentlich, denn beide Deutungen können miteinander identifiziert werden, da aufgrund der universellen Eigenschaft eine Einbettung besteht:

Der Bifunktor : Es gibt einen natürlichen Monomorphismus , induziert durch die Festlegung . Dieser ist genau dann ein Isomorphismus, wenn oder endlichdimensional ist.[4][5]

Die Darstellungsmatrix oder Abbildungsmatrix der linearen Abbildung ist das Kronecker-Produkt der Darstellungsmatrizen von und bezogen auf die Basen von bzw. von , wenn in den Räumen bzw. die Basen bzw. (für bzw. ) zugrunde gelegt werden.

Vertauschbarkeit mit dem Koprodukt

Aus der Konstruktion geht hervor, dass das Tensorprodukt (als Bifunktor) mit dem Koprodukt (direkte Summe) vertauschbar ist, das heißt, für -Vektorräume bestehen folgende Isomorphismen:

folglich

und

Natürliche Homomorphismen

Wenn den Dualraum von bezeichnet, dann liefert die oben erwähnte Isomorphie für endlichdimensionale Vektorräume und für den Fall die Isomorphie:

Dabei wurde der Isomorphismus verwendet. Allgemein ist , definiert durch , ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Setzt man hingegen , so erhält man die Isomorphie

die weiter unten erneut abgeleitet und mit bezeichnet wird. Auch diese Identifikation besteht jedoch nur für endlichdimensionale Vektorräume. Bei unendlicher Dimension sind es nur Monomorphismen.[6]

Neben dem Isomorphismus , den die universelle Eigenschaft liefert, erhält man durch Currying – unabhängig von Überlegungen zum Tensorprodukt – einen Isomorphismus

insgesamt also einen kanonischen Isomorphismus : Dieser besteht auch bei unendlichen Dimensionen.[6]

Anmerkung: Die folgenden linearen Abbildungen jedoch, in deren Bezeichnung der griechische Buchstabe erscheint, sind daher Isomorphismen bei endlicher Dimension, bei unendlicher Dimension jedoch sind es lediglich Monomorphismen.

Zusammen mit der Universaldefinition erhält man auf diese Weise für die folgende Identifikation:

Nun besteht ein kanonischer Isomorphismus zwischen einem endlichdimensionalen Vektorraum und seinem Bidualraum:[Anm 4]

Nutzt man diese Tatsache, so kann man das Tensorprodukt von und also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen realisieren, endliche Dimensionen vorausgesetzt:

In Worten: Der Dualraum des Raumes der bilinearen Abbildungen ist eine Realisierung des Tensorprodukts . Dabei gilt ja . So kann man als denjenigen Unterraum des Raums der Bilinearformen aus definieren, der von solchen der Gestalt aufgespannt wird, wobei und die Vektorräume bzw. durchlaufen.[7] Im Falle unendlichdimensionaler Vektorräume ist es ein echter Unterraum (siehe obige Verweise).

Setzt man hierbei , so erhält man als Sonderfall die eben bereits verwendete Tatsache zurück, dass der Bidualraum eines endlichdimensionalen Vektorraums mit diesem kanonisch identifiziert werden kann.

Wer sogar die nichtkanonische Identifikation vornimmt (etwa aufgrund eines auf definierten Skalarproduktes), gelangt sogar zur (leicht Verwirrung stiftenden) Identifikation , denn sie verschweigt die Beimischung eines weiteren willkürlichen Tensors (eben des Skalarprodukts als einer Bilinearform). Stattdessen sollte die kanonische Identifikation betrachtet werden. Dieser Homomorphismus und ähnliche Homomorphismen werden in den folgenden Unterabschnitten näher betrachtet.

Homomorphismen als Tensoren

Dieser Isomorphismus lässt sich (wie folgt) explizit auf den elementaren Tensoren angeben und wird linear auf allgemeine Tensoren fortgesetzt:

Ersetzt man nun durch seinen Dualraum und benutzt die natürliche Identifikation mit dem Bidualraum für einen Vektorraum endlicher Dimension, so erhält man einen Isomorphismus

der schon oben für den Fall erwähnt wurde. Er darf als der kanonische Homomorphismus gelten, während die anderen hier genannten sich als Varianten aus ihm ergeben und nur der Vollständigkeit halber erwähnt werden. Für den Fall, dass beide Vektorräume unendlichdimensional sind, ist nur ein natürlicher Monomorphismus.[8]

Ebenso lässt sich , falls von endlicher Dimension, durch seinen Dualraum ersetzen, und man erhält:

Wenn beide durch ihr Dual ersetzt werden, erhält man:

Für den Vektorraum von Homomorphismen lässt sich unter diesen Voraussetzungen explizit zeigen, dass er die für geforderte universelle Eigenschaft erfüllt, zusammen mit der bilinearen Abbildung . Auf diese Weise hat man für – auch ohne Konstruktion – eine konkrete Realisierung des Tensorproduktes gefunden, entsprechend natürlich für die anderen Beispiele.

Diese Realisierung liefert zudem ein greifbares Beispiel dafür, dass das Tensorprodukt auch für nicht kommutativ ist:

Es ist unmittelbar abzulesen, dass die beiden Tensoren auf verschiedene Homomorphismen abbildet, sobald sie nur linear unabhängig sind. Ist jedoch , so gilt für die Bilder unter tatsächlich , ganz analog zu der schon zuvor bekannten Rechenregel für Tensoren .

Bringt man – dank der endlichen Dimensionen – den natürlichen Isomorphismus zusammen mit bzw. ins Spiel, so erhält man weitere Identifikationen.

Die Umkehrabbildung von – unter Voraussetzung endlicher Dimension von – wird folgendermaßen konstruiert:[9]

Die Tatsache, dass für jede lineare Abbildung und jede Linearform das Kompositum linear ist, bedeutet, dass folgende Abbildung wohldefiniert und ihrerseits linear ist:
Sie ist injektiv, weil die duale Paarung nicht ausgeartet ist, das heißt, weil für jedes ein existiert mit .
Die Surjektivität folgt so: Ist eine Bilinearform, so ist für jedes (festgehaltene) die partielle Abbildung als ein Vektor des Bidualraumes zu verstehen, der jedoch (unter Verwendung von beim Ausrufezeichen) in kanonischer Weise mit selbst zu identifizieren ist. Setzt man nun , so erhält man eine lineare Abbildung mit , wie gewünscht.
Diese Abbildung tauchte bereits oben als Abbildung auf, die durch bloßes Currying gewonnen wurde: Dafür ist lediglich durch zu ersetzen. Tatsächlich ist bereits durch Currying klar, dass eine Bilinearform als Homomorphismus zu verstehen ist, wenn man beim Gleichheitszeichen die Identifikation voraussetzen darf.

Homomorphismen aus lassen sich also als Bilinearformen interpretieren. Die Abbildungen und bzw. die Umkehrabbildung liefern im Falle Interpretationen der so genannten gemischten Tensoren als Endomorphismen auf ; weitere Einzelheiten siehe diesen Abschnitt.

Homomorphismen einfacher Tensoren

Im Lichte der Identifikation von Tensoren mit Homomorphismen wird deutlich, was einfache, reine oder elementare Tensoren sind: Sind sie von Null verschieden, so entsprechen ihnen die Homomorphismen vom Rang 1, also diejenigen Homomorphismen , für die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:

  • Es gibt einen Vektor mit .
  • Für eine (und mithin jede) Darstellungsmatrix gilt: .
  • Eine (und mithin jede) Darstellungsmatrix ist Matrizenprodukt (vgl. diesen Abschnitt, erstes Beispiel) aus einem Spaltenvektor und Zeilenvektor , also .
  • Mit geeignet gewählten und gilt für die Einträge der Matrix: .

Welche Rolle Spalten- und Zeilenvektor spielen, wird im folgenden Abschnitt klar.

Die genannte Charakterisierung ist für die Quantenverschränkung von Interesse.

Aus Sicht des Matrizenkalküls

Es lohnt sich zu beleuchten, wie sich die Abbildung im Matrizenkalkül widerspiegelt. Um das Ergebnis vorwegzunehmen: Die Abbildung besagt, dass eine Matrix

die einen Homomorphismus bezüglich zweier Basen und von bzw. darstellt, sich als Tensor auffassen lässt, indem man die Zeilen als Linearformen auf dem als Spaltenvektorraum notierten Vektorraum auffasst:

So liefert die Darstellungsmatrix in jeder Zeile für je einen eindimensionalen Unterraum eine Linearform , sodass sich in der direkten Summe über diese Unterräume die gesamte Abbildung ergibt. Denn genau dies geschieht bei der Multiplikation der Matrix mit einem Koordinatenvektor. Dabei wird die Notation mit hochgestellten Indizes verwendet, also anstelle von . Diese Notation wird gerne benutzt, wenn duale Beziehungen durch die Notationsweise verdeutlicht werden sollen. (Häufig findet dann die einsteinsche Summenkonvention Anwendung.) Hochgestellte Indizes sind also im Folgenden keine Potenzen.

Zur Erläuterung: Es seien also Vektorräume über dem Körper endlicher Dimension mit und ,

eine Basis von und eine Basis von .

Dann sind diese Vektorräume die (inneren) direkten Summen ihrer eindimensionalen Unterräume bzw. :

Mit den kanonischen Projektionen (für ) gilt für jedes die Beziehung , also lässt sich als Summe

einzelner Abbildungen

darstellen, wobei stillschweigend die Einbettung vorgenommen wird, da nur in diesem gemeinsamen „Oberraum“ die Addition der ausgeführt werden kann. Definiert man nun für jedes eine Abbildung vermöge der Gleichung

so erhält man Linearformen , für die folgende Beziehung gilt:

Damit wird deutlich, wie die Abbildung zu verstehen ist: Die lineare Abbildung ist unter das Bild des Tensors :

Die Abbildung lässt sich also vermittels als Tensor auffassen, nämlich als Summe elementarer Tensoren , deren jeder die zugehörige Komponentenabbildung darstellt.

Mit der obigen darstellenden Matrix bestimmt man für einen Vektor mit Koordinatendarstellung gemäß Matrizenkalkül die Koordinatendarstellung des Bildvektors bekanntlich gemäß der Gleichung

Durch Vergleich mit der obigen Gleichung erkennt man, wie sich die Linearformen in der darstellenden Matrix wiederfinden: Es sind gerade die Zeilenvektoren. Für die Koeffizienten der Matrix gilt also:

Hierin drückt sich die bekannte Merkregel aus, dass in der -ten Spalte () der darstellenden Matrix der – auf die Basis des Bildraums bezogene – Koordinatenvektor der Bildes des Basisvektors steht.

Anmerkung: Die dazu duale Merkregel besagt, dass in der -ten Zeile () der darstellenden Matrix der – auf die zur Basis des Definitionsraums duale Basis des Dualraums bezogene – Koordinatenvektor desjenigen Kovektors steht, der die Abbildung in der -ten Bildkomponente darstellt: .

Bezeichnet die zu gehörige duale Basis des Dualraums von ― definiert durch ( mit dem Kronecker-Delta) ―, so lässt sich die lineare Abbildung als Linearkombination schreiben:

Dies ist ja gerade die definierende Gleichung für die Darstellungsmatrix , welche die Abbildung bezüglich der Basen und darstellt.

Unter der Abbildung korrespondieren also und miteinander: Dies sind die einfachen Tensoren, aus denen die Abbildung zusammengesetzt ist.

Im Folgenden soll demonstriert werden, dass die Anwendung des Matrizenkalküls auf die Spaltenvektoren der zugehörigen Koordinatenräume bzw. implizit genau diese Zerlegung der linearen Abbildung in die Summe von Linearformen vornimmt. Dazu sei zunächst darauf hingewiesen, dass Skalare – aufgefasst als -Matrizen – an Spaltenvektoren von rechts, an Zeilenvektoren jedoch von links heran multipliziert werden müssen. Dies ist zwar bei kommutativen Körpern (wie hier) gleichgültig, doch ist für den Formalismus hilfreich, dies im Hinterkopf zu behalten. Nun kann man die Matrix in folgender – zunächst zweckfrei erscheinenden – Weise in eine Summe zerlegen, ganz der Zerlegung entsprechend:

Die Linearformen sind als Kovektoren (hier also Zeilenvektoren) im Koordinatenraum bezüglich der zu dualen Basis (definiert durch (Kronecker-Symbol)) dargestellt. Die links von diesen Linearformen stehenden Einheitsvektoren sind die Koordinatenvektoren der Basisvektoren und stehen für die Projektionen . Multipliziert man nun einen Koordinatenvektor für einen Vektor (von rechts) an die Matrix , beachtet Distributivität und Assoziativität des Matrizenkalküls, so ergibt sich:

Dabei stellen die links von den Skalarfaktoren stehenden Einheitsvektoren gerade die Koordinatenvektoren der Basisvektoren dar. Diese Beziehung ist also die Entsprechung für die obige Zerlegung der Abbildung in eine Summe elementarer Tensoren . Sie überträgt diese Zerlegung in die zugehörigen Koordinatenräume (bei gegebener Basiswahl) und zerlegt die Matrix in eine Summe von Linearformen. Die Abbildung wird im Matrizenkalkül also inhärent vollzogen.

Ähnlich lässt sich mit Hilfe der kanonischen Einbettungen eine (zu duale) Zerlegung angeben. Insgesamt ergibt sich die bekannte Tatsache, dass die Familie der linearen Abbildungen durch die Familie (lies: Matrix) von Koeffizienten gegeben ist: für . Dabei korrespondiert offenbar mit , also unter mit . Dies soll nun in kompakter Notationsweise gezeigt werden, die bei der Betrachtung des tensoriellen Transformationsverhaltens von Nutzen ist.

Die Darstellungsmatrix als Matrix der Tensorkoordinaten

Notiert man einen Vektor mit seinem Koordinatenvektor bezogen auf die – als Zeile notierte – geordnete Basis in der Form (und entsprechend für Vektoren in mit seiner Basis ), und geht man von der definierenden Gleichung

für die Darstellungsmatrix aus und notiert den Bildvektor mit seinen Koordinaten bezüglich der Basis entsprechend, so erhält man:

Zur Abkürzung setze man

und notiere die geordnete duale Basis als Spalte:

wobei .

Weiter setze man zur Abkürzung , sodass .

Dann lautet die definierende Gleichung für die Darstellungsmatrix von bezogen auf die Basen und schlicht und suggestiv

oder äquivalent:

Dabei liegen die einfachen Tensoren und können infolgedessen in diesem Raum aufsummiert werden. Sie korrespondieren mit .

Mit diesen Notationen gilt für eine Matrix und eine lineare Abbildung :

In Worten: Die Abbildung deutet die Einträge der Darstellungsmatrix als Koordinaten des zugehörigen Tensors: Die Darstellungsmatrix liefert die Koordinatendarstellung des Tensors bezogen auf die induzierte Basis .

Für die duale Abbildung gilt mit dieser Notation im Übrigen

oder – wenn man an die Stelle von das Tupel der geordneten dualen Basis einsetzt – in dualer Analogie zu obigen Beziehungen:

An der definierenden Gleichung für die Darstellungsmatrix sind erneut die beiden oben erwähnten Merkregeln ablesbar:

  • Die Klammerung oder aber die Gleichung zeigen: In der -ten Spalte der darstellenden Matrix stehen die Koordinaten des Bildes des -ten Basisvektors , – und dazu dual:
  • Die Klammerung bzw. die Gleichung zeigen gleichermaßen: In der -ten Zeile der darstellenden Matrix stehen die Koordinaten derjenigen Linearform , welche die -te Komponentenabbildung auf den vom Basisvektor aufgespannten Unterraum beschreibt.

Man beachte, dass diese Notationsweise gültig bleibt, wenn und Rechts-Vektorräume über einem Schiefkörper sind, sodass ihre Dualräume bzw. Links-Vektorräume über sind. Diese Tatsache wird später aufgegriffen, wenn das kovariante bzw. kontravariante Transformationsverhalten gemischter Tensoren beleuchtet wird.

Kovektoren, Endomorphismen und die Spur eines Endomorphismus

Der Vektorraum habe endliche Dimension. Setzt man in den obigen natürlichen Homomorphismen , so erhält man den Isomorphismus

auf den einfachen Tensoren, nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung auf den von diesen aufgespannten Tensorraum allgemeiner Tensoren fortgesetzt. Dabei genügt es, sich auf jene einfachen Tensoren zu beschränken, die von Basisvektoren bzw. gebildet werden, denn diese spannen den ganzen Tensorraum auf.

Die Umkehrabbildung kann wie folgt beschrieben werden:

Es sei eine Basis von , , sodass . Die kanonischen Projektionen seien mit bezeichnet. Für sei , sodass . Die Abbildung definiert eine Linearform durch . Mit diesen Kovektoren gilt gerade .
Bezeichnet die dazu duale Basis aus Kovektoren (Linearformen) , so können die Kovektoren als Summe dargestellt werden: . Dann ist
.
Die quadratische Matrix stellt den Tensor (bezüglich der Basis ) dar und ist zugleich die diesbezügliche Darstellungsmatrix des Endomorphismus auf .

Nun betrachte die naheliegende Bilinearform

Anmerkung: Diese Abbildung ist die durch die Auswertung (Evaluation) der Linearform induzierte duale Paarung: Bei den Betrachtungen über den Bidualraum wird gezeigt, dass sie nicht ausgeartet und bei endlicher Dimension folglich eine perfekte Paarung ist, sodass kanonisch isomorph sind: Ein Vektor induziert durch die jeweilige Auswertung der Kovektoren auf ihm eine Linearform auf den Kovektoren, also können Vektoren als Linearformen auf den Kovektoren aufgefasst werden.

Gemäß der universellen Eigenschaft gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung mit .

Auf diese Weise erhält man eine Bilinearform, die so genannte Spur(bildung) (trace):

Diese Abbildung lässt sich (mit Hilfe von ) als Abbildung auf den Endomorphismen von interpretieren. Da für die duale Basis (gemäß ihrer Definition) (Kronecker-Delta) gilt, folgt für die Spur eines Endomorphismus: , in Worten: Die Spur eines Endomorphismus ist die Summe der Diagonaleinträge einer Darstellungsmatrix. Dabei zeigen die Überlegungen, dass die Spur unabhängig von der Basiswahl ist.

Für Matrizen (gemäß der Koordinatendarstellung von Tensoren) lässt sich dies unmittelbar einsehen:[10]

Denn die Spur ist gegenüber Vertauschung invariant. Sind nämlich und zwei Matrizen, so gilt
Also ist für drei Matrizen . Ist eine Übergangsmatrix mit Inverser , so erhält man die Unabhängigkeit von der Basiswahl.

Eine weitere Perspektive auf die Spur liefert das charakteristische Polynom eines Endomorphismus bzw. einer dazugehörigen Darstellungsmatrix : , wobei . Dieses Polynom (in der Unbekannten ) hängt nicht von der Basiswahl ab: . Die Spur ist gerade der Koeffizient des Monoms .

Hintergrund: Ein Endomorphismus induziert auf die Struktur eines Moduls über dem Polynomring in einer Unbekannten durch . Auf diese Weise wird zu einem Modul über dem Hauptidealring , der wegen endlich erzeugt ist. (Dieser Polynomring enthält den Körper und ist sogar ein euklidischer Ring.) Das charakteristische Polynom ist eine Strukturinvariante dieses Moduls, die durch den Elementarteilersatz (verstanden als Struktursatz für Moduln über Hauptidealringen) in Erscheinung tritt: Der Satz von Cayley-Hamilton[Anm 5] zeigt, dass es sich um einen Torsionsmodul handelt, da . Daher teilt das Minimalpolynom das charakteristische Polynom, denn es ist das (hinsichtlich der Gradfunktion als Bewertungs- oder Höhenfunktion) „minimale“ Polynom mit dieser Eigenschaft. Das Absolutglied des charakteristischen Polynoms ist im Übrigen die Determinante: bzw. . Spur und Determinante werden im Abschnitt über die Norm und Spur kommutativer Algebren aufgegriffen.

Die Spur ist der Spezialfall der Tensorverjüngung oder Kontraktion für einfach kovariante und einfach kontravariante Tensoren, also jene vom Typ : Siehe dazu den Abschnitt über Tensoren vom Typ .

Multilineare Abbildungen und das mehrfache Tensorprodukt

Einer Erweiterung der bisherigen Betrachtungen auf mehr als zwei Vektorräume als „Faktoren“ des Tensorprodukts steht nichts entgegen: Es geht dann nicht mehr um bilineare Abbildungen, sondern um multilineare Abbildungen und das -fache Tensorprodukt.

Für eine endliche Indexmenge mögen Vektorräume über dem Grundkörper der (nicht notwendig endlichen) Dimensionen bezeichnen. Ihre Basen seien mit (für ) bezeichnet. Die Basisvektoren seien mit bezeichnet.

Eine -fach multilineare Abbildung in einen -Vektorraum ist eine Abbildung, die in jeder Komponente (bei festgehaltenen übrigen Komponenten) linear über ist. Der Raum dieser multilinearen Abbildungen wird mit bezeichnet.

Definition durch Konstruktion

Zur Bequemlichkeit sei gesetzt.

Setze als Tensorproduktraum

Anmerkung 1: Mit der oben definierten Notationsweise besteht übrigens eine Identifikation durch . Die Verwendung des Zeichens für das Koprodukt soll auf den größeren kategoriellen Zusammenhang hinweisen. Im vorliegenden Falle darf es schlicht als direkte Summe verstanden werden.
Anmerkung 2: Dabei ist als eine multiindizierte Koordinate zu verstehen. Dazu fasse in folgender Weise als einen Multiindex auf:
Anmerkung 3: Die Supermatrix wird häufig mit dem Tensor, den sie darstellt, identifiziert. Sie ist sozusagen die Koordinatenmatrix des Tensors und wird mit ihm identifiziert, ähnlich wie Koordinatenvektoren mit dem durch sie dargestellten Vektor identifiziert werden. Die Bezugnahme auf die Basen fließt bei dieser Identifikation stillschweigend ein.

Dabei sei zunächst lediglich als ein Symbol aufgefasst. Für steht es also für . (Die Schreibweise wird vermieden, weil sie die Frage der Operatorassoziativität aufwürfe.)

Nun definiere die Abbildung

Durch multilineare Fortsetzung von auf den gesamten Raum definiere die gewünschte -fach multilineare Abbildung , das Tensorprodukt

Der (uni)lineare Fall

Für den Fall der „Unilinearität“ liefert die obige basisabhängige Konstruktion des Tensorprodukts lediglich die von der gewählten Basis abhängige Koordinatendarstellung eines Vektorraumes . Die universelle Eigenschaft zeigt auf, dass jede „unilineare“ (das heißt lineare) Abbildung als lineare Abbildung dieses Koordinatenraums dargestellt werden kann – eine wohlvertraute Tatsache. Das Tensorprodukt verallgemeinert sie für den multilinearen Kontext des Produkts . Hierin lässt sich das Wesen des Tensorprodukts erblicken.

Der triviale Fall mehrerer eindimensionaler Faktoren

Wie schon im bilinearen () Falle trivialisiert sich das multilineare Tensorprodukt für den Fall, dass alle Vektorräume eindimensional sind: . Es ist dann – bis auf eine Isomorphie, die sich in einem Skalarfaktor niederschlägt – durch ein Monom gegeben und mithin mit der Körpermultiplikation (linear) identifizierbar. Eine beliebige multilineare Abbildung ist ein lineares Abbild durch Multiplikation mit dem skalierenden Faktor .

Mit anderen Worten: Eine -fach multilineare Abbildung verallgemeinert die Multiplikation von Faktoren aus dem Körper und entspricht somit einem Monom -ten Grades: Bilinearität verallgemeinert quadratische Monome, Trilinearität kubische Monome etc. pp.

Definition durch universelle Eigenschaft

Unter einem Tensorprodukt der (endlichen) Familie von -Vektorräumen versteht man eine -fach multilineare Abbildung in einen -Vektorraum mit einer der beiden folgenden äquivalenten Eigenschaften:

  • Ist eine multilineare Abbildung in einen -Vektorraum , so existiert genau eine lineare Abbildung mit .
  • Für jeden -Vektorraum liefert der durch gestiftete Rückzug einen Isomorphismus von Vektorräumen

Man notiert das Tensorprodukt .

Kategorisch gesehen

In der Sprache der Kategorientheorie formuliert ist das Tensorprodukt

das bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Anfangsobjekt in einer Kategorie von Objekten unter , die wie folgt definiert ist: Ihre Objekte sind die -fach multilinearen Abbildungen in einen Vektorraum, und ein Morphismus ist eine lineare Abbildung mit . Für diese Eigenschaft des Anfangsobjektes sind hier äquivalente Formulierungen zu finden sowie eine Beziehung zu adjungierten Funktoren. Die letztere zeigte sich im kanonischen Isomorphismus aus dem Abschnitt über natürliche Homomorphismen.

Definition durch Zurückführung auf bilineare Abbildungen und das Tensorprodukt mit zwei Faktoren

Eine -fach multilineare Abbildung lässt sich auf eine -fach multilineare Abbildung zurückführen, denn die Definition der Multilinearität lässt sich durch Currying in folgende Gleichungen kleiden:

bzw.

wobei die Schreibweise die Tilgung des durchgestrichenen Vektorraums bedeuten möge.

Setzt man also sukzessive , so erhält man

Auf diese Weise lässt sich das -fache Tensorprodukt schrittweise auf das gewöhnliche -fache (bilineare) Tensorprodukt zurückführen – oder umgekehrt von ihm ausgehend mit Iterationsschritten aufbauen.

Dabei zeigt sich, dass die Frage der Operatorassoziativität müßig ist: Beispielsweise sind die beiden -fachen Tensorprodukte und (als trilineare Abbildungen) isomorph. Dies ist der Grund dafür, dass die Klammern auch fortgelassen werden können:

Koordinatendarstellung von Tensoren

Unter einem Tensor versteht man eine multilineare Abbildung

.

Gemäß der universellen Eigenschaft ist ein Tensor durch die Werte auf den Basistupeln festgelegt. Werden die Basen mit bezeichnet, so definiert die Familie

von Werten den Tensor .

Im Falle , der ohnehin von besonderem Interesse ist, handelt es sich also um eine Supermatrix mit Koeffizienten aus .

Dies ist die Koordinatendarstellung eines Tensors .

Beispiele:

  • Im Falle eines Skalarproduktes, das eine Metrik liefert, führt dies zum Maßtensor.
  • Im Falle der Determinante gelangt man zum Levi-Civita-Symbol oder Epsilontensor.

Lineare Abbildungen und Tensoren vom Typ (r,s)

Von besonderem Interesse – vor allem in der Physik – ist der Fall, dass sämtliche Vektorräume – bis auf dimensionsbehaftete Skalarfaktoren – gleich ein und demselben Vektorraum oder seinem Dualraum sind. Zur Abkürzung setze nun . Bei endlicher Dimension haben dann beide gleiche Dimension , und wegen bestehen Isomorphismen:

Man definiert (bis auf Isomorphie)

Die Elemente dieses Vektorraumes heißen (gemischte) Tensoren der Stufe , und zwar

  • kontravariant von der Stufe , kovariant von der Stufe
  • oder kürzer -fach (oder -stufig) kontravariante und -fach (oder -stufig) kovariante Tensoren
  • oder Tensoren des Typs
  • oder schlicht -Tensoren.

Tensoren vom Typ heißen rein kontravariant von der Stufe , Tensoren vom Typ hingegen rein kovariant von der Stufe .

Beispiele:

  • -Tensoren lassen sich als Elemente des Vektorraums , also als Vektoren des „Ausgangs-Vektorraumes“ verstehen, oder aber als Linearformen auf dem Dualraum,
  • -Tensoren lassen sich als Elemente des Dualraums , also als Linearformen oder Kovektoren auffassen,
  • -Tensoren lassen sich als Bilinearformen (wie bspw. ein Skalarprodukt) auf interpretieren, und allgemeiner:
  • -Tensoren lassen sich als -fache Multilinearformen auf deuten. Die Determinante ist ein Beispiel für : Sie ist sogar eine alternierende Multilinearform, siehe auch alternierende Tensoren.
  • -Tensoren sind duale Paarungen auf und können, wie weiter unten deutlich wird, mit Endomorphismen auf oder auf identifiziert werden.
  • -Tensoren können dementsprechend mit Endomorphismen auf oder identifiziert werden. Dabei beachte (wegen endlicher Dimension): bzw.

Die Begriffe kontravariant und kovariant beziehen sich in diesem tensoriellen Kontext auf das Transformationsverhalten der Koordinatendarstellung bei einem Wechsel der Basis in dem als „Ursprungsraum“ auserkorenen Vektorraum. Letzterer ist – so legt es die Notation nahe – der Vektorraum . Doch aus Sicht der Dualitätstheorie ist es ebenso legitim, den Vektorraum als Dualraum seines Dualraumes anzusehen und diesen als Ursprungsraum auszuersehen, also die Rollen zu tauschen: Dann ist (durch natürliche Isomorphie) . Wechselt man also die Basis nicht im Raum sondern im Raum , so vertauschen sich entsprechend die Begriffe „kontravariant“ und „kovariant“, denn diese sind bezogen auf den Ursprungsraum, dessen Auswahl willkürlich ist. Genaugenommen müsste es also „kontravariant/kovariant in Bezug auf (das Transformationsverhalten bei Basiswechsel im Vektorraum) “ heißen. Dabei zieht ein Basiswechsel in natürlich einen entsprechenden Wechsel der zugehörigen Dualbasis in nach sich: Hierfür ist der passende Raum. Ein Basiswechsel in zöge den Wechsel der Dualbasis in nach sich: Hierfür ist der passende Raum. Näheres dazu weiter unten.

(r,s)-Tensoren als Homomorphismen

In den Abschnitten über natürliche Homomorphismen und Homomorphismen als Tensoren wurde gezeigt, dass für zwei endlichdimensionale Vektorräume und folgender Isomorphismus besteht:

Wegen der natürlichen Isomorphismie (nicht Gleichheit!) gilt ebenso

wobei auch die natürlichen Isomorphismien (bzw. ) genutzt wurde.

Anmerkung: Tatsächlich gehen und durch Dualisierung (Rückzug) der Homomorphismen auseinander hervor, denn für endlichdimensionale Vektorräume ist die folgende injektive Vektorraum-Homomorphismus aus Dimensionsgründen surjektiv, also ein Isomorphismus:

Angewandt auf und erhält man eine weitere Interpretation von -Tensoren, die im Übrigen schon auf die universelle Eigenschaft und Currying zurückgeht:

In Worten: Elemente von lassen sich

  • als -multilineare Abbildungen oder
  • als -multilineare Abbildungen

auffassen.

Auch hier wird deutlich, dass die Begriffe kontravariant und kovariant davon abhängen, welcher Raum als der „Ursprungsraum“ betrachtet wird, in dem der Basiswechsel vollzogen wird. Die Konvention für die Bezeichnung besagt, dass Basistransformationen im Vektorraum vollzogen werden.

Koordinatendarstellung von (r,s)-Tensoren

Zur Koordinatendarstellung wähle man eine Basis von und die dazugehörige duale Basis von definiert durch (Kronecker-Delta). Die Koordinaten eines -Tensors

bezüglich dieser Basiswahl lauten dann

für beliebige Tupel .

Stellt man

  • Vektoren als Spaltenvektoren [Anm 6] bezüglich der Basis dar, sodass , und
  • dual dazu Kovektoren als Zeilenvektoren bezüglich der dualen Basis dar, sodass ,

so lässt sich

als eine Supermatrix verstehen, die von rechts auf Zeilen- und von links auf Spaltenvektoren durch „Supermatrix-Multiplikation“ operiert. Sie stellt den -fach multilinearen Tensor dar: Dieser ist -fach kontravariant und -fach kovariant. Gemäß üblicher Konvention werden die Koordinaten kontravarianter Vektoren – also solcher aus – oben indiziert, während diejenigen kovarianter Vektoren – nämlich jener aus – unten indiziert werden. Zur Vereinfachung der Summenschreibweise bietet sich die einsteinsche Summenkonvention an: Sie unterdrückt unter geeigneten Voraussetzungen die Notation des Summenzeichens.

Beispiele:

  • Der Fall liefert die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus zur Basis , aufgefasst als Tensor der Stufe .
  • Der Fall liefert die Darstellungsmatrix einer Bilinearform auf – oder aber diejenige eines Endomorphismus zur Basis , aufgefasst als Bilinearform, also als Tensor der Stufe .

Kontravarianz kontra Kovarianz: Tensoriell versus funktoriell

In der Sprache der Kategorientheorie ist ein Bifunktor, kontravariant im ersten, kovariant im zweiten Argument. Dies ist eine Aussage über das funktorielle Verhalten des Bifunktors .

Kovarianz und Kontravarianz von Tensoren betreffen jedoch Eigenschaften des Transformationsverhaltens der Tensoren bei Koordinatentransformation im „Ursprungsraum“ : Sie beschreiben, wie sich Koordinaten bei Wechsel des Basisbezugs im Ursprungsraum verändern.

Zur Erläuterung: Es sei . Bildet die Matrix eine – zeilenartig notierte – geordnete Basis von auf eine andere geordnete Basis von ab, d. h., gilt (in naheliegender Notationsweise) , so beschreibt die zugehörige Koordinatentransformation der Vektoren von , denn für Koordinatenvektoren bezüglich gilt
Für Vektoren aus sind also die transformierten Koordinaten bezüglich durch die lineare Transformation gegeben.
Ebenso lässt sich aus der Gleichung für einen Koordinatenvektor von folgern:
Mit anderen Worten: Während per definitionem die Darstellungsmatrix einer Basistransformation (von rechts heranmultipliziert) die Basis auf ihr Bild wirft, transformiert dieselbe Darstellungsmatrix (nun jedoch von links heranmultipliziert) die -Koordinaten auf die -Koordinaten. Daher spricht man von Kontravarianz.

Ein kontravarianter Vektor liegt also (per definitionem) in dem Vektorraum, auf dem eine Gruppe von Basistransformationen operiert, sodass sich dessen Koordinaten dabei kontravariant transformieren. Ist die Übergangsmatrix der Basistransformation, so beschreibt den Koordinatenübergang.

Anmerkung: Mit der im Abschnitt über die Darstellungsmatrix als Tensor eingeführten Notationsweise lässt sich dieser Sachverhalt so formulieren: Ist eine Basistransformation mit der Darstellungsmatrix , definiert durch die Gleichung , so gilt:
Daraus folgt für die Darstellungsmatrix:
Hierbei ist offensichtlich die Matrix der zugehörigen Koordinatentransformation, da
Die zugehörigen dualen geordneten Basen und entsprechend des Dualraums werden spaltenartig notiert und sind definiert durch
und analog
Beschreibt eine Matrix die Transformation , so gilt folglich , also .
Also wird (gemäß obigen Überlegungen) die Koordinatentransformation der Kovektoren bezüglich der zugehörigen dualen Basen und von durch die Matrix beschrieben:
Nun gilt es, einen strukturellen Aspekt zu beachten: Die Notationsweise spiegelt die „Seitigkeit“ der Vektorräume wider, d. h.: Werden – wie hier – als Rechts-Vektorraum und seine Koordinatenvektoren als Spaltenvektoren notiert, so ist der Dualraum ein Links-Vektorraum und seine Koordinatenvektoren sind Zeilenvektoren. Entsprechend geschieht auch die Multiplikation mit Darstellungsmatrizen in beiden Räumen von entgegengesetzten Seiten: Zeilenartig notierte Tupel treten von rechts, spaltenartig notierte Tupel hingegen von links an die Darstellungsmatrix; insbesondere treten Koordinatenvektoren für Rechts-Vektorräume (Spaltenvektoren) von rechts an die Darstellungsmatrix, während Koordinatenvektoren für Links-Vektorräume (Zeilenvektoren) von links an die Darstellungsmatrix herantreten, denn schließlich wird dadurch eine Summe von Skalarmultiplikationen notiert und Skalare müssen auf der richtigen Seite notiert werden. Wird aber – dank der Kommutativität des Grundkörpers – diese strukturelle Unterscheidung in der Notation unterschlagen, indem beide Vektorräume mit gleicher Seitigkeit notiert werden, so ist zu beachten, dass beim Übergang zur Gegenseite die beteiligten Matrizen transponiert werden müssen, d. h., dass Zeilen- und Spaltenindex ihre Plätze tauschen. Dies bedeutet für die Koordinatenvektoren im Dualraum beispielsweise:
Sollen also die Koordinatenvektoren des Dualraums in derselben Form notiert werden wie diejenigen des Ursprungsraums, so müssen die Darstellungsmatrizen transponiert werden, bevor sie von der Gegenseite zwecks Matrizenmultiplikation an die Koordinatenvektoren herantreten. Dies kann man sich natürlich ebenso gut vor Augen führen, indem man die Summenprodukte sämtlich ausschreibt wie in diesem Artikel gezeigt.
Speziell für : Ist auf dem Vektorraum ein hermitesches (bzw. symmetrisches) Skalarprodukt definiert, so gilt für unitäre Transformationen (bzw. orthogonale Transformationen) bekanntlich , für selbstadjungierte Transformationen hingegen . Dabei bezeichne die (zur adjungierten Abbildung gehörige) adjungierte Matrix, nämlich die konjugiert-komplexe und transponierte Matrix (bzw. die transponierte Matrix) von . – Für antisymmetrische Skalarprodukte (bzw. die symplektische Gruppe) lässt sich Entsprechendes ableiten: Siehe dazu die Rechnungen im Artikel zur Kovarianz und Kontravarianz, deren strukturelle Hintergründe hiermit hinreichend beleuchtet sein mögen.

Ein kovarianter Vektor liegt also in einem Vektorraum, auf dessen Dualraum eine Gruppe linearer Basistransformationen operiert, sodass seine Koordinaten sich kovariant transformieren. Ist die Darstellungsmatrix einer solchen Basistransformation, so beschreibt

  • den Koordinatenübergang der kovarianten Vektoren, wenn Vektorraum und Dualraum gegenseitig notiert werden, um einem Schiefkörper zu entsprechen, wohingegen
  • den Koordinatenübergang der kovarianten Vektoren beschreibt, wenn – unter Ausnutzung der Kommutativität von – Vektorraum und Dualraum gleichseitig notiert werden.

Das funktorielle Verhalten eines Funktors muss vom tensoriellen Transformationsverhalten eines Tensors unterschieden werden.

Das äußere Produkt von Tensoren

Das äußere Produkt von Tensoren – im Gegensatz zum inneren Produkt – ist schlicht das Tensorprodukt von Tensoren der Stufe im Sinne der universellen Eigenschaft. Es muss also vom äußeren Produkt im Sinne des Dach-Produktes oder der Graßmann-Algebra unterschieden werden. Explizit bedeutet dies:

Sind zwei Tensoren und gegeben, so ist ihr äußeres Produkt ihr Tensorprodukt gemäß diesem oder jenem Abschnitt, je nachdem, wie man Tensoren interpretiert.

Mit anderen Worten: Das äußere Produkt von Tensoren oder die Tensormultiplikation ist das Tensorprodukt von Tensoren (aufgefasst als Vektoren ihrer jeweiligen Tensorprodukträume). In der Koordinatendarstellung entspricht es dem Kronecker-Produkt.

So lässt sich das Tensorprodukt von Bilinearformen bilden und infolgedessen auch das Tensorprodukt quadratischer Formen, falls , denn mit Hilfe der Polarisationsformel gehen quadratische und symmetrische Bilinearformen auseinander hervor.

Der einfachste Fall ist das äußere Produkt eines Vektors mit einem Kovektor, das eine quadratische Matrix liefert, die offensichtlich den Rang hat und einen einfachen, elementaren oder reinen Tensor der Stufe darstellt:

Das äußere Produkt von Tensoren führt zu einer Erhöhung ihrer Stufe.

Beispiel: Tensorprodukt zweier Bilinearformen

Das erwähnte Beispiel des äußeren Produktes zweier Bilinearformen sei explizit gezeigt: Es seien dazu zwei -Vektorräume und gegeben mit je einer Bilinearform:

und entsprechend für . Dann definiere man – getreu dem Abschnitt über das Tensorprodukt linearer Abbildungen – eine Bilinearform auf dem Tensorproduktraum durch Festlegung auf den einfachen Tensoren:

Beachte: Die hierbei auftretenden Summen bleiben stets endlich.

Dabei genügt – wie immer – die Festlegung auf den Basisvektor-Paaren.

Die gegebene Definition liefert – wie im Abschnitt über das Tensorprodukt linearer Abbildungen bereits gezeigt – die bilineare Abbildung des Bifunktors

und daher (per universeller Eigenschaft) den natürlichen Monomorphismus .

Anhand der Definition ist offenkundig: Sind bezüglich eines Skalarproduktes eine Orthonormalbasis in und entsprechend eine Orthonormalbasis in bezüglich seines Skalarproduktes , so ist eine Orthonormalbasis in bezüglich , das heißt:

Das innere Produkt von Tensoren

Im Gegensatz dazu steht das innere Produkt eines Kovektors mit einem Vektor, das einen Skalar liefert:

Das innere Produkt ähnelt dem Standardskalarprodukt, unterscheidet sich von diesem jedoch dadurch, dass die Vektoren verschiedenen Räumen entstammen: Es ist eine Paarung aus Vektor und Kovektor durch Auswertung der Linearform auf ihrem Argument.

Das Standardskalarprodukt ist – dank der universellen Eigenschaft – interpretierbar als eine Linearform auf (und mithin als Tensor aus ), das innere Produkt hingegen als Linearform auf (mithin als Tensor aus ). Dennoch wird gelegentlich das Standardskalarprodukt als inneres Produkt bezeichnet.

Das innere Produkt ist ein Beispiel für eine Tensorverjüngung.

Spur und Verjüngung

Die Spur eines Tensors vom Typ (also eines Endomorphismus) liefert einen Tensor vom Typ (also einen Skalar), nämlich durch die Festlegung für einfache (elementare) Tensoren und lineare Fortsetzung auf die allgemeinen Tensoren der Stufe .

Für einen solchen allgemeinen Tensor und seine Darstellungsmatrix [Anm 7] ergibt sich gemäß der obigen Koordinatendarstellung:

wobei beim Ausrufezeichen „“ die einsteinsche Summenkonvention benutzt wird.

Ganz entsprechend induziert die Auswertung (Evaluation) Abbildungen vom Raum der -Tensoren in den Raum der -Tensoren, die Kontraktion oder Spurbildung oder Tensorverjüngung genannt werden und eine Erniedrigung der Tensorstufe herbeiführen.

Koevaluation

Umgekehrt induziert (für ) die Koevaluation, definiert durch (und lineare Fortsetzung, versteht sich) Erhöhungen der Stufe: . Diese Abbildung bildet offenbar einen Tensor – hier dargestellt durch seine Koordinaten – auf das Tensorprodukt (Kronecker-Produkt) mit der Einheitsmatrix (der Identität auf ) ab:

Die Komposition als Tensorverjüngung und die Matrizenmultiplikation als verjüngtes Kronecker-Produkt

Mit der im Abschnitt über die Darstellungsmatrix als Matrix der Tensorkoordinaten vorgestellten Bezeichnungsweise für Darstellungsmatrizen lässt sich leicht erkennen, dass die Komposition von Homomorphismen eine Kontraktion (Tensorverjüngung) ist und dass die Matrizenmultiplikation genau dies widerspiegelt.

Denn für Homomorphismen und ist die Kompositionsabbildung

offenkundig eine bilineare Abbildung. Nach obigen Überlegungen ist also die Komposition ihrerseits das Kompositum dieser Abbildungen:

In der Tat ergibt sich, wenn in den Vektorräumen und die Basen bzw. gewählt werden und gesetzt wird:

Dabei findet in der Mitte – ausgelöst durch die Evaluation – die Kontraktion statt: Sie spiegelt sich darin wider, dass das Kronecker-Produkt der Darstellungsmatrizen in das Matrizenprodukt übergeht. Der Begriff der Verjüngung ist zwar genau genommen nur für die Räume gemischter Tensoren definiert, aber es ist offensichtlich, wie er sich hier einordnet: Für den Fall geht es um die Hintereinanderausführung von Endomorphismen auf und die Multiplikation quadratischer Darstellungsmatrizen, und diese liefern eine Kontraktion .

Tensorprodukt von Hilbert-Räumen

Für das Tensorprodukt zweier Hilbert-Räume kann mutatis mutandis das Vorgehen gemäß dem Tensorprodukt zweier Bilinearformen herangezogen werden, zu beachten sind hierbei zwei wesentliche Punkte:

Daher muss nach Bildung des „sequilinearen“ Tensorprodukts gemäß Abschnitt zum Tensorprodukt von Bilinearformen der Tensorproduktraum bezüglich der Hilbertnorm vervollständigt werden, um seine Vollständigkeit sicherzustellen und somit einen Hilbert-Raum aus dem Tensorprodukt zu erhalten, in welchem die lineare Hülle der Orthonormalbasis dicht liegt. Bei unendlicher Dimension ist dies nämlich nicht ohne Weiteres gewährleistet.

Für euklidische Räume gilt das entsprechende Vorgehen.

Anmerkung: Bei endlicher Dimension sind ohnehin alle Normen äquivalent, so dass bei vollständigem Skalarkörper stets ein vollständiger Vektorraum vorliegt, nämlich isomorph zu . Die Vollständigkeit des Skalarkörpers ist im hier interessierenden Fall (bzw. im Falle euklidischer Räume) gegeben.

Manche Autoren verleihen der Vervollständigung des „bloß sesquilinear algebraischen“ Tensorprodukts zweier Hilbert-Räume und auch in der Schreibweise Ausdruck, andere halten es ohne expliziten Notationshinweis für selbstverständlich, das – kategoriell gesehen – Notwendige zu tun.

Anwendung: Produktmaß quadratisch integrierbarer Funktionen

Der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen[Anm 8] ist ein Hilbertraum. Somit ist es möglich, das Tensorprodukt zweier solcher Räume zu bilden und mithin das Produktmaß der zugrundeliegenden Maßräume.

Tensorprodukt von Moduln

Das Tensorprodukt lässt sich – wie an anderer Stelle schon angedeutet – nicht nur für die Kategorie der Vektorräume bilden, sondern auch für die Kategorie der Moduln über einem (beliebigen, auch nichtkommutativen) Ring mit Einselement, freilich mit Auswirkungen auf manche seiner Eigenschaften. Im Folgenden werden Eigenschaften für das Tensorprodukt in der Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring skizziert.

Vorab eine allgemeine Anmerkung: Jede abelsche Gruppe lässt sich als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen vermöge (per vollständige Induktion für jedes ) und durch , sodass . Die Kategorie der abelsche Gruppen und diejenige der -Moduln sind also äquivalent, siehe dazu auch diesen Link.

Tensorprodukt auf freien Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement

Alle Aussagen, die im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen über einem Körper getroffen wurden, gelten auch für das Tensorprodukt auf freien Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement.

Hintergrund: Im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen wurde nicht benutzt, dass die Elemente des Körpers (bis auf die 0) sämtlich invertierbar sind: . Es wurde nicht einmal verwendet, dass als Ring nullteilerfrei ist. Wohl aber wurde benutzt, dass jeder Vektorraum direkte Summe seiner eindimensionalen Unterräume ist, deren jeder durch einen der Basisvektoren aufgespannt wird: . Diese Eigenschaft ist für die Konstruktion schon hinreichend – und für freie Moduln über einem Ring mit Einselement aber (per definitionem) erfüllt. Wenn sogar ein Körper ist – für Vektorräume also – lässt sich diese Tatsache dank der Invertierbarkeit nichtverschwindender Körperelemente sicherstellen.

Man kann also den obigen Abschnitt über das Tensorprodukt von Vektorräumen auch für freie Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement lesen.[Anm 9]

Tensorprodukt auf Moduln über Hauptidealringen

Bei der Ermittlung des Tensorprodukts auf Moduln über einem Hauptidealring sind der Elementarteilersatz und die Primärzerlegung hilfreich. Für den Fall liefert dieser den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.

Beispiel aus der Zahlentheorie: ggT annulliert Tensorprodukt

Der Ring der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Jeder euklidische Ring – wie etwa der Ring der Gaußschen Zahlen oder die Polynomalgebra über einem Körper – ist ein Hauptidealring. Das folgende Beispiel illustriert einen, wie ihre Primärzerlegung lehrt, für Torsionsmoduln über Hauptidealringen typischen Fall.

Betrachte für zwei ganze Zahlen das Tensorprodukt der Restklassenringe :

Ist für zwei Zahlen , so gilt für jeden elementaren Tensor :

Tatsächlich lassen sich für den größten gemeinsamen Teiler solche Zahlen finden. Also annulliert der größte gemeinsame Teiler das gesamte Tensorprodukt:

.

Sind die beiden Zahlen gar teilerfremd, so ist der größte gemeinsame Teiler , und es folgt, dass das Tensorprodukt zur Nullgruppe kollabiert:

.

Daher ist eine -bilineare Abbildung notwendig die triviale Nullabbildung.

Das Tensorprodukt abelscher Gruppen kann also zum Kollaps führen.

Man beachte hier den großen Unterschied zwischen direktem Produkt und Tensorprodukt: Während das Tensorprodukt zu

kollabiert, liefert das direkte Produkt nach dem Chinesischen Restsatz den Restklassenring

.

Tensorprodukt auf Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement

Sind die Moduln aber nicht frei über dem Ring , so gelingt die Konstruktion aus dem Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen nicht, eben weil die Ausgangsbasen nicht gegeben sind. Jedoch bleibt die Universaldefinition mit Hilfe multilinearer Abbildungen[Anm 10] sinnvoll und definiert das Tensorprodukt auf Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement. Allerdings bleibt die Frage der Existenz offen: Sie wird mittels einer allgemeineren Konstruktion nachgewiesen, siehe den Artikel über das Tensorprodukt von Moduln.

Polynommodul als Skalarerweiterung

Der Polynommodul eines Moduls über einem kommutativen unitären Ring wird definiert durch

und ist ein Modul sowohl über dem Polynomring als auch über dem Ring .

Wendet man die Skalarerweiterung auf einen Modul über einem unitären kommutativen Ring an, indem man das Tensorprodukt mit der Polynomalgebra (lediglich als Modul über betrachtet) bildet, so erhält man eine Isomorphie zum Polynommodul :

Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen mit Einselement

Eine wesentliche Änderungen tritt ein, wenn der Ring nicht kommutativ ist, und diese Änderungen betrifft folglich auch Vektorräume über Schiefkörpern: Das liegt daran, dass die Eigenschaft der Bilinearität für Elemente zweier Moduln (für ) und für eine bilineare Abbildung folgende Identität impliziert:

.

Also operiert