Tensorprodukt

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Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra und somit ein vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient es zur Beschreibung multilinearer Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor. Für die basisfreie Konstruktion sei auf Tensorprodukt von Moduln verwiesen.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts

${\displaystyle \underbrace {V\otimes \dotsb \otimes V} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dotsb \otimes V^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}}$

(für einen Vektorraum ${\displaystyle V}$ mit Dualraum ${\displaystyle V^{*}}$, oft ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$) als gemischte Tensoren, kontravariant der Stufe ${\displaystyle r}$ und kovariant der Stufe ${\displaystyle s}$. Man spricht kurz von Tensoren vom Typ ${\displaystyle (r,s)}$. So lassen sich lineare Abbildungen ${\displaystyle f\colon V\to W}$ als Tensoren aus ${\displaystyle V^{*}\otimes W}$ oder aber als Tensoren auf dem Dualraum ${\displaystyle V\otimes W^{*}}$ interpretieren. Wie sich diese zunächst verwirrende Vielfalt widersprüchlich erscheinender Auffassungen dem allgemeinen Verständnis von Tensoren unterordnet, erklären die Abschnitte über Homomorphismen als Tensoren und Tensoren vom Typ ${\displaystyle (r,s)}$.

Tensorprodukt von Vektorräumen

Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra, genauer: ein Anfangsobjekt (Synonyme: initiales Objekt, engl.: universally repelling object).^[1] Als solches ist es nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Was auf den ersten Blick enttäuschend klingen mag, bedeutet in Wahrheit jedoch die äußerst flexible Anwendbarkeit dieses Begriffs. Im Mittelpunkt stehen – als Erweiterung des Begriffs der linearen Abbildungen – die multilinearen Abbildungen. Dies sind Abbildungen in ${\displaystyle N}$ linearen Variablen (Vektoren), die in jeder einzelnen für sich genommen, während die anderen unverändert bleiben, linear sind. Dass Messgrößen in dieser Weise voneinander abhängen, beobachtet die Physik häufig. Im Falle von ${\displaystyle N=1}$ spricht man von (uni)linearen, bei ${\displaystyle N=2}$ von bilinearen, für ${\displaystyle N=3}$ von trilinearen, im allgemeinen Falle von ${\displaystyle N}$-fach multilinearen Abbildungen. Für alles Folgende muss daher notwendig vorausgesetzt werden, dass der Grundkörper ${\displaystyle K}$ kommutativ ist, also kein Schiefkörper. (Der nicht-kommutative Fall wird im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen und darin speziell hier skizziert.)

Einführung: Anknüpfungspunkte zur Motivation

Zur Erläuterung: Man mag die Situation mit der elementaren Situation für einen Körper ${\displaystyle K}$ vergleichen, der über sich selbst einen Vektorraum bildet und dessen Elemente also als Vektoren aufgefasst werden können: Eine unilineare, d. h. lineare Abbildung ${\displaystyle K\to K}$ (${\displaystyle N=1}$) ist eine Multiplikation mit einem Körperelement („Skalar“) ${\displaystyle m}$, d. h.: ${\displaystyle \operatorname {mult} _{m}\colon x\mapsto m\cdot x}$. Bilineare Abbildungen sind Produkte zweier linearer Abbildungen und haben daher quadratische Ordnung: ${\displaystyle K\times K\to K,\;(x_{1},x_{2})\mapsto m_{1}x_{1}\cdot m_{2}x_{2}=m_{1}m_{2}\cdot x_{1}x_{2}}$. Trilineare Abbildungen haben entsprechend kubische Ordnung, und allgemein sind ${\displaystyle N}$-fach multilineare Abbildungen das Produkt von ${\displaystyle N}$ linearen Abbildungen. Das Tensorprodukt von Vektorräumen verallgemeinert diese Bildung: Allerdings müssen zu diesem Zweck – im Gegensatz zu der eben beschriebenen elementaren Situation – sowohl eine (${\displaystyle N}$-fach multilineare) „Multiplikation für Vektoren“ (zumal aus unterschiedlichen ${\displaystyle K}$-Vektorräumen), nämlich das Tensorprodukt, als auch der Tensorproduktraum, in dem diese Produkte liegen, erst geschaffen werden. Dabei werden der Tensorproduktraum und das Tensorprodukt als ein universelles Objekt definiert, sodass jede multilineare Abbildung mit ihnen linear parametrisiert werden kann.

Beispiele für multilineare Abbildungen auf ein und demselben Vektorraum ${\displaystyle V}$ der Dimension ${\displaystyle \dim V=:n}$ sind (insbesondere aus dem Anschauungsraum ${\displaystyle K=\mathbb {R} ,n=3,V=\mathbb {R} ^{3}}$) bekannt:

• Das (innere) Skalarprodukt: Dies ist ein Produkt zweier Vektoren (${\displaystyle N=2}$) aus dem Vektorraum mit Werten im Grundkörper ${\displaystyle K}$. Es misst die Länge der (gerichteten) Projektion des einen Vektors auf den anderen skaliert mit dessen Länge.
• Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt oder äußere Produkt: Dies ist ein Produkt von ${\displaystyle N=n-1}$ Vektoren aus dem Vektorraum und liefert einen Vektor, dessen Länge im ${\displaystyle n}$-Dimensionalen das „vorzeichenbehaftete“ (da orientierte) Volumen des von ${\displaystyle n-1}$ Vektoren aufgespannten Hyperquaders misst, und der senkrecht (orthogonal) und in positiver Orientierung auf dem Hyperquader steht.
• Die Determinante misst (als Volumenform) im ${\displaystyle n}$-Dimensionalen das – ebenfalls orientierte – Volumen des von ${\displaystyle n}$ Vektoren aufgespannten Quaders als Skalargröße. Für sie ist also ${\displaystyle N=n}$. Sie lässt sich auch als Skalarprodukt von einem ihrer ${\displaystyle n}$ Vektoren mit dem Vektorprodukt der übrigen ${\displaystyle n-1}$ Vektoren errechnen. (Dem entspricht die Entwicklungsformel nach einer Spalte oder Zeile.) Sie lässt sich durch das Spatprodukt (verallgemeinert ins ${\displaystyle n}$-Dimensionale) vom Kreuzprodukt ableiten.
• Allgemeiner betrachtet ist klar, dass das ${\displaystyle k}$-dimensionale Volumen eines von ${\displaystyle k}$ Vektoren ${\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{k})}$ aufgespannten Parallelotops im ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raum (${\displaystyle v_{i}\in V,\,i=1,\dots ,k\leq n=\dim V}$) linear von jedem einzelnen Vektor abhängt und verschwindet, sobald zwei Vektoren gleich sind, weil die ${\displaystyle k}$ Vektoren dann einen höchstens ${\displaystyle (k-1)}$-dimensionalen Vektorraum aufspannen und das Parallelotop folglich kollabiert. Die Messung ${\displaystyle k}$-dimensionaler Volumina ist also ein elementargeometrisches Beispiel einer alternierenden ${\displaystyle k}$-stufigen Multilinearform und liefert daher bei ${\displaystyle \operatorname {Char} K\neq 2}$ einen antisymmetrischen Tensor. Hiermit im Zusammenhang stehen die Graßmann-Algebra und – bei weiterer Verallgemeinerung – die Clifford-Algebra. Die Determinante behandelt den Fall ${\displaystyle k=n}$.

Die duale Paarung hingegen ist eine bilineare Abbildung auf einem Vektorraum und seinem Dualraum mit Werten im Grundkörper, also eine Bilinearform: Sie besteht in der bloßen Auswertung eines Kovektors (einer Linearform) auf einem Vektor und ermöglicht es, einen Vektorraum als einen Unterraum seines Bidualraumes aufzufassen, bei endlicher Dimension sogar mit ihm kanonisch zu identifizieren.

All diese „Produkte“ verdienen diesen Namen, weil sie bilinear bzw. multilinear sind, und stellen daher – trotz ihrer Verschiedenheit – Beispiele für Tensoren dar. Tensoren sind multilineare Abbildungen, und das Tensorprodukt lässt sich als ein universeller Tensor verstehen: Alle denkbaren multilinearen Abbildungen (Produkte von Vektoren aus vorgegebenen Vektorräumen) lassen sich mit Hilfe des Tensor(produkt)raumes einheitlich beschreiben.

Da – zumal im endlichdimensionalen Falle – etliche Identifikationen rund um Vektorräume, ihre Dualräume und die Räume linearer Abbildungen möglich sind, gibt es für den Tensorproduktraum viele isomorphe Deutungen. Daher lassen sich in der Literatur viele Zugänge und unterschiedliche Betrachtungsweisen finden. Das Wesen des Tensorprodukts liegt jedoch in der Betrachtung multilinearer Abbildungen ${\displaystyle V^{(1)}\times \dots \times V^{(N)}\longrightarrow W}$, also Abbildungen, die in jeder einzelnen Komponente (${\displaystyle V^{(i)},\,i=1,\dots ,N}$) bei festgehaltenen übrigen Komponenten ${\displaystyle K}$-linear sind. Der Raum dieser Abbildungen ist in naheliegender Weise ein Vektorraum über ${\displaystyle K}$ und wird mit ${\displaystyle L^{N}(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};W)}$ bezeichnet. Es ist ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=L(V,W)=L^{1}(V;W)}$.

Es wird zunächst der Fall der bilinearen Abbildungen (${\displaystyle N=2}$) behandelt, bevor der allgemeine Fall der multilinearen Abbildungen in verdichteter Form betrachtet wird.

Sesquilinearität im komplexen Fall

Für den komplexen Fall ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ ist zu beachten, dass an die Stelle der Bilinearität meist die Sesquilinearität tritt, wie etwa im Falle hermitescher Sesquilinearformen, wie es positiv definite Skalarprodukte sind: Das heißt, dass die Abbildung nur in einem der beiden Argumente linear ist, im anderen stattdessen antilinear oder semilinear: Dies bedeutet, dass die komplexe Konjugation als Involution ins Spiel kommt – und darin auch bleibt. Somit ist an manchen Stellen die Linearität durch Antilinearität (Semilinearität) zu ersetzen, siehe bspw. den Abschnitt zum Tensorprodukt von Hilbert-Räumen.

Gemischte Tensoren

Wie erwähnt, beobachtet die Physik häufig, dass eine Messgröße, sei sie skalar- oder vektorwertig, von mehreren anderen abhängt und zwar von jeder einzelnen in linearer Weise. Wie sich die Abhängigkeit insgesamt beschreiben lässt, gibt der zugehörige Tensor an. Typischerweise entstammen die Observablen demselben Vektorraum ${\displaystyle V=V^{(i)},i=1,\dots ,s}$ oder aber seinem Dualraum ${\displaystyle V^{*}=V^{(i)},i=s+1,\dots s+r=N}$. Dies führt (für den grundlegenden Fall ${\displaystyle W=K}$) zu dem in der Physik üblichen Begriff der (gemischten) Tensoren vom Typ ${\displaystyle (r,s)}$, der ${\displaystyle r}$-fach kontravarianten und ${\displaystyle s}$-fach kovarianten Tensoren (der Stufe ${\displaystyle r+s}$): ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)=L^{r+s}(\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{r{\text{ Mal}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{s{\text{ Mal}}};K)=V^{\otimes r}\otimes (V^{*})^{\otimes s}}$. Tatsächlich entstand der Begriff des Tensors zuerst in der Physik der Spannungstensoren, wie im Artikel zum Tensor nachzulesen ist (siehe auch Kontinuumsmechanik, Trägheitstensor und Verzerrungstensor).

Tensoren mit besonderen Eigenschaften

Unter den Tensoren gibt es solche mit weiteren speziellen Eigenschaften wie symmetrische Tensoren, alternierende Tensoren (siehe auch alternierende Multilinearformen, alternierende Matrizen bzw. antisymmetrische Tensoren und symmetrische und antisymmetrische Tensoren), insbesondere das Vektorprodukt (siehe auch im Kontext krummliniger Koordinaten), schiefsymmetrische Tensoren etc.

Verknüpfungen von Tensoren

Da Tensorprodukträume ihrerseits Vektorräume sind, lassen sich multilineare Abbildungen auf ihnen und damit ihr Tensorprodukt bilden: Äußeres (siehe auch hier) und inneres Produkt sowie Tensorverjüngung (siehe auch Abschnitte zur Spurbildung und Verjüngung bzw. Kontraktion) sind Beispiele multilinearer Abbildungen von Tensoren. Formelsammlungen befinden sich in der Formelsammlung Tensoralgebra oder im Internet.^{[Anm 1]}

Einige Anwendungsgebiete

In der Tensoranalysis werden Tensorfelder betrachtet. Sie kommen durch die Tangentialräume und Tensorbündel ins Spiel, hier befindet sich eine Formelsammlung dazu.

In der Theorie der Algebren wird das Konzept des Tensorprodukts genutzt, um Algebren zu konstruieren wie bspw.:

• die Tensoralgebra
• die Graßmann-Algebra
• die Clifford-Algebra

Das Tensorprodukt von Algebren spielt eine zentrale Rolle bei der Untersuchung von Azumaya-Algebren (d. h. zentraler einfacher endlichdimensionaler Algebren), worin sich Algebrentheorie und Zahlentheorie begegnen und den Satz von Skolem-Noether liefern sowie einen Beweis des Satzes von Wedderburn mit Hilfe der verschränkten Produkte (Faktorensystem) von Emmy Noether ermöglichen. Die Definition der Brauergruppe beruht auf der Verwendung des Tensorproduktes von Azumaya-Algebren.

Erinnerung an die (uni)lineare Algebra: Illustration am Beispiel N = 1

Der Fall ${\displaystyle N=1}$ ist aus der (uni)linearen Algebra bekannt: Der Koordinatenraum ${\displaystyle K^{n}}$ ist ein Modell für jeden ${\displaystyle n}$-dimensionalen ${\displaystyle K}$-Vektorraum. So könnte dieser unilineare Fall auch als Induktionsanfang für eine induktive Definition und die Definition für das bilineare Tensorprodukt als Induktionsschritt benutzt werden (siehe diesen Abschnitt), doch ist die Definition für den allgemeinen Fall auch unmittelbar möglich.

Lineare Abbildungen können in Koordinatenräumen dargestellt werden. Insbesondere können sie durch Linearformen (also durch lineare Abbildungen ${\displaystyle \lambda \colon V\to K}$ in den Grundkörper) dargestellt werden, wie kurz erläutert werden soll: Es seien dazu ${\displaystyle V=\bigoplus _{j\in J}v_{j}}$ und ${\displaystyle W=\bigoplus _{i\in I}w_{i}}$ Vektorräume über dem Grundkörper ${\displaystyle K}$ mit den Basen ${\displaystyle (v_{j})_{j}}$ bzw. ${\displaystyle (w_{i})_{i}}$. (Bei endlichen Dimensionen denke man sich ${\displaystyle J=\{1,\dots ,n\}}$ und ${\displaystyle I=\{1,\dots ,m\}}$.) Jede Abbildung ${\displaystyle f\colon B\to W}$ einer Menge (!) ${\displaystyle B}$ in den Vektorraum ${\displaystyle W}$ zerfällt in naheliegender Weise in die Summe ${\displaystyle f=\sum _{i\in i}f_{i}}$ von Komponentenabbildungen ${\displaystyle f_{i}}$ definiert durch ${\displaystyle f(v)=:\sum _{i\in I}\underbrace {w_{i}\cdot \lambda _{i}(v)} _{=:f_{i}(v)=\pi _{i}\circ f}}$, wobei ${\displaystyle \pi _{i}\colon W\to W_{i}:=K\cdot w_{i}}$ die kanonischen Projektionen bezeichne. In dieser Weise lassen sich alle vektorwertigen Funktionen zerlegen, insbesondere lineare Abbildungen ${\displaystyle f\colon V\to W}$ in die Summe der zugehörigen Linearformen ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

Aus der (uni)linearen Algebra ist bekannt, dass derartige Linearformen als Kovektoren bezeichnet werden und dual zu den Ursprungsvektoren beschrieben werden: Werden die Vektoren ${\displaystyle v=\sum _{j}v_{j}\cdot x_{j}\in V}$ als Spaltenvektoren ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$ dargestellt (bezogen auf die gewählte Basis), so können die Kovektoren als Zeilenvektoren dargestellt werden und sind als Elemente des Dualraumes ${\displaystyle V^{*}}$ zu verstehen: Als solche sind sie eindeutig als eine Linearkombination ${\displaystyle \sum _{j\in J}x'_{j}\cdot v_{j}^{*}}$ der zu ${\displaystyle (v_{j})_{j}}$ dualen Basis ${\displaystyle (v_{j}^{*})_{j}}$ darstellbar. Bei endlicher Dimension besteht eine – freilich basisabhängige – Isomorphie zwischen Dualraum und Ursprungsraum, während die Isomorphie zwischen Bidualraum und Ursprungsraum kanonisch ist. („Der Ursprungsraum ist der Dualraum seines Dualraums.“)

Zusammengefasst: Jede lineare Abbildung ${\displaystyle f\in L(V,W):=\operatorname {Hom} (V,W)}$ lässt sich als Linearkombination ${\displaystyle \sum _{i\in I}w_{i}\lambda _{i}=\sum _{i\in I}f_{i}}$ von Linearformen (Kovektoren) darstellen. Die elementaren Bausteine linearer Abbildungen sind also Kovektoren ${\displaystyle v^{*}\in V^{*}}$, und diese sind – als Elemente des Dualraums – gut bekannt. Die Koordinatenabbildung ${\displaystyle \phi \colon V\to \bigoplus _{j\in J}v_{j}\cdot K\cong \coprod _{j\in J}K\cong K^{(J)}\cong K^{n}}$^{[Anm 2]} liefert eine konkrete Darstellung als Spalten- bzw. Zeilenvektoren, mit deren Hilfe jede lineare Abbildung ${\displaystyle f\in L(V,W)}$ mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ als Kompositum ${\displaystyle f\colon V{\stackrel {\phi }{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}}K^{(J)}{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}W}$ dargestellt werden kann.

Das ${\displaystyle N}$-fache Tensorprodukt ${\displaystyle \otimes \colon \prod _{k=1}^{N}V^{(k)}\to \bigotimes _{k=1}^{N}V^{(k)}}$ klärt dieselbe Fragestellung für ${\displaystyle N}$-fach multilineare Abbildungen ${\displaystyle \psi \colon \prod _{k=1}^{N}V^{(k)}\to W}$ und wird ebenfalls liefern: Jede derartige multilineare Abbildung ${\displaystyle \psi }$ ist mit Hilfe einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung ${\displaystyle {\tilde {\psi }}\colon \bigotimes _{k=1}^{N}V^{(k)}\to W}$ darstellbar als ${\displaystyle \psi ={\tilde {\psi }}\circ \otimes }$. Um alle multilinearen Abbildungen („Tensoren“) zu kennen, genügt es also, das Tensorprodukt zu kennen, denn es ist universell: Jede multilineare Abbildung ist ein (sogar eindeutig bestimmtes) lineares Abbild des Tensorprodukts. So erscheint das Tensorprodukt als eine multilineare Koordinatenabbildung, mit der jeder Tensor auf eindeutige Weise linear parametrisiert werden kann. Man darf sie sich als eine multilineare Koordinatenabbildung vorstellen, die minimal mit der Eigenschaft ist, dass jede multilineare Abbildung ihr lineares Abbild ist. Die Minimalität sichert die Eindeutigkeit des linearen Abbildes. Als Koordinatenraum für die Koordinatendarstellung von Tensoren wird sich der Raum der ${\displaystyle N}$-dimensionalen (Super-)Matrizen empfehlen. Der folgende Unterabschnitt präzisiert diese Überlegungen.

N beliebig: Multilineare Algebra

Der Fall ${\displaystyle N=1}$ zeigt also: Unilineare Abbildungen ${\displaystyle f\in L(V,W)}$ lassen sich durch Multiplikation mit Matrizen ${\displaystyle \mathrm {T} _{j\in J}^{i\in I}}$ beschreiben, die den zugehörigen Koordinatenraum ${\displaystyle K^{(J)}}$ von ${\displaystyle V}$ (bezüglich einer Basis ${\displaystyle {\underline {v}}}$ in ${\displaystyle V}$) in denjenigen ${\displaystyle K^{(I)}}$ von ${\displaystyle W}$ (bezüglich einer Basis ${\displaystyle {\underline {w}}}$ in ${\displaystyle W}$) linear abbildet. Sie sind in Summen elementarer Tensoren zerlegbar.

Ist nun ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ beliebig und ${\displaystyle V^{(k)}\cong K^{(J_{k})},\,k=1,\dots ,N}$ eine Familie von Vektorräumen, so korrespondiert mit einer ${\displaystyle N}$-fach multilinearen Abbildung ${\displaystyle f\in L^{N}(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};W)}$ (nach Auswahl von (geordneten) Basen ${\displaystyle {\underline {v^{(k)}}}=(v_{j}^{(k)})_{j\in J_{k}}}$ in ${\displaystyle V^{(k)},\,k=1,\dots ,N}$ bzw. ${\displaystyle {\underline {w}}=(w_{i})_{i\in I)}}$ in ${\displaystyle W}$) eine ${\displaystyle N}$-fach multilineare Abbildung ${\displaystyle [f]}$, die das Produkt der zugehörigen Koordinatenräume ${\displaystyle K^{(J_{1})}\times \dots \times K^{(J_{N})}}$ multilinear in ${\displaystyle K^{(I)}}$ abbildet (bezüglich der gewählten Basen, versteht sich) und die sich durch Multiplikation mit Matrizen beschreiben lässt: Dabei handelt es sich um „Supermatrizen“ ${\displaystyle \mathrm {T} _{j_{1}\in J_{1},\dots ,j_{N}\in J_{N}}^{i\in I}}$, also um ${\displaystyle (N+1)}$-fach multiindizierte Matrizen: Das ${\displaystyle N}$-Tupel ${\displaystyle (j_{1},\dots j_{N})}$ der unteren Indizes korrespondiert mit dem ${\displaystyle N}$-Tupel von Koordinatenvektoren aus ${\displaystyle K^{(J_{1})}\times \dots \times K^{(J_{N})}}$, die Vektoren aus ${\displaystyle V^{(1)}\times \dots \times V^{(N)}}$ bezüglich der zugehörigen Basen ${\displaystyle {\underline {v^{(k)}}}}$ identifizieren, der obere Index korrespondiert entsprechend mit Koordinatenvektoren ${\displaystyle W}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle {\underline {w}}}$. Auch diese Supermatrizen können in eine Summe elementarer Tensoren zerlegt werden.

Zwischenbemerkung: Zwar ist auch ${\displaystyle K^{(J_{1})}\times \dots \times K^{(J_{N})}}$ bzw. ${\displaystyle V^{(1)}\times \dots \times V^{(N)}}$ ein Vektorraum, aber die (uni)linearen Abbildungen aus ${\displaystyle L\left(V^{(1)}\times \dots \times V^{(N)},W\right)=L^{1}\!\left(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};W\right)}$ und die ${\displaystyle N}$-fach multilinearen Abbildungen aus ${\displaystyle L^{N}\!\left(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};W\right)}$ haben für ${\displaystyle N>1}$ nur die triviale Nullabbildung gemein. (Bspw. ist schon die Identität auf dem kartesischen Produkt von Vektorräumen nicht multilinear.) Mit anderen Worten: Betrachtet man ${\displaystyle V^{(1)}\times \dots \times V^{(N)}}$ als ein Objekt aus der Kategorie der Vektorräume, so gehören die multilinearen Abbildungen auf diesem Raum nicht zu den Morphismen dieser Kategorie (mit der trivialen Ausnahme der Nullabbildung).

Also lassen sich diese multilinearen Abbildungen als unilineare Abbildungen auf dem Raum ${\displaystyle K^{(J_{1}\times \dots \times J_{N})}}$ auffassen, und dies ist gerade der Inhalt der universellen Eigenschaft – ergänzt um die Aussage, dass diese Eigenschaft den Tensorproduktraum kennzeichnet: ${\displaystyle K^{(J_{1})}\otimes \dots \otimes K^{(J_{N})}{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}K^{(J_{1}\times \dots \times J_{N})}}$. So spiegelt sich das kartesische Produkt ${\displaystyle J_{1}\times \dots \times J_{N}}$ der Basen ${\displaystyle J_{k}}$ im Tensorproduktraum wider: Der Tensorproduktraum wird von eben diesem kartesischen Produkt der Basen aufgespannt, wie die Konstruktion zeigen wird.

${\displaystyle N}$-fach multilineare Abbildungen auf einem ${\displaystyle N}$-fachen kartesischen Produkt von Vektorräumen sind also als unilineare Abbildungen auf dem zugehörigen ${\displaystyle N}$-fachen Tensorproduktraum der Vektorräume aufzufassen, und dieser ist das freie lineare Erzeugnis des kartesischen Produkts zugehöriger Basen. Durch den Übergang zum Tensorprodukt(raum) gelingt es also, multilineare Abbildungen, die keine Morphismen der Kategorie der Vektorräume sind, als (uni)lineare Abbildungen und mithin als Morphismen der betrachteten Kategorie darzustellen.^{[Anm 3]}

Der unilineare Fall liefert für ${\displaystyle W=K}$ die einstufigen kovarianten Tensoren, also Kovektoren oder Linearformen aus dem Dualraum ${\displaystyle V^{*}}$. Ist ihre Dimension gleich 1, ist also ${\displaystyle \dim V=1,\,V\cong K}$, so sind es gar Skalare. Also lassen sich auch Skalare als (einstufige) Tensoren (eines eindimensionalen Vektorraumes) auffassen.^{[Anm 4]}

Zur Motivation aus quantenmechanischer Sicht

In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum eines Objekts ein Hilbertraum. Hat man ${\displaystyle n}$ Teilchen mit Zuständen ${\displaystyle z_{1},\dotsc ,z_{n}}$ in Hilberträumen ${\displaystyle H_{1},\dotsc ,H_{n}}$ und betrachtet nun die Zustände des aus den Teilchen gebildeten Systems ${\displaystyle S}$, so sind da zunächst die Zustände, die die Information zusammenfassen, die in den Zuständen ${\displaystyle z_{i}\in H_{i}}$ dieser Teilchen, jedes für sich allein, enthalten ist, und die man reine oder Produktzustände ${\displaystyle z_{1}\dotsm z_{n}=z_{1}\otimes \dotsm \otimes z_{n}}$ nennt. Die Quantenmechanik beobachtet, dass auch jede Überlagerung (Superposition) von Zuständen eines Objekts (hier ${\displaystyle S}$) wieder ein möglicher Zustand des Objekts ist – von der Normierung auf die Länge 1 sei hierbei abgesehen. Entsprechend enthält das mathematische Modell außer den genannten Produktzuständen auch beliebige Linearkombinationen

${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}c_{j}\,z_{1,j}\otimes \dotsm \otimes z_{n,j}}$

dieser Produktzustände, wobei ${\displaystyle z_{i,j}\in H_{i}}$ und ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$; und die Gesamtheit solcher Linearkombinationen bildet den Hilbertraum des Systems ${\displaystyle S}$, d. h., die Produktzustände spannen den Hilbertraum des Systems auf. Der neue Vektorraum wird mit ${\displaystyle H_{1}\otimes \dotsb \otimes H_{n}}$ bezeichnet und Tensorprodukt genannt. Weitere Einzelheiten sind dem Artikel zur Quantenverschränkung, insbesondere auch der dortigen mathematischen Betrachtung zu entnehmen.

Definition durch koordinatenbasierte Konstruktion

Es seien ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ zwei Vektorräume über einem gemeinsamen kommutativen Skalarkörper ${\displaystyle K}$. Unter dem Tensorprodukt dieser beiden Vektorräume versteht man ein Paar ${\displaystyle (V\otimes W,\otimes )}$ bestehend aus

• einem Tensorproduktraum ${\displaystyle V\otimes W}$ und
• einer bilinearen Abbildung ${\displaystyle \otimes \colon V\times W\to V\otimes W}$ in den Tensorproduktraum.

Der Tensorproduktraum wird hier, die bilineare Abbildung wird dort konstruiert.

Zuvor jedoch ein Hinweis: Häufig spricht man abkürzend vom Tensorprodukt oder Tensorraum ${\displaystyle V\otimes W}$ unter Vernachlässigung der bilinearen Abbildung ${\displaystyle \otimes }$. Da dies leicht das Verständnis des Tensorprodukt erschwert, soll in diesem Artikel die Rolle der bilinearen Abbildung hervorgehoben werden. Gelegentlich wird aber auch gerade diese Abbildung als das Tensorprodukt angesprochen. Die Elemente des Tensorraumes werden ebenfalls als Tensoren bezeichnet. Doch auch bilineare Abbildungen werden als Tensoren bezeichnet: Unter ihnen befindet sich also auch das Tensorprodukt selbst, und es zeichnet eine Eigenschaft aus, die „universell“ geheißen wird: Es ist ein universeller Tensor. Wie in weiteren Abschnitten deutlich werden wird, gibt es eine Fülle kanonischer Identifikationen rund um die Tensorräume. So können auch lineare, bilineare und multilineare Abbildungen als Tensoren begriffen werden, zumal wenn die (nicht notwendig kanonische) Identifikation eines endlichdimensionalen Vektorraums mit seinem Dualraum stillschweigend vorgenommen wird – auch dieses Vorgehen verschleiert das Konzept des Tensorprodukts. Grundlage bildet jedoch die nun folgende Definition der beiden Bestandteile ${\displaystyle V\otimes W}$ und ${\displaystyle \otimes \colon V\times W\to V\otimes W}$.

Definition des bilinearen Tensorproduktraums durch Konstruktion

Der Tensorproduktraum ${\displaystyle V\otimes W}$ ist ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist ${\displaystyle {\underline {v}}=\{v_{i}\mid i\in I\}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle {\underline {w}}=\{w_{j}\mid j\in J\}}$ eine Basis von ${\displaystyle W}$, dann ist ${\displaystyle V\otimes W}$ ein Vektorraum, genannt Tensorproduktraum, in dem es eine Basis gibt, die auf umkehrbar eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts

${\displaystyle {\underline {v}}\times {\underline {w}}=\{(v_{i},w_{j})\mid i\in I,j\in J\}}$

der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann.

NB: Diese Formulierung zeigt, dass der Tensorproduktraum ${\displaystyle V\otimes W}$ nicht eindeutig festgelegt ist: Es kann durchaus verschiedene Realisierungen geben. Ihnen allen gemeinsam ist aber, dass sie (durch eine Bijektion der Basen aufeinander, wie beschrieben, und lineare Fortsetzung) sämtlich miteinander identifiziert werden können, d. h. isomorph sind. Tensorprodukt(räume) sind also nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Die Dimension von ${\displaystyle V\otimes W}$ ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$. Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar ${\displaystyle (v_{i},w_{j})}$ entspricht, wird als ${\displaystyle v_{i}\otimes w_{j}}$ notiert. Das Symbol ${\displaystyle \otimes }$ hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Es erhält erst durch die Definition der bilinearen Abbildung ${\displaystyle \otimes }$ seine Bedeutung.

Da der Tensorproduktraum ein Vektorraum ist, hat also ein beliebiges Element des Tensorprodukts ${\displaystyle V\otimes W}$ die Gestalt

${\displaystyle \sum _{(i,j)\in I\times J}c_{ij}\cdot (v_{i}\otimes w_{j})\,,}$

wobei die Summe endlich ist oder – was auf dasselbe hinausläuft – fast alle Koeffizienten ${\displaystyle c_{ij}}$ verschwinden (gleich Null sein) müssen. Die Redensweise „fast alle“ bedeutet hierbei gemäß üblichem Sprachgebrauch „alle, bis auf endlich viele“. Das ließe sich auch mit dem Begriff der eingeschränkten Summe ${\displaystyle {\widehat {\sum }}}$ notieren: ${\displaystyle {\widehat {\sum _{(i,j)\in I\times J}}}c_{ij}\cdot (v_{i}\otimes w_{j})}$, vergleiche hierzu etwa den Artikel zum eingeschränkten direkten Produkt. Ein Tensor des Tensor(produkt)raumes wird daher häufig mit der Matrix ${\displaystyle (c_{ij})_{i,j}}$ identifiziert, ähnlich wie Vektoren mit den sie darstellenden Koordinatenvektoren.

Mit anderen Worten: Der Tensorraum ${\displaystyle V\otimes W}$ wird von den linear unabhängigen Elementen ${\displaystyle v_{i}\otimes w_{j}}$, die zunächst nur als Symbole begriffen werden, über dem Grundkörper ${\displaystyle K}$ frei erzeugt (vgl. die Artikel Direkte Summe und (allgemeiner) Produkt und Koprodukt):

${\displaystyle V\otimes W:=\bigoplus _{(i,j)\in I\times J}K\cdot (v_{i}\otimes w_{j})}$.

Definition der bilinearen Abbildung durch explizite Festlegung auf Erzeugenden

Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ definieren, das mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren ${\displaystyle v_{i}\in {\underline {v}}\subset V}$ und ${\displaystyle w_{j}\in {\underline {w}}\subset W}$ gerade der Basisvektor, der mit ${\displaystyle v_{i}\otimes w_{j}\in V\otimes W}$ bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren wird nun durch bilineare Fortsetzung festgelegt:

Zwei Vektoren

${\displaystyle v=\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}\in V}$ und ${\displaystyle w=\sum _{j\in J}b_{j}w_{j}\in W}$ (wie oben auch hier: endliche Summen, da ein Grenzwertbegriff oder Konvergenzbegriff mangels topologischer Struktur nicht zur Verfügung steht)

wird das Produkt

${\displaystyle v\otimes w=\sum _{(i,j)\in I\times J}a_{i}b_{j}\cdot (v_{i}\otimes w_{j})}$

zugeordnet. Diese Summe ist ebenfalls endlich, weil fast alle Produkte ${\displaystyle a_{i}b_{j}=0\in K}$ sind, da dies schon für die Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$ und ${\displaystyle b_{j}}$ gilt. Somit ist die bilineare Abbildung ${\displaystyle \otimes }$ definiert (unter Benutzung der obigen Bezeichnungen):

${\displaystyle {\begin{matrix}\otimes \colon &V\times W&\longrightarrow &V\otimes W&&{\text{definiert durch}}\\&(v,w)&\longmapsto &v\otimes w&=&\sum _{(i,j)\in I\times J}a_{i}b_{j}\cdot (v_{i}\otimes w_{j})\;.\end{matrix}}}$

Tensoren, die sich in der Gestalt ${\displaystyle v\otimes w}$ mit einem geeigneten Paar ${\displaystyle (v,w)\in V\times W}$ darstellen lassen, heißen elementare oder einfache Tensoren. Im Allgemeinen sind Tensoren jedoch keine elementaren Tensoren, sondern benötigen eine Summendarstellung (wie oben dargestellt) mit mehr als einem Summanden: Die elementaren Tensoren erzeugen den gesamten Tensorproduktraum.

Eigenschaften

Im Folgenden werden einige Eigenschaften zusammengestellt, die für das Tensorprodukt wesentlich sind.

Bilinearität

Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten (gemäß der obigen Konstruktion durch die bilineare Fortsetzung) folgende Rechenregeln für alle ${\displaystyle v,v',v''\in V}$ und ${\displaystyle w,w',w''\in W}$ sowie ${\displaystyle \lambda \in K}$:

Mit anderen Worten: Die Abbildung ${\displaystyle \otimes \colon V\times W\to V\otimes W}$; ${\displaystyle (v,w)\mapsto v\otimes w}$ ist ${\displaystyle K}$-bilinear, das heißt in jeder der beiden Komponenten, während die andere unverändert bleibt, linear. (Das soll nicht überraschen, denn sie wurde durch bilineare Fortsetzung gewonnen.)

Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze, was den Namen Tensorprodukt motiviert.

Dimensionsformel

Die Dimensionsformel wurde bereits erwähnt: ${\displaystyle \dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W}$.

Kommutativität nicht gegeben

Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für ${\displaystyle v\in V,w\in W}$ gehören die Tensoren

${\displaystyle v\otimes w\in V\otimes W}$ und ${\displaystyle w\otimes v\in W\otimes V}$

nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ identisch sind. Jedoch sind auch in diesem Fall die Tensoren ${\displaystyle v\otimes w}$ und ${\displaystyle w\otimes v}$ im Allgemeinen verschieden: Siehe dazu Beispiele im Abschnitt über die Realisierung von Tensoren als Homomorphismen und im Abschnitt zum Kronecker-Produkt im endlichdimensionalen Fall.

Beachte: Es ist kein Widerspruch, dass dennoch ein natürlicher Isomorphismus von Vektorräumen besteht, der durch die Vertauschung definiert wird:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}V\otimes W&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&W\otimes V\\\sum _{k}v_{k}\otimes w_{k}&\longmapsto &\sum _{k}w_{k}\otimes v_{k}\end{array}}}$

Elementare Tensoren als Erzeugende

Tensoren der einfachen Gestalt ${\displaystyle v\otimes w}$ heißen elementare oder einfache oder reine Tensoren. Keineswegs hat jeder Tensor diese Gestalt: Allgemeine Tensoren sind – gemäß obiger Konstruktion – eine Linearkombination (eine endliche Summe) elementarer Tensoren. Dabei genügt es sogar, sich auf die elementaren Tensoren ${\displaystyle v_{i}\otimes w_{j}}$ zu beschränken, die von den Ausgangsbasen ${\displaystyle {\underline {v}}}$ und ${\displaystyle {\underline {w}}}$ herrühren, wie bereits im Rahmen der Konstruktion erwähnt wurde und auch aus den Rechenregeln ableitbar ist.

Rang von Tensoren

Ein allgemeiner Tensor hat also die Gestalt ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}c_{ij}\;v_{i}\otimes w_{j}}$ mit einer Koeffizientenmatrix ${\displaystyle C=(c_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}}$, die Bezug nimmt auf eine Basis ${\displaystyle {\underline {v}}=(v_{i})_{i=1,\dots ,m}}$ von ${\displaystyle V}$ und eine Basis ${\displaystyle {\underline {w}}=(w_{j})_{j=1,\dots ,n}}$ von ${\displaystyle W}$. Man weist einem Tensor einen Rang zu, nämlich den Rang seiner Koeffizientenmatrix: Dieser Tensor hat also den Rang ${\displaystyle \operatorname {rang} (C)}$. Der Rang hängt (nach dem Elementarteilersatz) nicht von der Basiswahl in den Räumen ${\displaystyle V,W}$ ab. (Das gilt auch für das Tensorprodukt von Moduln über Hauptidealringen.) Dass der Begriff des Ranges eines Tensors mit dem Rang eines Homomorphismus bzw. einer Matrix übereinstimmt, sobald man Letztere als Tensor begreift, zeigt der Abschnitt über die Darstellungsmatrix eines Homomorphismus als Koeffizientenmatrix des zugehörigen Tensors.

Der Rang eines Tensors ist die minimale Anzahl von Summanden, die zu seiner Darstellung als Linearkombination ${\displaystyle \sum _{\mu ,\nu }a_{\mu \nu }\;x_{\mu }\otimes y_{\nu }}$ einfacher Tensoren ${\displaystyle x_{\mu }\otimes y_{\nu }}$ (mit ${\displaystyle x_{\mu }\in V}$ und ${\displaystyle y_{\nu }\in W}$) erforderlich ist. (Da ja nur endliche Linearkombinationen betrachtet werden, gibt es nach dem Satz vom kleinsten Element eine solche minimale Anzahl von Summanden.)

Elementare oder einfache oder reine Tensoren (ungleich null, scil.) sind also genau die Tensoren vom Rang 1.^{[Anm 5]}

Lineare Fortsetzung von Abbildungen auf elementaren Tensoren

Die Tatsache, dass der Tensorproduktraum ${\displaystyle V\otimes W}$ von den elementaren Tensoren über ${\displaystyle K}$ linear erzeugt wird, hat ein wichtiges Prinzip zur Folge, das die Definition linearer Abbildungen betrifft. Es bezeichne ${\displaystyle Y}$ einen ${\displaystyle K}$-Vektorraum und ${\displaystyle L(V\otimes W,Y)}$ den Raum aller linearer Abbildungen ${\displaystyle V\otimes W\to Y}$.

Das Prinzip besagt:

Um eine lineare Abbildung ${\displaystyle f\in L(V\otimes W,Y)}$ wohl zu definieren, genügt es, sie auf elementaren Tensoren festzulegen. Es genügt sogar die Bilder ${\displaystyle f(v_{i}\otimes w_{j})}$ der elementaren Tensoren ${\displaystyle v_{i}\otimes w_{j}}$ anzugeben. Die Abbildung ${\displaystyle f}$, die bis dato erst eine Abbildung ${\displaystyle f\colon \{v_{i}\otimes w_{j}\mid i,j\}\to Y}$ ist, kann dann auf den gesamten Tensorraum ${\displaystyle V\otimes W}$ linear fortgesetzt werden, und zwar auf eindeutige Weise, und ist dadurch wohldefiniert.

Mit anderen Worten: Die Restriktionsabbildung

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {restr} \colon L(V\otimes W,Y)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\mathrm {Abb'} (\{v_{i}\otimes w_{j}\mid (i,j)\in I\times J\},Y)\cong Y^{(I\times J)}\\{\text{definiert durch:}}\quad f&\longmapsto &f\mid _{I\times J}\,,\end{matrix}}}$

die eine lineare Abbildung auf die Menge der Erzeugenden einschränkt, ist ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung wird gerade durch die lineare Fortsetzung geliefert.

Dabei mögen die beiden Notationen ${\displaystyle \mathrm {Abb'} (M,Y)=Y^{(M)}}$ die Menge aller Abbildungen von einer Menge ${\displaystyle M}$ in eine Gruppe ${\displaystyle Y}$ (hier: Vektorraum) bezeichnen, deren Werte an fast allen („${\displaystyle \forall '}$“) Stellen ${\displaystyle x\in M}$ verschwindet: ${\displaystyle \forall 'x\colon f(x)=0\in Y}$.

Anmerkung: Dieses Prinzip ist gerade diejenige universelle Eigenschaft, die gemäß der oben stehenden (oder der unten stehenden allgemeinen) Konstruktion des Tensorproduktraums als des freien abelschen Erzeugnisses ${\displaystyle X:=K^{(B)}}$ einer Menge ${\displaystyle B}$ (für das Tensorprodukt wurde ${\displaystyle B=I\times J\cong {\underline {v}}\times {\underline {w}}}$ gewählt) über dem Körper ${\displaystyle K}$ mit sich bringt und allgemein so formuliert wird:

Ist ${\displaystyle B}$ eine Menge und ${\displaystyle \iota \colon B\subset X}$ eine injektive Abbildung (Inklusion) in die Menge der Vektoren eines Vektorraums ${\displaystyle X}$, so heißt ${\displaystyle X}$ das frei abelsche (lineare) Erzeugnis von ${\displaystyle B}$ über dem Körper ${\displaystyle K}$, wenn es zu jeder Abbildung ${\displaystyle \eta \colon B\to Y}$ in die Menge von Vektoren eines anderen Vektorraumes ${\displaystyle Y}$ mit ${\displaystyle \eta (\beta )\neq 0}$ für nur endlich viele ${\displaystyle \beta \in B}$ (mit anderen Worten: zu jeder Abbildung ${\displaystyle \eta \in \mathrm {Abb'} (B,Y)}$) eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\displaystyle {\tilde {\eta }}}$ mit ${\displaystyle {\tilde {\eta }}=\iota ^{*}(\eta )=\eta \circ \iota }$ von Vektorräumen gibt.

Äquivalent ist die Forderung, dass folgende Abbildung ${\displaystyle \mathrm {restr} _{B}:=\iota ^{*}}$ (die Restriktion auf die Inklusion) ein Isomorphismus ist:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {restr} _{B}\colon L(X,Y)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\mathrm {Abb'} (B,Y)\cong Y^{(B)}\\{\text{definiert durch:}}\quad f&\longmapsto &f\mid _{B}\,,\end{matrix}}}$

In der Sprache der Kategorientheorie zeigt dies, dass der Vergissfunktor und der Funktor der freien Erzeugung zueinander adjungiert sind, wie hier für abelsche Gruppen erklärt wird.

Spätestens an dieser Stelle wird deutlich: Wie ein Vektorraum durch die Menge seiner Basiselemente aufgespannt wird, so wird der Tensorproduktraum von Vektorräumen durch das kartesische Produkt ihrer jeweiligen Basen aufgespannt. Eine im Sinne der Kategorientheorie abstrakte Fassung dieses Gedankens wird im Yoneda-Lemma durch die Darstellbarkeit formuliert.

Universelle Eigenschaft

Damit wird deutlich, dass das auf diese Weise konstruierte Tensorprodukt

${\displaystyle \otimes \colon V\times W\to V\otimes W}$

unter allen bilinearen Abbildungen

${\displaystyle V\times W\to Y}$ in einen beliebigen Vektorraum ${\displaystyle Y}$

eine besondere Eigenschaft hat. Es ist nämlich universell in dem Sinne, dass jede bilineare Abbildung lediglich ein lineares Abbild des Tensorprodukts ist, soll heißen:

Ist ${\displaystyle \psi \colon V\times W\to Y}$ eine bilineare Abbildung in einen ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle Y}$, so kann ${\displaystyle \psi }$ aus ${\displaystyle \otimes }$ durch Anhängen einer (sogar eindeutig bestimmten) linearen Abbildung ${\displaystyle {\tilde {\psi }}\colon V\otimes W\to Y}$ gewonnen werden. Dazu muss sie – wie soeben beschrieben – nur auf den elementaren Tensoren ${\displaystyle v\otimes w}$ durch ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(v\otimes w):=\psi (v,w)}$ definiert werden.

Es genügt also, das Tensorprodukt zu kennen, um alle bilinearen Abbildungen durch (uni)lineare Abbildung zu gewinnen. Somit birgt das Tensorprodukt alle Informationen für bilineare Abbildungen.

Die universelle Eigenschaft ist sogar geeignet, das Tensorprodukt hinreichend zu kennzeichnen: Dies geschieht durch die Universaldefinition, die koordinatenfrei, also basisunabhängig formuliert ist.

Beispiel: Kronecker-Produkt bei endlicher Dimension

Haben die Vektorräume ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ endliche Dimension über ${\displaystyle K}$, sind also ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ endliche Mengen der Mächtigkeit ${\displaystyle m=\dim V}$ bzw. ${\displaystyle n=\dim W}$, so ist der Tensorproduktraum ${\displaystyle V\otimes W}$ offenbar mit dem ${\displaystyle (mn)}$-dimensionalen Raum ${\displaystyle K^{(m\cdot n)}}$ zu identifizieren. Wie aber sieht diese Identifikation aus? Aus der obigen Definition geht hervor, dass der Tensorproduktraum nur bis auf Isomorphie bestimmt ist. Dies soll an diesem Beispiel illustriert werden, indem verschiedene Möglichkeiten der Identifikation vorgestellt werden. Dadurch soll verdeutlicht werden, dass es nicht genügt, unter dem Tensorprodukt lediglich das Produkt zweier Räume zu verstehen, sondern es muss zusätzlich angegeben werden, wie das Produkt ${\displaystyle v\otimes w}$ zweier Vektoren definiert sein soll. Zwar ist es üblich, vom Tensorprodukt von Vektorräumen zu sprechen, aber es wäre besser, vom Tensorprodukt auf Vektorräumen zu sprechen, einer „Multiplikation“ von Vektoren, deren Ergebnis in einem neuen Raum liegt, eben dem Tensorproduktraum. Zu diesem Zweck sei der Einfachheit halber direkt in die Koordinatenräume übergangen: ${\displaystyle V:=K^{m}}$ und ${\displaystyle W:=K^{n}}$.

• Identifikation von ${\displaystyle K^{(m\cdot n)}}$ mit einem Vektorraum von Matrizen

Die Zeilen werden mit dem Basisindex ${\displaystyle i\in I=\{1,\dotsc ,m\}}$ von ${\displaystyle V}$ nummeriert, die Spalten mit dem Basisindex ${\displaystyle j\in J=\{1,\dotsc ,n\}}$ von ${\displaystyle W}$. Das Tensorprodukt zweier Vektoren ${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\in V}$ und ${\displaystyle w=\sum _{j=1}^{n}b_{j}w_{j}\in W}$ ist die Matrix ${\displaystyle (a_{i}b_{j})_{i\in I,j\in J}}$: Ihr Eintrag an der Stelle ${\displaystyle (i,j)}$ ist das Produkt aus der ${\displaystyle i}$-ten Koordinate von ${\displaystyle v}$ bezüglich ${\displaystyle {\underline {v}}}$ und der ${\displaystyle j}$-ten Koordinate von ${\displaystyle w}$ bezüglich ${\displaystyle {\underline {w}}}$.

Das Tensorprodukt lautet in diesem Falle ${\displaystyle v\otimes w:=(a_{i}b_{j})_{i\in I,j\in J}}$ und liefert ${\displaystyle (m\times n)}$-Matrizen.

• Identifikation von ${\displaystyle K^{m}\times K^{n}\to K^{(m\cdot n)}}$ mit dem üblichen Kronecker-Produkt

Für zwei Vektoren

${\displaystyle v:={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle w:={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}$ setze ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}(a_{1}\cdot w)\\\vdots \\(a_{m}\cdot w)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\\vdots \\a_{1}b_{n}\end{pmatrix}}\\\vdots \\{\begin{pmatrix}a_{m}b_{1}\\\vdots \\a_{m}b_{n}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}}$

In der Sprache der Matrizen heißt diese Konstruktion auch dyadisches Produkt der Koordinatenvektoren und ordnet sich dem Kronecker-Produkt von Matrizen unter.

Dies Produkt ist bilinear, jedoch nicht kommutativ, denn Vertauschung der Faktoren führt zu einer Permutation der Bild-Koordinaten.

• Identifikation von ${\displaystyle K^{m}\times K^{n}\to K^{(m\cdot n)}}$ mit dem opponierten Kronecker-Produkt

Ebenso gut ließe sich auch umgekehrt (vgl. Artikel Gegenring) definieren:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}{\stackrel {op}{\otimes }}{\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}(v\cdot b_{1})\\\vdots \\(v\cdot b_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\\vdots \\a_{m}b_{1}\end{pmatrix}}\\\vdots \\{\begin{pmatrix}a_{1}b_{n}\\\vdots \\a_{m}b_{n}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}}$

Auch dieses Tensorprodukt ist bilinear.

Diese Beispiele sollen verdeutlichen, dass das Tensorprodukt von Vektoren nur bis auf Isomorphie bestimmt ist: Die obigen Tensorprodukte sind nicht gleich, aber isomorph, und dies, obwohl die Tensorprodukträume gleich sind.

Erweiterung der Skalare

Ist ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle L}$ ein Erweiterungskörper von ${\displaystyle K}$, so kann man das Tensorprodukt

${\displaystyle V_{L}:=V\otimes _{K}L}$

bilden, indem man auch ${\displaystyle L}$ als ${\displaystyle K}$-Vektorraum auffasst; dies wird durch ${\displaystyle \otimes _{K}}$ symbolisiert. ${\displaystyle V_{L}}$ wird zu einem Vektorraum über ${\displaystyle L}$, wenn man

${\displaystyle \lambda \cdot (v\otimes \mu ):=v\otimes (\lambda \mu )\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ v\in V,\,\lambda ,\mu \in L}$

setzt. Die Dimension von ${\displaystyle V_{L}}$ als ${\displaystyle L}$-Vektorraum ist gleich der Dimension von ${\displaystyle V}$ als ${\displaystyle K}$-Vektorraum: Ist ${\displaystyle B}$ eine ${\displaystyle K}$-Basis von ${\displaystyle V}$, so bildet die Menge

${\displaystyle \{b\otimes 1\,|\,b\in B\}}$

eine ${\displaystyle L}$-Basis von ${\displaystyle V_{L}}$.

Allgemeiner lässt sich aus der obigen konstruktiven Definition des Tensorprodukts ableiten, dass

${\displaystyle V\otimes W{\stackrel {\text{def}}{=}}\bigoplus _{(i,j)\in I\times J}K\cdot (v_{i}\otimes w_{j})=\bigoplus _{i\in I}\left(v_{i}\otimes W\right)=\bigoplus _{j\in J}\left(V\otimes w_{j}\right)\,.}$

Mit anderen Worten: Das Tensorprodukt ist einerseits die direkte Summe von Unterräumen ${\displaystyle v_{i}\otimes W\,(i\in I)}$ und andererseits von Unterräumen ${\displaystyle V\otimes w_{j}\,(j\in J)}$, also unabhängig von der Wahl der Basen in ${\displaystyle V}$ und in ${\displaystyle W}$.^[2]

Tatsächlich löst sich die folgende Universaldefinition gänzlich vom Bezug auf die Basen, ist allerdings auch nicht mehr konstruktiv. Eine basisunabhängige (koordinatenfreie) Konstruktion zeigt der Artikel über das Tensorprodukt von Moduln, siehe auch den gleichnamigen Abschnitt in diesem Artikel.

Universaldefinition

Bisher wurde nicht auf die Frage eingegangen, auf welche Weise der mit ${\displaystyle V\otimes W}$ bezeichnete Vektorraum ohne Bezugnahme auf vorgegebene Basen der beiden Vektorräume beschrieben werden kann. Dies soll nun anhand der Universaldefinition geschehen, die diesen Vektorraum allein anhand der universellen Eigenschaft eindeutig – bis auf Isomorphie – kennzeichnet. Allerdings war dies auch schon in der obigen Definition der Fall, da dort lediglich verlangt wurde, dass ${\displaystyle V\otimes W}$ eine Basis haben solle, die umkehrbar eindeutig mit den Paaren ${\displaystyle (v_{i},w_{j})}$ von Basisvektoren aus ${\displaystyle V}$ bzw. ${\displaystyle W}$ identifizierbar sei. Tatsächlich darf man sich – zumindest aus mathematischer Sicht – das Tensorprodukt zweier Vektoren nicht als ein „durch Multiplikation errechenbares“ Produkt in einem unverrückbar festgelegten Produktraum vorstellen. Vielmehr kann es verschiedene „Realisierungen“ geben. Beachte: Selbst beim Aufbau des Zahlensystems, für die vertrauten natürlichen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen, gibt es verschiedene, lediglich äquivalente Beschreibungsweisen. Immerhin stellt das Kronecker-Produkt ein konkretes (da koordinatengebundenes) Beispiel dar (siehe den zugehörigen gleichnamigen Abschnitt). Wesentlich und allen Realisierungen gemeinsam sind jedoch Eigenschaften, die das Tensorprodukt als solches eindeutig charakterisieren. Dies ist der Inhalt der folgenden universellen Eigenschaft des Tensorprodukts. Dabei müsste man also streng genommen nicht von dem Tensorprodukt sprechen, sondern von einem Tensorprodukt oder von einer Realisierung des Tensorprodukts. Das ist aber nicht üblich, stattdessen wird die Identifikation isomorpher Realisierungen stillschweigend unterstellt – ganz so, wie man es bei Zahlen schließlich auch tut.

Einige vorbereitende Festlegungen vorab: Es seien also ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ sowie ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Vektorräume über dem Körper ${\displaystyle K}$. Der Vektorraum der linearen Abbildungen von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle X}$ sei mit ${\displaystyle L(V,X)}$ bezeichnet, und der Vektorraum der bilinearen Abbildungen ${\displaystyle V\times W\to X}$ werde mit ${\displaystyle L^{2}(V,W;X)}$ bezeichnet.

Allgemein gilt nun: Ist eine bilineare Abbildung ${\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}$ gegeben, so ist für jeden Vektorraum ${\displaystyle Y}$ die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \colon L(X,Y)&\longrightarrow L^{2}(V,W;Y)\\f&\longmapsto [f\circ \phi \colon (v,w)\mapsto f(\phi (v,w))]\end{aligned}}}$

ein Homomorphismus.

Zur Erklärung:

Es ist leicht zu nachzuprüfen, dass für jede lineare Abbildung ${\displaystyle f\in L(X,Y)}$ das Kompositum ${\displaystyle f\circ \phi }$ bilinear ist. Die obige Abbildung ${\displaystyle \Phi }$ ist also wohldefiniert. Sie ist zudem ein Vektorraum-Homomorphismus (also eine lineare Abbildung).

Definition: Als Tensorprodukt der ${\displaystyle K}$-Vektorräume ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ wird jeder ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle X}$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung ${\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}$ bezeichnet, der die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Jede bilineare Abbildung ${\displaystyle \psi \colon V\times W\to Y}$ in einen ${\displaystyle K}$-Vektorraum ${\displaystyle Y}$ faktorisiert linear eindeutig über ${\displaystyle \phi }$, das heißt:

Es gibt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\displaystyle {\tilde {\psi }}\colon X\to Y}$ gibt, sodass gilt: ${\displaystyle \psi ={\tilde {\psi }}\circ \phi }$, das heißt:

Für beliebige Paare ${\displaystyle (v,w)\in V\times W}$ von Vektoren gilt dann: ${\displaystyle \psi (v,w)={\tilde {\psi }}(\phi (v,w))}$.

Man notiert dann ${\displaystyle V\otimes W:=X}$ und versteht darunter den – bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten – Vektorraum ${\displaystyle X}$.

Die (zum Tensorprodukt gehörige) bilineare Abbildung ${\displaystyle \phi }$ wird als ${\displaystyle \phi (v,w)=:v\otimes w}$ notiert. Es ist wichtig zu beachten, dass diese wesentlicher Bestandteil des Tensorproduktes ist: Einen Tensorproduktraum ${\displaystyle X=V\otimes W}$ zu betrachten, ohne zu wissen, welche bilineare Abbildung ${\displaystyle \phi \colon (v,w)\mapsto \phi (v,w)=v\otimes w}$ als „Produkt“ in ihn führt, ist sinnlos.

Bemerkung: Gibt es eine bilineare Abbildung ${\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}$ in einen Vektorraum ${\displaystyle X}$ mit dieser universellen Eigenschaft, so ist ${\displaystyle X}$ bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Zur Erklärung:

Nutzt man nämlich die universelle Eigenschaft für ${\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}$ gegenüber ${\displaystyle \chi }$ und ebenso – mit vertauschten Rollen – für ${\displaystyle \chi \colon V\times W\to Z}$ gegenüber ${\displaystyle \phi }$, so erhält man zwei Homomorphismen ${\displaystyle {\tilde {\chi }}\in L(X,Z)}$ bzw. ${\displaystyle {\tilde {\phi }}\in L(Z,X)}$ mit ${\displaystyle \chi ={\tilde {\chi }}\circ \phi }$ und ${\displaystyle \phi ={\tilde {\phi }}\circ \chi }$. Also sind beide zueinander invers: ${\displaystyle \forall x\in X\colon {\tilde {\chi }}\circ {\tilde {\phi }}(x)=x}$. Daher sind zwei Realisierungen des Tensorproduktes zueinander isomorph.^[3]

Notabene: Hierbei ist wesentlich zu beachten, dass die Isomorphie sich nicht nur auf die beiden Räume ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Z}$ als Vektorräume bezieht: Vielmehr beziehen die beiden zueinander inversen Isomorphismen die jeweiligen bilinearen Abbildungen ein, indem sie auch sie aufeinander abbilden. Hieran wird deutlich, dass das Tensorprodukt zweier Vektorräume nicht lediglich als ein neuer Vektorraum verstanden werden darf. In Wahrheit bewegt sich das Tensorprodukt also nicht in der Kategorie der Vektorräume, sondern in der Kategorie der bilinearen Abbildungen ${\displaystyle \psi \colon V\times W\to [??]}$. Darin bildet ${\displaystyle \otimes \colon V\times W\to V\otimes W}$ ein initiales oder Anfangsobjekt, weil jede bilineare Abbildung ${\displaystyle \psi }$ über die bilineare Abbildung ${\displaystyle \phi }$ eindeutig faktorisiert. Am zugehörigen Diagramm spiegelt sich diese Tatsache darin wider, dass es ein Dreieck ist: Beide bilinearen Abbildungen erscheinen darin, und es kommutiert: Es geht nicht allein um einen Isomorphismus ${\displaystyle X\cong Z}$, sondern um einen Isomorphismus, der mit den bilinearen Abbildungen ${\displaystyle \phi ,\psi }$ verträglich ist. Aus diesen Gründen sollte man unter der Begrifflichkeit „Tensorprodukt“ nicht den Produktraum ${\displaystyle V\otimes W}$ zu verstehen suchen, sondern eine universelle bilineare Abbildung ${\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}$ in eine geeignete Realisierung. „Produkt“ steht also nicht für ein Produkt von Räumen, sondern für ein Produkt auf Räumen (in einen anderen Raum), für eine Multiplikation, eben eine bilineare Abbildung, die im Übrigen nicht kommutativ ist.

Vor dem Hintergrund der eingangs gemachten Anmerkung über die Abbildung ${\displaystyle \Phi }$ lässt sich die Universaldefinition nun auch so formulieren:

Äquivalente Definition: Der Vektorraum ${\displaystyle X}$ und eine bilineare Abbildung ${\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}$ werden als Tensorprodukt von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ bezeichnet, wenn für jeden Vektorraum ${\displaystyle Y}$ die Abbildung ${\displaystyle \Phi \colon L(X,Y){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}L^{2}(V,W;Y)}$ induziert vermöge ${\displaystyle f\longmapsto [(v,w)\mapsto f(\phi (v,w))]}$ bijektiv, mithin also ein Isomorphismus ist. Man schreibt dann auch ${\displaystyle V\otimes W:=X}$ und ${\displaystyle v\otimes w:=\phi (v,w)}$.

Zur Erklärung:

Es bleibt lediglich noch nachzuweisen, dass die Bijektivität von ${\displaystyle \Phi }$ mit der Aussage der universellen Eigenschaft äquivalent ist: Diese sichert nämlich gerade zu, dass es zu jeder bilinearen Abbildung ${\displaystyle \psi \colon V\times W\to Y}$ eine lineare Abbildung ${\displaystyle {\tilde {\psi }}\in L(V\otimes W,Y)}$ gibt (Existenzaussage), sodass ${\displaystyle \psi ={\tilde {\psi }}\circ \phi =\Phi ({\tilde {\psi }})}$, und dass diese Abbildung ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ zudem eindeutig bestimmt (Eindeutigkeitsaussage) ist. Die Existenzaussage ist mit der Surjektivität, die Eindeutigkeitsaussage mit der Injektivität von ${\displaystyle \Phi \colon {\tilde {\psi }}\mapsto \psi }$ äquivalent. Also besagt die universelle Eigenschaft gerade, dass der Homomorphismus ${\displaystyle \Phi }$ ein Isomorphismus ist.

Hinweis: Zwar ist der Homomorphismus ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$ zunächst nur auf jedem elementaren Tensor ${\displaystyle v\otimes w\in V\otimes W}$ durch ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(v\otimes w)=\psi (v,w)}$ festgelegt. Durch lineare Fortsetzung ist ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$ damit jedoch auf dem gesamten Tensorraum ${\displaystyle V\otimes W}$ wohldefiniert, wie im Abschnitt über die Fortsetzbarkeit von Abbildungen auf elementaren Tensoren zu Homomorphismen auf dem Tensorraum erklärt wurde.

Wenn es also einen Vektorraum mit der universellen Eigenschaft gibt, so ist er – eben aufgrund der universellen Eigenschaft – nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Allerdings lässt die Universaldefinition die Frage offen, ob es überhaupt einen Vektorraum mit diesen Eigenschaften gibt. Um also die Existenz eines solchen Vektorraumes sicherzustellen, muss entweder ein solcher Vektorraum konstruiert werden oder aber „zufällig“ ein solcher Vektorraum „gefunden“ werden. Einen Existenzbeweis durch Konstruktion führt (in einem allgemeineren Falle) der Artikel Tensorprodukt von Moduln aus: Dazu wird zunächst ein zu großer Vektorraum konstruiert, der anschließend nach einem Unterraum faktorisiert wird, sodass der Quotientenraum „erzwungenermaßen“ genau die gewünschten Eigenschaften hat.

Die Universaldefinition zeigt (nämlich für ${\displaystyle Y=K}$) einen Weg zu einer Realisierung des Tensorproduktes auf: Dieser Gedanke wird im Abschnitt Natürliche Homomorphismen berührt und im Abschnitt Homomorphismen als Tensoren vertieft. Darin wird ein Vektorraum benannt, von dem sich (mit Hilfe der universellen Eigenschaft) recht leicht erkennen lässt, dass er die gewünschte universelle Eigenschaft des Tensorraums ${\displaystyle V\otimes W}$ hat. Dieses Vorgehen gelingt allerdings nur für den Fall, dass ${\displaystyle V}$ oder ${\displaystyle W}$ endliche Dimension über ihrem Grundkörper ${\displaystyle K}$ haben, weil Eigenschaften des Dualraumes genutzt werden, die eben die endliche Dimension als Voraussetzung benötigen.

Der triviale eindimensionale Fall

Ein Seitenblick möge zeigen, wie der Fall ${\displaystyle V=K=W}$ das Tensorprodukt „trivialisiert“: Dabei zeigt sich, dass sich die Situation ganz analog zu den (uni)linearen Abbildungen aus der elementaren linearen Algebra verhält. Einzig bemerkenswert ist, dass die Kommutativität des Grundkörpers eine Rolle spielt, im Gegensatz zum linearen Fall.

Der Skalarkörper bildet über sich selbst in natürlicher Weise einen eindimensionalen Vektorraum. Für eine bilineare Abbildung ${\displaystyle \psi \colon K\times K\to Y}$ und beliebige Körperelemente ${\displaystyle x,y\in K}$ gilt

${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (x\cdot 1,y\cdot 1)=xy\cdot \psi (1,1)\in Y\;.}$

NB: Man beachte, wie hierbei fast unbemerkt die Kommutativität des Körpers eingeht.

Also ist eine bilineare Abbildung ${\displaystyle \psi \colon K\times K\to Z}$ bereits durch den Wert von ${\displaystyle \psi (1,1)}$ festgelegt, und bis auf diesen Wert (als Faktor) ist sie mit der Körpermultiplikation identisch: Die Eigenschaften der Bilinearität gehen in die Distributivität der Multiplikation über, im Verbund mit der Assoziativität und der Kommutativität: ${\displaystyle \lambda (xy)=(\lambda x)y=x(\lambda y)}$.