Teilersumme

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.[1]

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also .

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Definitionen

Definition 1: Summe aller Teiler

Sind alle Teiler der natürlichen Zahl , so nennt man die Teilersumme von . Dabei sind 1 und selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

.

Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl ist die Summe der Teiler von ohne die Zahl selbst.

Beispiel:

.

Es gilt die Beziehung

.

Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine natürliche Zahl heißt

defizient oder teilerarm, wenn ,
abundant oder teilerreich, wenn ,
vollkommen, wenn .[2]

Beispiele:

, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
, d. h. 12 ist abundant.
, d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der Teilersumme

Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Für jede Primzahl gilt

.

Beweis: Per Definition hat nur die Teiler und . Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei eine Primzahl und . Dann gilt für die Potenz :

.

Beweis: Da eine Primzahl ist, hat nur die Teiler . Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

Seien und verschiedene Primzahlen. Dann gilt

.

Beweis: Die Zahl besitzt genau die Teiler und . Daraus folgt

.

Beispiel:

Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen

Sind und teilerfremde Zahlen, so gilt

.[3]

Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.

Beispiel:

Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl

Sei mit der Primfaktorzerlegung . Dann gilt

.[4]

Beispiel:

Satz von Thabit

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine natürliche Zahl seien und .

Wenn , und Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen und befreundet, d. h. und .

Beweis

Analog zeigt man .

Teilersumme als endliche Reihe

Für jede natürliche Zahl kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von explizit Bezug genommen wird:

Beweis: Die Funktion

wird 1, wenn ein Teiler von ist, ansonsten bleibt sie Null.

Sei nämlich ein Teiler von . Dann ist der Quotient ganzzahlig, somit ist gleich 1. Die Summation über ergibt , woraus folgt.

Sei nun kein Teiler von . Es gilt dann

Damit ist gezeigt, dass genau dann gleich 1 ist, wenn ein Teiler von ist, und ansonsten verschwindet.

Multipliziert man jetzt mit und summiert das Produkt über alle Werte bis , so entsteht nur dann ein Beitrag zur Summe, wenn ein Teiler von ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

deren Spezialfall die einfache Teilersumme ist.

Siehe auch

Literatur

  • József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9.
  • Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0.
  • Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, NY (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli).
  • Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichte, Algorithmen. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07170-7.
  • József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7.

Einzelnachweise

  1. Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 35.
  2. Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 37.
  3. Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 36.
  4. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1, S. 239.