Teilerfunktion

In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet.^[1] Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben ${\displaystyle \sigma }$ bezeichnet.

Definition

Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ ist definiert:

${\displaystyle \!\ \sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k}}$.

Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von ${\displaystyle n}$, einschließlich ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle n}$. Beispielsweise ist demnach ${\displaystyle \sigma _{2}(6)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+6^{2}=50.}$

Spezialisierungen

• ${\displaystyle d:=\sigma _{0}}$ ist die Teileranzahlfunktion,
• ${\displaystyle \sigma :=\sigma _{1}}$ ist die Teilersumme.

Eigenschaften

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ₁

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ₂

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ₃

• ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde ${\displaystyle n,m}$ gilt: ${\displaystyle \sigma _{k}(n\cdot m)=\sigma _{k}(n)\cdot \sigma _{k}(m)}$.
• Hat ${\displaystyle n}$ die Primfaktorzerlegung ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}{p_{i}^{e_{i}}}}$, so ist
  • ${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{e_{i}}{p_{i}^{jk}}}$,
  • ${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{k(e_{i}+1)}-1}{p_{i}^{k}-1}}}$ für ${\displaystyle k>0}$, und für  ${\displaystyle k=0}$ gilt: ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(e_{i}+1)}$.
• Die durchschnittliche Größenordnung von ${\displaystyle \sigma _{k}}$ für ${\displaystyle k>0}$ ist ${\displaystyle \sigma _{k}(n)\sim \zeta (k+1)n^{k}}$, mit der Riemannschen Zetafunktion ${\displaystyle \zeta (s)}$.^[2]
• Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion ${\displaystyle d(n):=\sigma _{0}(n)}$ ist ${\displaystyle \ln n}$. Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \sum _{x\leq n}d(x)=n\ln n+(2C-1)n+O({\sqrt {n}})}$.

Reihenformeln

Speziell für ${\displaystyle \sigma _{0}}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{0}(i)=\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor }$

Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor }$ schreibt: Wenn man nun ${\displaystyle n}$ durch ${\displaystyle n+1}$ substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die ${\displaystyle n+1}$ teilen.

Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)^[3]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)}$  für  ${\displaystyle s>1,\;s>a+1,}$

was speziell für d(n) = σ₀(n) ergibt:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)}$  für  ${\displaystyle s>1}$

und (S. 292, Satz 305)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.}$

Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{a}(n)q^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }n^{a}q^{kn}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{a}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

für beliebiges komplexes |q| ≤ 1 und a.

Die Teilerfunktion lässt sich für ${\displaystyle k>0}$ mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:^[4]

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$

Die Berechnung der ersten Werte von ${\displaystyle c_{m}(n)}$ zeigt das Schwanken um den "Mittelwert" ${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$:

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$

Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen

Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht ${\displaystyle k\geq 4}$, gerade, sind die Teilerfunktionen ${\displaystyle \sigma _{k-1}}$. Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:^[5]

${\displaystyle 120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m)=\sigma _{7}(n)-\sigma _{3}(n),}$

${\displaystyle 5040\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{5}(n-m)=11\sigma _{9}(n)-21\sigma _{5}(n)+10\sigma _{3}(n).}$

Quellen

1. ↑ Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).
2. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 134. 
3. ↑ Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 285, 292. 
4. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 130. 
5. ↑ Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1990, S. 140.