Tate-Shafarevich-Gruppe

In der Mathematik misst die Tate-Shafarevich-Gruppe das Scheitern des Lokal-Global-Prinzips für elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten.

Für eine über einem Zahlkörper ${\displaystyle K}$ definierte abelsche Varietät ${\displaystyle A}$ wird die Tate-Shafarevich-Gruppe mit Ш(K,A) (gesprochen: Scha) bezeichnet.

Die Tate-Shafarevich-Gruppe ist eine abelsche Torsionsgruppe. Die auf John T. Tate und Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch zurückgehende Tate-Shafarevich-Vermutung besagt, dass Ш(K,A) endlich ist.

Scheitern des Lokal-Global-Prinzips

Für quadratische Formen gilt das Lokal-Global-Prinzip: Wenn eine über den rationalen Zahlen definierte quadratische Form ${\displaystyle Q}$ Lösungen von ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$ in allen ${\displaystyle p}$-adischen Vervollständigungen (einschließlich der reellen Zahlen für ${\displaystyle p=\infty }$) hat, dann hat sie auch Lösungen in den rationalen Zahlen. Dies gilt allgemeiner auch für Zahlkörper ${\displaystyle K}$ und ihre Vervollständigungen ${\displaystyle K_{v}}$: Wenn es Lösungen in allen Vervollständigungen gibt, dann gibt es Lösungen in ${\displaystyle K}$.

Für elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten gilt dieses Prinzip nicht.

Weil sich ${\displaystyle K}$ auf einer abelschen Varietät ${\displaystyle A}$ durch die Kohomologiegruppe ${\displaystyle H^{1}(K,A)}$ beschreiben lassen, entspricht das Scheitern des Lokal-Global-Prinzips der Nicht-Injektivität von ${\displaystyle H^{1}(K,A)\to \Pi _{v}H^{1}(K_{v},A)}$, wobei das Produkt über alle Vervollständigungen ${\displaystyle K_{v}}$ gebildet wird. Man definiert deshalb die Tate-Shafarevich-Gruppe als

${\displaystyle {\mbox{Ш}}(K,A)=\mathrm {ker} (H^{1}(K,A)\to \Pi _{v}H^{1}(K_{v},A))}$.

Literatur

• Igor Shafarewitsch: The group of principal homogeneous algebraic manifolds, Doklady Akademii Nauk SSSR (russisch), 124: 42–43, 1959
• Serge Lang, John Tate: Principal homogeneous spaces over abelian varieties, American Journal of Mathematics, 80 (3): 659–684, 1958