Tangentenumlaufzahl

In der Mathematik misst die Tangentenumlaufzahl oder Tangentendrehzahl (engl.: turning number) die Anzahl der Umdrehungen einer geschlossenen Kurve.

Definition

Tangentenrichtungen

Eine geschlossene reguläre Kurve in der Ebene ist eine Abbildung

${\displaystyle c\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$

mit ${\displaystyle f^{\prime }(x)\not =(0,0)}$ für alle ${\displaystyle x}$.

Ihre Tangentenumlaufzahl ist die Umlaufzahl der Tangente als Abbildung

${\displaystyle {\dot {c}}\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}}$

in Bezug auf den Nullpunkt ${\displaystyle (0,0)}$, also die Anzahl der Umrundungen von ${\displaystyle {\dot {c}}}$ entgegen der Uhrzeigerrichtung um den Nullpunkt.

Tangentenumlaufzahl und Totalkrümmung

Die Tangentenumlaufzahl kann als die durch ${\displaystyle 2\pi }$ dividierte Totalkrümmung der Kurve

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{S^{1}}k(\theta )d\theta }$,

wobei ${\displaystyle k(\theta )}$ die Krümmung der Kurve im Punkt ${\displaystyle f(\theta )}$ bezeichnet.

Eine Kurve mit Umlaufzahl > 1 muss einen Doppelpunkt haben.

Klassifikation regulärer Kurven bis auf reguläre Homotopie

Der Satz von Whitney-Graustein besagt, dass zwei reguläre Kurven in der Ebene genau dann regulär homotop sind, wenn sie dieselbe Tangentenumlaufzahl haben.

Umlaufsatz

Der Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt, dass die Tangentenumlaufzahl einer Kurve ohne Selbstdurchdringungen 1 oder −1 sein muss.

Literatur

• Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. De Gruyter Studium, 2002. ISBN 978-3-11-022459-7