Studentsche t-Verteilung

Die studentsche t-Verteilung (auch Student-t-Verteilung oder kurz t-Verteilung) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1908 von William Sealy Gosset entwickelt^[1] und nach seinem Pseudonym Student benannt wurde.^[2]

Gosset hatte festgestellt, dass die standardisierte Schätzfunktion des Stichproben-Mittelwerts normalverteilter Daten nicht mehr normalverteilt, sondern ${\displaystyle t}$-verteilt ist, wenn die zur Standardisierung des Mittelwerts benötigte Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss. Seine ${\displaystyle t}$-Verteilung erlaubt – insbesondere für kleine Stichprobenumfänge – die Berechnung der Verteilung der Differenz vom Mittelwert der Stichprobe zum wahren Mittelwert der Grundgesamtheit.

Die ${\displaystyle t}$-Werte hängen vom Signifikanzniveau sowie von der Stichprobengröße ${\displaystyle n}$ ab und bestimmen das Vertrauensintervall und damit die Aussagekraft der Schätzung des Mittelwertes. Die ${\displaystyle t}$-Verteilung wird mit wachsendem ${\displaystyle n}$ schmaler und geht für ${\displaystyle n\to \infty }$ in die Standardnormalverteilung über (siehe Grafik rechts). Hypothesentests, bei denen die ${\displaystyle t}$-Verteilung Verwendung findet, bezeichnet man als t-Tests.

Die Herleitung wurde erstmals 1908 veröffentlicht,^[1] als Gosset in der Dubliner Guinness-Brauerei arbeitete. Da sein Arbeitgeber die Veröffentlichung nicht gestattete, veröffentlichte Gosset sie unter dem Pseudonym Student. Der t-Faktor und die zugehörige Theorie wurden erst durch die Arbeiten von R. A. Fisher belegt, der die Verteilung Student’s distribution (Student'sche Verteilung) nannte.

Die ${\displaystyle t}$-Verteilung kommt allerdings auch schon in früheren Publikationen anderer Autoren vor. Zuerst wurde sie 1876 von Jacob Lüroth als A-posteriori-Verteilung bei der Behandlung eines Problems der Ausgleichsrechnung hergeleitet, 1883 in einem ähnlichen Zusammenhang von Edgeworth^[3][4].

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ genügt der studentschen ${\displaystyle t}$-Verteilung mit ${\displaystyle n>0}$ Freiheitsgraden, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}~\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad -\infty <x<+\infty }$

besitzt. Dabei ist

${\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}\operatorname {d} t}$

die Gammafunktion. Für natürliche Zahlen ${\displaystyle n}$ gilt insbesondere (hierbei bezeichnet ${\displaystyle n!}$ die Fakultät von ${\displaystyle n}$)

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!,\quad \Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!}{n!\,4^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}.}$

Alternativ lässt sich die ${\displaystyle t}$-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden auch definieren als die Verteilung der Größe

${\displaystyle t_{n}\equiv {\frac {Z}{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}}$,

wobei ${\displaystyle Z}$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ eine von ${\displaystyle Z}$ unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden ist.

Die Verteilungsfunktion lässt sich geschlossen ausdrücken als

${\displaystyle F_{n}(t)=I\left({\frac {t+{\sqrt {t^{2}+n}}}{2{\sqrt {t^{2}+n}}}},{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}$

oder als

${\displaystyle F_{n}(t)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {t}{|t|}}I\left({\frac {t^{2}}{t^{2}+n}},{\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}}\right)\right)}$

mit

${\displaystyle I(z,a,b)={\frac {1}{B(a,b)}}\int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t,}$

wobei ${\displaystyle B}$ die Betafunktion darstellt.

${\displaystyle F_{n}(t)}$ berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gemäß ${\displaystyle f_{n}(x)}$ verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ einen Wert kleiner oder gleich ${\displaystyle t}$ erhält.

Es sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle t}$-verteilte Zufallsvariable mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden und Dichte ${\displaystyle f_{n}(x)}$.

Die Dichte besitzt Wendepunkte bei

${\displaystyle x=\pm \,{\sqrt {\frac {n}{n+2}}}.}$

Der Median ist

${\displaystyle {\tilde {x}}=0.}$

Der Modus ergibt sich zu

${\displaystyle x_{D}=0.}$

Die Studentsche ${\displaystyle t}$-Verteilung ist symmetrisch um die 0.

Für den Erwartungswert erhält man für ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=0.}$

Der Erwartungswert für ${\displaystyle n=1}$ existiert nicht.

Die Varianz ergibt sich für ${\displaystyle n>2}$ zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {n}{n-2}}.}$

Die Schiefe ist für ${\displaystyle n>3}$

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=0.}$

Für die Kurtosis-Wölbung ${\displaystyle \beta _{2}}$ und die Exzess-Wölbung ${\displaystyle \gamma _{2}}$ erhält man für ${\displaystyle n>4}$

${\displaystyle \operatorname {\beta _{2}} (X)={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\frac {3n-6}{n-4}},\qquad \operatorname {\gamma _{2}} (X)={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}-3={\frac {6}{n-4}}.}$

Für die ${\displaystyle k}$-ten Momente ${\displaystyle m_{k}=\operatorname {E} (X^{k})}$ und die ${\displaystyle k}$-ten zentralen Momente ${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} ([X-\operatorname {E} (X)]^{k})}$ gilt:

${\displaystyle m_{k}=\mu _{k}=0,{\text{ falls }}n>k{\text{ und }}k{\text{ ungerade}}}$

${\displaystyle m_{k}=\mu _{k}=n^{k/2}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\dotsm (k-1)}{(n-2)\cdot (n-4)\cdot (n-6)\dotsm (n-k)}},{\text{ falls }}n>k{\text{ und }}k{\text{ gerade}}}$

Das Integral

${\displaystyle \int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t}$

ist die unvollständige Betafunktion

${\displaystyle B(z;a,b),}$

wobei

${\displaystyle B(a,b)=B(1;a,b)}$ den Zusammenhang zur vollständigen Betafunktion herstellt. Dann ist für ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle F_{n}(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}I(z,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {B(z_{t};{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})}{B(1;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})}}}$

mit

${\displaystyle z_{t}={\frac {t^{2}}{t^{2}+n}}.}$

Wenn t gegen unendlich geht, strebt ${\displaystyle z_{t}}$ gegen 1. Im Grenzfall steht im Zähler und Nenner obigen Bruches also dasselbe, das heißt, man erhält:

${\displaystyle F_{n}(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}I(z_{t},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})\rightarrow {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}=1}$

Die Größe

${\displaystyle {\frac {Z+\delta }{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}}$

mit ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ und ${\displaystyle \delta }$ als Nichtzentralitätsparameter folgt der sogenannten nichtzentralen ${\displaystyle t}$-Verteilung.^[5] Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des β-Fehlers bei Hypothesentests mit ${\displaystyle t}$-verteilter Prüfgröße verwendet. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte lautet:^[6]

${\displaystyle f(x)={\frac {n^{n/2}n!e^{-\delta ^{2}/2}}{2^{n}\Gamma \left(n/2\right)(x^{2}+n)^{(n+1)/2}}}\left({\frac {{\sqrt {2}}\delta x}{\sqrt {x^{2}+n}}}{\frac {_{1}{\mathcal {F}}_{1}\left(n/2+1,3/2,{\frac {(\delta x)^{2}}{2(x^{2}+n)}}\right)}{\Gamma \left((n+1)/2\right)}}+{\frac {_{1}{\mathcal {F}}_{1}\left((n+1)/2,1/2,{\frac {(\delta x)^{2}}{2(x^{2}+n)}}\right)}{\Gamma \left(n/2+1\right)}}\right)}$

Die Klammer mit der Summe hypergeometrischer Funktionen lässt sich noch etwas einfacher schreiben,^[7] sodass ein kürzerer alternativer Ausdruck für die Dichte entsteht:

${\displaystyle f(x)={\frac {2^{n}n^{n/2+1}\Gamma \left((n+1)/2\right)}{\pi (x^{2}+n)^{(n+1)/2}}}e^{-\delta ^{2}/2}H_{-n-1}\left(-{\frac {\delta x}{{\sqrt {2}}{\sqrt {x^{2}+n}}}}\right),}$

wobei ${\displaystyle H_{-n-1}\left(z\right)}$ ein Hermitesches Polynom mit negativem Index darstellt mit ${\displaystyle H_{-n-1}\left(0\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n+1}\Gamma \left(n/2+1\right)}}}$.

Der Erwartungswert liegt für ${\displaystyle n>1}$ bei

${\displaystyle {\frac {\delta {\sqrt {n}}\Gamma \left((n-1)/2\right)}{{\sqrt {2}}\Gamma \left(n/2\right)}}}$

und die Varianz (für ${\displaystyle n>2}$) bei

${\displaystyle {\frac {(1+\delta ^{2})n}{n-2}}-{\frac {\delta ^{2}n\Gamma \left((n-1)/2\right)^{2}}{2\Gamma \left(n/2\right)^{2}}}.}$

Mit ${\displaystyle \delta =0}$ erhält man die Kennwerte der zentralen ${\displaystyle t}$-Verteilung.

Für ${\displaystyle n=1}$ und mit ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$ ergibt sich die Cauchy-Verteilung als Spezialfall aus der Studentschen ${\displaystyle t}$-Verteilung.

Die ${\displaystyle t}$-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Ausdruckes

${\displaystyle t_{n}\equiv {\frac {{\mathcal {N}}(0,1)}{\sqrt {\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}},}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ eine standardnormalverteilte und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden bedeutet. Die Zählervariable muss unabhängig von der Nennervariable sein. Die Dichtefunktion der ${\displaystyle t}$-Verteilung ist dann symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswertes ${\displaystyle 0}$. Die Werte der Verteilungsfunktion liegen in der Regel tabelliert vor.

Die Verteilung gehört zu den Verteilungen mit schweren Rändern.

Mit steigender Zahl von Freiheitsgraden kann man die Verteilungswerte der ${\displaystyle t}$-Verteilung mit Hilfe der Normalverteilung annähern. Als Faustregel gilt, dass ab 30 Freiheitsgraden die ${\displaystyle t}$-Verteilungsfunktion durch die Normalverteilung approximiert werden kann.

Verschiedene Schätzfunktionen sind ${\displaystyle t}$-verteilt.

Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}$ identisch normalverteilt sind mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$, kann bewiesen werden, dass der Stichprobenmittelwert

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

und die Stichprobenvarianz

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$

stochastisch unabhängig sind.

Weil die Zufallsgröße ${\displaystyle {\tfrac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$ eine Standardnormalverteilung hat und ${\displaystyle (n-1)\,S^{2}/\sigma ^{2}}$ einer Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden folgt, ergibt sich, dass die Größe

${\displaystyle t_{n-1}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sigma }}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\cdot {\frac {\sigma }{S}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}/\left({\frac {S}{\sigma }}\right)={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}/{\sqrt {\chi _{n-1}^{2}/(n-1)}}}$

nach Definition ${\displaystyle t}$-verteilt ist mit ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden.

Also ist der Abstand des gemessenen Mittelwertes vom Mittelwert der Grundgesamtheit verteilt wie ${\displaystyle t_{n-1}S/{\sqrt {n}}}$. Damit berechnet man dann das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert ${\displaystyle \mu }$ zu

${\displaystyle {\overline {x}}-t\cdot S/{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {x}}+t\cdot S/{\sqrt {n}},}$

wobei der Wert für ${\displaystyle t}$ implizit durch ${\displaystyle F_{n-1}(t)=0{,}975}$ bestimmt ist, wobei ${\displaystyle F_{n-1}}$ die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen bezeichnet, die ${\displaystyle t}$-verteilt ist mit ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden ist. Dieses Intervall ist für ${\displaystyle n<\infty }$ etwas größer als dasjenige, welches sich mit bekanntem ${\displaystyle \sigma }$ aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung bei gleichem Konfidenzniveau ergeben hätte ${\displaystyle \left(\mu \in \left[{\overline {x}}\pm 1{,}96\cdot {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]\right)}$.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der ${\displaystyle t}$-Verteilung lässt sich herleiten aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle Z}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$, die standardnormal beziehungsweise Chi-Quadrat-verteilt sind:^[8]

${\displaystyle f_{Z,\chi _{n}^{2}}(z,y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {y^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}y}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$

Mit der Transformation

${\displaystyle t=z/{\sqrt {y/n}},v=y}$

bekommt man die gemeinsame Dichte von ${\displaystyle T=Z/{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$, wobei ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ und ${\displaystyle 0\leq v<\infty }$.

Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:

${\displaystyle \det {\frac {\partial (z,y)}{\partial (t,v)}}={\begin{vmatrix}{\sqrt {\frac {v}{n}}}&0\\\Diamond &1\end{vmatrix}}={\sqrt {\frac {v}{n}}}}$

Der Wert ${\displaystyle \Diamond }$ ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also

${\displaystyle f_{T,\chi _{n}^{2}}(t,v)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}v{\frac {t^{2}}{n}}}}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}v^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}v}\cdot {\sqrt {\frac {v}{n}}}.}$

Gesucht ist nun die Randverteilung ${\displaystyle f_{n}(t)}$ als Integral über die nicht interessierende Variable ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle f_{n}(t)=\int \limits _{0}^{\infty }f_{T,\chi _{n}^{2}}(t,v)\,dv={\frac {1}{{\sqrt {n\pi }}\,2^{(n+1)/2}\Gamma (n/2)}}\int \limits _{0}^{\infty }v^{(n-1)/2}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}\,dv={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}$

Tabelliert sind ${\displaystyle t}$-Werte für verschiedene Freiheitsgrade ${\displaystyle n}$ und gebräuchliche Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle P}$ (0,75 bis 0,999), wofür gilt:

${\displaystyle P_{\text{einseitig}}=F_{n}(t)=P(T_{n}\leq t)}$

Aufgrund der Spiegelsymmetrie der Dichte braucht man für den Fall des beidseitig symmetrisch begrenzten Intervalls nur die Wahrscheinlichkeitsskala anzupassen. Dabei verringern sich die Wahrscheinlichkeiten bei gleichem ${\displaystyle t}$, denn das Integrationsintervall wird durch Wegschneiden des Bereichs von ${\displaystyle -\infty }$ bis ${\displaystyle -t}$ reduziert:

${\displaystyle P_{\text{zweiseitig}}=F_{n}(t)-F_{n}(-t)=P(-t<T_{n}\leq t)=2P_{\text{einseitig}}-1}$

Werden bei einer Stichprobe ${\displaystyle N}$ Beobachtungen durchgeführt und aus der Stichprobe ${\displaystyle m}$ Parameter geschätzt, so ist ${\displaystyle n=N-m}$ die Anzahl der Freiheitsgrade.

Zu der Anzahl von Freiheitsgraden ${\displaystyle n}$ in der ersten Spalte und dem Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ (dargestellt als ${\displaystyle 1-\alpha }$ in der zweiten Zeile) wird in jeder Zelle der folgenden Tabelle der Wert des (einseitigen) Quantils ${\displaystyle t_{n,\alpha }}$, entsprechend DIN 1319-3, angegeben. Dies erfüllt für die Dichte ${\displaystyle f_{n}}$ der ${\displaystyle t_{n}}$-Verteilung die folgenden Gleichungen:

Einseitig: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{t_{n,\alpha }}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1-\alpha }$

Zweiseitig: ${\displaystyle \int _{-t_{n,\alpha /2}}^{t_{n,\alpha /2}}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1-\alpha }$

Also findet man beispielsweise mit ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle \alpha =0{,}05}$ die ${\displaystyle t}$-Werte von 2,776 (zweiseitig) oder 2,132 (einseitig).

Die Quantilfunktion der ${\displaystyle t}$-Verteilung ${\displaystyle x_{p}}$ ist die Lösung der Gleichung ${\displaystyle p=F(x_{p}|m,\,n)}$ und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

${\displaystyle x_{p}={\frac {{\sqrt {n}}\left(2I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})-1\right)}{2{\sqrt {\left(1-I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})\right)\cdot I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})}}}}}$

mit ${\displaystyle I^{-1}}$ als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert ${\displaystyle x_{p}}$ ist in der Quantiltabelle unter den Koordinaten p und n eingetragen.

Für wenige Werte ${\displaystyle n}$ (1,2,4) vereinfacht sich die Quantilfunktion:^[9]

${\displaystyle n=1:x_{p}=\operatorname {tan} (\pi (p-1/2))}$

${\displaystyle n=2:x_{p}=(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{p(1-p)}}}}$

${\displaystyle n=4:x_{p}={\sqrt {{\frac {2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(2{\sqrt {p(1-p)}}\,\right)\right)}{\sqrt {p(1-p)}}}-4}}}$

Commons: Studentsche ${\displaystyle t}$-Verteilung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Interaktiver Graph der ${\displaystyle t}$-Verteilung (mit anschaulicher Erklärung)
• Webrechner für exakte Werte

1. ↑ ^{a b} Student: The Probable Error of a Mean. In: Biometrika. Band 6, Nr. 1, 1908, S. 1–25, doi:10.1093/biomet/6.1.1, JSTOR:2331554. 
2. ↑ Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Gülicher: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 14. Auflage. Vahlen, 2004, ISBN 3-8006-3115-6, S. 16. 
3. ↑ J. Pfanzagl, O. Sheynin: A forerunner of the t-distribution (Studies in the history of probability and statistics XLIV). In: Biometrika. Band 83, Nr. 4, 1996, S. 891–898, doi:10.1093/biomet/83.4.891. 
4. ↑ P. Gorroochurn: Classic Topics on the History of Modern Mathematical Statistics from Laplace to More Recent Times. Wiley, 2016, doi:10.1002/9781119127963. 
5. ↑ N. L. Johnson, B. L. Welch: Applications of the Non-Central t-Distribution. In: Biometrika. Vol. 31, No. 3/4 (Mar. 1940), S. 362–389, JSTOR:2332616 doi:10.1093/biomet/31.3-4.362.
6. ↑ Eric W. Weisstein: Noncentral Student’s t-Distribution. In: MathWorld (englisch).
7. ↑ HermiteH. Bei: functions.wolfram.com.
8. ↑ Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics. Universitetsforlaget, Bergen/Oslo/Tromsø, S. 141.
9. ↑ W. T. Shaw: Sampling Student’s T distribution – Use of the inverse cumulative distribution function. In: Journal of Computational Finance. 9. Jahrgang, Nr. 4, 2006, S. 37–73, doi:10.21314/JCF.2006.150.