Symmetrische Gruppe

Ein Cayleygraph der symmetrischen Gruppe S4
Verknüpfungstafel der symmetrischen Gruppe S3
(als Multiplikationstafel der Permutationsmatrizen)

Die symmetrische Gruppe (, oder ) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer -elementigen Menge besteht. Man nennt den Grad der Gruppe. Die Gruppenoperation ist die Komposition (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe ist endlich und besitzt die Ordnung . Sie ist für nichtabelsch.

Der Name der Gruppe wurde deshalb so gewählt, weil die Funktionen der Variablen , die bei allen Permutationen invariant bleiben, die symmetrischen Funktionen sind.[1]

Notation von Permutationen

Zweizeilenform

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren. Bildet zum Beispiel eine Permutation das Element auf , das Element auf usw. ab, so kann man hierfür

schreiben. In dieser sogenannten Zweizeilenform erhält man die inverse Permutation , indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.

Anmerkung: Die Elemente der ersten Zeile dürfen auch in einer anderen Reihenfolge notiert werden.

Zyklenschreibweise

Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise:

Sind verschieden, geht in , in , ..., in über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür

und nennt dies einen Zyklus der Länge . Zwei Zyklen der Länge beschreiben genau dann die gleiche Abbildung, wenn der eine durch zyklische Vertauschung seiner Einträge zum anderen wird. Zum Beispiel gilt

Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden. (Hierbei heißen zwei Zyklen und disjunkt, wenn für alle und gilt.) Diese Darstellung als Produkt von disjunkten Zyklen ist sogar eindeutig bis auf zyklische Vertauschung der Einträge innerhalb von Zyklen und die Reihenfolge der Zyklen (diese Reihenfolge kann beliebig sein: disjunkte Zyklen kommutieren stets miteinander).

Eigenschaften

Erzeugende Mengen

  • Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen (Zweierzyklen) dargestellt werden; je nachdem, ob diese Anzahl gerad- oder ungeradzahlig ist, spricht man von geraden oder ungeraden Permutationen. Unabhängig davon, wie man das Produkt wählt, ist diese Anzahl entweder immer gerade oder immer ungerade und wird durch das Vorzeichen der Permutation beschrieben. Die Menge der geradzahligen Permutationen bildet eine Untergruppe der die alternierende Gruppe
  • Auch die beiden Elemente und erzeugen die symmetrische Gruppe [2] Allgemeiner kann auch ein beliebiger -Zyklus zusammen mit einer beliebigen Transposition zweier aufeinanderfolgender Elemente in diesem Zyklus gewählt werden.
  • Falls , lässt sich zu einem beliebigen Element (nicht die Identität) ein Zweites derart wählen, dass beide Elemente die erzeugen.[3]

Konjugationsklassen

Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie in der Darstellung als Produkt disjunkter Zyklen denselben Zyklentyp aufweisen, das heißt, wenn die Anzahlen der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen übereinstimmen. In dieser Darstellung bedeutet die Konjugation eine Umnummerierung der Zahlen, die in den Zyklen stehen.

Jede Konjugationsklasse der entspricht daher umkehrbar eindeutig einer Zahlpartition von und die Anzahl ihrer Konjugationsklassen ist gleich dem Wert der Partitionsfunktion an der Stelle

Zum Beispiel liegen die Elemente in der Konjugationsklasse, die der Zahlpartition von zugeordnet ist, und hat verschiedene Konjugationsklassen.

Normalteiler

Die symmetrische Gruppe besitzt außer den trivialen Normalteilern und nur die alternierende Gruppe als Normalteiler, für zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe .

Die Kommutatorgruppe ist ein Normalteiler, und es ist

.

Satz von Cayley

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe isomorph, deren Grad nicht größer als die Ordnung von ist.

Ferner kann unter Anhängen der Transposition an alle ungeraden Permutationen in die alternierende Gruppe eingebettet werden. Damit ist jede endliche Gruppe auch zu einer Untergruppe einer alternierenden Gruppe isomorph.

Rechenbeispiele

Angelehnt an die Verkettung von Funktionen wird bei der Hintereinanderausführung von zwei Permutationen die zuerst ausgeführte Permutation rechts vom Verkettungszeichen geschrieben. Auf das Ergebnis wird die zweite Permutation angewandt.

Beispiel:

In Zyklenschreibweise lautet dies:

Zunächst bildet die „rechte“ Permutation die auf die ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation die auf die ab; die gesamte Verkettung bildet also die auf die ab, wie rechts vom Gleichheitszeichen als hingeschrieben.

Für ist die symmetrische Gruppe nicht abelsch, wie man an folgender Rechnung sieht:

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. B. L. van der Waerden: Moderne Algebra. 3. verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, S. 21 (VIII, 292 S.).
  2. Vgl. Seite 2 oben in (PDF-Datei (Memento vom 16. Dezember 2011 im Internet Archive))
  3. I. M. Isaacs and Thilo Zieschang, “Generating Symmetric Groups,” The American Mathematical Monthly 102, no. 8 (October 1995): 734-739.

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Symmetric group 3; Cayley table; matrices.svg
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Symmetric group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,2,3,4,5).svg
the same matrices shown in the permutohedron of S3
the same matrices shown in the cycle graph of S3

Cayley table of the 6 permutations of 3 elements, represented by matrices

Perm 2 3 1 left.svg There is also:
left action
last ⋅ first
This is:
right action
first ⋅ last
Perm 2 3 1 right.svg
Positions of the matrices 0 ... 5 in the Cayley table
(These matrices form the same group.)
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Symmetric group 4; Cayley graph 4,9.svg

Cayley graph of S4

Red arrows stand for permutation number 9, moving all elements one place to the right, and the rightmost element on the leftmost place. Blue arrows stand for permutation number 4, which is a similar move to le left, but leaving the rightmost element unchanged.