Suslin-Hypothese

In der Mengenlehre postuliert die Suslin-Hypothese (benannt nach dem russischen Mathematiker Michail Jakowlewitsch Suslin) eine spezielle Charakterisierung der Menge der reellen Zahlen. Sie ist in dem üblichen System der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre weder beweis- noch widerlegbar.

Motivation

Georg Cantor zeigte folgende ordnungstheoretische Charakterisierung der reellen Zahlen: Eine lineare Ordnung ${\displaystyle \langle P,<\rangle }$ ist genau dann isomorph zu ${\displaystyle \langle \mathbb {R} ,<\rangle }$ falls gilt:

• ${\displaystyle P}$ ist unbeschränkt: Für jedes ${\displaystyle p\in P}$ gibt es ${\displaystyle q,r\in P}$ sodass ${\displaystyle q<p<r}$.
• ${\displaystyle P}$ ist dicht: Für jedes Paar ${\displaystyle p,q\in P}$ mit ${\displaystyle p<q}$ gibt es ein ${\displaystyle r\in P}$ sodass ${\displaystyle p<r<q}$.
• ${\displaystyle P}$ ist vollständig: Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von ${\displaystyle P}$ hat ein Supremum in ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle P}$ ist separabel: ${\displaystyle P}$ enthält eine abzählbare, dichte Teilmenge.

Jede solche lineare Ordnung ${\displaystyle \langle P,<\rangle }$ erfüllt zudem die sogenannte abzählbare Antikettenbedingung:

• Jede Familie von offenen, paarweise disjunkten Intervallen von ${\displaystyle P}$ ist höchstens abzählbar.

Der Beweis dieser zusätzlichen Eigenschaft folgt direkt der Separabilität. Suslin stellte 1920 die Hypothese auf, dass auch die Umkehrung gilt, also Separabilität und abzählbare Antikettenbedingung äquivalent sind^[1].

Formulierung und Konsequenzen

Die Suslin-Hypothese lässt sich also ausdrücken:

Jede unbeschränkte, dichte, vollständige lineare Ordnung, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt, ist isomorph zu der Ordnung der reellen Zahlen.

Ronald Jensen zeigte 1968, dass in dem Modell ${\displaystyle L}$ der konstruktiblen Mengen die Suslin-Hypothese falsch ist^[2]. Mit Hilfe der Forcing-Methode konstruierten Robert M. Solovay und Stanley Tennenbaum 1971 ein Modell, in dem die Hypothese wahr ist^[3], sie ist also weder beweis- noch widerlegbar.

Einzelnachweise

1. ↑ Michail J. Suslin: Problème 3. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1. 1920, S. 223.
2. ↑ Ronald Jensen: Souslin’s hypothesis is incompatible with V=L. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 15, 1968, S. 935.
3. ↑ Robert M. Solovay, Stanley Tennenbaum: Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem. In: Annals of Mathematics. Serie 2, Band 94. 1971, S. 201–245.

Literatur

• Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.
• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.